А.А.КНЯЗЕВ,
ЛПН, СГУ им. Н.Г.Чернышевского, г. Саратов

Олимпиадный материал в повседневной работе учителя физики

Дистанционный курс: концепция, анализ контрольных работ,
выполненных слушателями, и решения задач, предлагавшихся в 2007/08 уч.г.

КОНЦЕПЦИЯ

Неоднозначно отношение учителей и учащихся к специфике олимпиад, однако трудно оспаривать тот факт, что задачи олимпиад часто содержат в себе важные дидактические и эстетические моменты. С одной стороны, если школьные задачники вместо задач чаще предлагают упражнения по заданной теме, то тексты олимпиадных задач высокого уровня отражают независимый от программ преподавания взгляд на явления и процессы. Эта особенность служит развитию тематики задач в прогрессивных направлениях.

Другой частой и важной особенностью олимпиадных задач является стремление их авторов к поиску варианта текста, при котором решение приобретает лаконичность и элегантность, – чуть иная, не столь отточенная постановка условия задачи лишает решение выразительности.

Перечисленные качества задач вполне можно использовать в педагогической практике для эффективной работы со всеми учащимися класса или группы в режиме демонстрации или публичного обсуждения, не отменяя стандартного задачника для домашних работ.

Выделим по крайней мере три преимущества использования текстов прошедших олимпиад:

– возбуждение внимания всего класса к интересной теме задачи;

– разработка конкретной темы на фоне широкого спектра сопутствующих знаний;

– поддержание профессионального тонуса учителя, необходимость постоянного обновления, углубления знаний, а порой и пересмотр сложившихся представлений.

Курс содержит практические материалы для ведения уроков и семинаров. Наряду с конкретными блоками задач вы можете освоить пока ещё мало распространённые в школьной практике приёмы анализа условий задач и методики решения. При обсуждении теоретической стороны физических явлений широко используется обобщённый (иногда говорят синергетический) взгляд на группы явлений, относящихся к различным темам программы элементарной физики.

Познакомившись с предлагаемой методикой, можно принять отдельные её моменты, не изменяя существенно своих, любимых приёмов работы.

Учебный план:

Лекция 1. Оценки в физических задачах – совсем не просто, но интересно. Активизация умения считать. Увлечение точностью расчётов и модели в физических задачах. Как используют представления о размерности в науке и школе. Знаменитые задачи.

Лекция 2. Механика – взгляд на изложение материала (деление на разделы и порядок следования: исторический, целесообразный, вынужденный). Кинематика в задачах различной сложности. Роль рисунка для записи и анализа условия задачи. Использование графиков, калькуляторов, компьютеров. Сколько задач мы готовим для урока.

Лекция 3. Силы и взаимодействия (ускорение силы тяжести, напряжённость взаимодействия). Законы динамики как методика единого подхода к задачам (включая численные решения). Характерные движения в характерных задачах (движение по кривым, колебания).

Контрольная № 1.

Лекция 4. Другой подход к решению задач – сравнение состояний. Первые интегралы движения и законы сохранения в задачах о системах тел. Для школьников – о неньютоновских механиках (механика Лагранжа и Гамильтона, механика Шрёдингера и её результаты в численных оценках).

Лекция 5. Строение вещества в задачах и оценках. Законы газового состояния и теорема вириала. Задачи о тепловых машинах. Термодинамика и статистика в школьном варианте. Задачи о теплопроводности и других процессах переноса.

Контрольная № 2.

Лекция 6. Электрические явления. Немного электростатики и задачи гравитации. Электронная теория и парадоксы поведения тока в проводниках и проводящих средах. Сторонние силы, уравнения Кирхгофа и возвращение к интегралам движения.

Лекция 7. Магнитная сила как проявление релятивизма. Задачи о переходных процессах в школьном курсе и в олимпиадной программе. Электродинамика и электростатика в сравнении. Электромагнитное поле.

Лекция 8. Излучение, оптика, волновые процессы – рефракция, дисперсия, интерференция и дифракция в демонстрациях и оценках. Представления о квантах в школьном курсе. Организация повторения материала.

Итоговая работа. Сделать подборку задач (около 20, включая собственные, с решениями), охватывающую все классы, представить анализ предложенного пакета. Провести уроки, олимпиады (конкурсы) в школе или на более высоком уровне.

Прошёл очередной год, прочитан ещё раз курс дистанционных лекций «Олимпиадный материал в повседневной работе преподавателя физики», слушатели выполнили две объёмные контрольные работы, составленные из олимпиадных задач различного уровня сложности. Условия и решения этих задач в разное время публиковались, так что при желании с ними можно было ознакомиться. Решение, разбор и проверка работ уже позади. Для кого-то задачи оказались слишком трудными, и они решили только малую их часть, кто-то, наоборот, без труда справился со всеми задачами. Тем не менее абсолютно всем будет полезно обратить внимание на наиболее часто допущенные при решении данных задач ошибки. Итак, попробуем подвести итоги.

В первую очередь хочется отметить и поздравить преподавателей, показавших лучшие результаты. Преподаватель Самарин Г.Г. из г. Кирова (Лицей естественных наук) стал абсолютным, можно сказать, чемпионом. С большим отрывом по баллам он занял первую строчку зачётной таблицы. Очень хорошие результаты показали преподаватели Танчева Т.К. (МО, г. Климовск, МОУ СОШ № 5) , Томилова М.Ю. (Свердловская обл., г. Тавда, МОУ СОШ № 2) и Иванчихин В.Е. (МО, Орехово-Зуево, НОУ «Гуманитарный лицей». На олимпиаде они бы заслуженно получили диплом второй степени. Следует также отметить преподавателей Авезниязову С.Р. (МО, Реутов, НОУ «Гимназия», Куликову А.К. (г. Киров, Вятская гуманитарная гимназия) и Пересыпкина В.Н. (г. Новокузнецк, МОУ «Лицей № 1»), прекрасно справившихся с обеими контрольными работами и абсолютно верно решивших бльшую часть предложенных задач. Поздравляем их с успешно выполненной работой! А теперь проведём работу над ошибками.

• Контрольная работа № 1 включала в себя пять типичных олимпиадных задач. Задачи 4 и 5 не вызвали затруднений, их решили все, и какого-то особого внимания, на мой взгляд, они не заслуживают. Единственное, что следует отметить, в задаче 5 очень важно правильно выделить составляющие силы F, – после этого решение становится очевидным.

Задача 1 одним только своим условием всех распугала. Немногие предприняли попытку её решить, а правильно решили и вовсе единицы. Частенько встречались совершенно эвристические способы решения, основанные на законе сохранения энергии. Однако при правильной записи этого закона для рассматриваемой задачи исходных данных оказывается недостаточно.

Задача 2, в основе которой лежит известнейший пример свойства инерции тел, была очень популярна, хотя результаты нельзя назвать блестящими. По совершенно непонятной причине вместо того, чтобы представить аналитическое решение, часть слушателей определяли искомую скорость экспериментальным путём по дальности отлёта монетки, чего совсем не требовала формулировка задачи. Кроме того, погрешность измерений при таком эксперименте чрезвычайно велика. А об измерении всех необходимых параметров для получения числового ответа и вовсе говорить не приходится: лишь единицы, к сожалению, проделали эти измерения.

Задача 3, имеющая отношение к законам Кеплера, которым уделено очень мало внимания в школьной программе, оказалась самой неприступной. В основном давалось качественное объяснение решения. Мало кто представил в виде математических выражений переход от эллиптической траектории к параболической при малых масштабах движения тела. Встречались решения, в которых слушатели искали такие коэффициенты в уравнениях эллипса и параболы, при которых эти кривые могут совпадать. В результате получались решения, ограничивающие исходные параметры (например, высоту, с которой бросают тело), в то время как в задаче речь идёт о ничем не ограниченных ситуациях. Действительно, любое тело, брошенное с произвольной высоты у поверхности Земли, будет двигаться по параболической траектории. Часто рассматривали переход к движению по окружности вокруг Земли, видя объяснение в этом. Только и вокруг Земли тела, согласно законам Кеплера, движутся по эллипсам. А орбита в форме окружности является не чем иным, как приближением, к которому часто обращаются в школьном курсе физики.

Контрольная работа № 2 оказалась слишком простой. Только несколько последних задач вызвали затруднения. Очень сложными были задачи 6 и 10. Единицы решили их правильно, остальные и вовсе не решали. В задаче 8 не все оценили слагаемые в формуле для внутренней энергии и записали в ответ пренебрежимо малые члены. И чуть подробнее про задачу 7. Обычно кинематические задачи не вызывают трудностей, но это не тот случай. Ошибок при решении этой задачи было допущено много. Так, частенько приравнивали горизонтальную составляющую скорости до разрыва к скорости горизонтально отлетевшего осколка. Это грубейшая ошибка! Стоит лишь правильно записать закон сохранения импульса, и получается совершенно другой результат. Запись закона сохранения импульса в виде также недопустима. Это становится понятно, если честно записать этот закон в векторной форме, а потом спроецировать на горизонтальную ось.

На этом, пожалуй, можно и закончить. Надеюсь, анализ будет полезным и предостережёт от ошибочного понимания решений представленных задач. Желаю всем творческих успехов и блистательных побед ваших учеников на всех олимпиадах!

А.А.ПОДОСИННИКОВА, бывшая ученица А.А.Князева,
ныне студентка МФТИ, внимательно проверявшая контрольные работы слушателей курса

КОНТРОЛЬНАЯ № 1

Тема задания: выполните рисунки, сделайте подробные расчёты и пояснения пяти предложенных задач, проведите анализ, выскажите мнение о возможности частичного или полного использования в своей работе, другое мнение.

Можно много читать о методиках, но нужна банальная практика, нужно самим решать эти задачи, может быть, нового для вас типа. Они могут показаться необычными в сравнении с распространёнными в общеобразовательных школах, могут поставить в тупик. Однако, выйдя из него, возможно, не сразу, вы выведите своих учеников на качественно новую ступень понимания и техники работы. И, может быть, тогда природа вещей станет для них интереснее того мусора, которым увлекают малокультурные и безнравственные дельцы от игрового бизнеса, телевидения, попсы, религии и прочего. К сожалению, подобное можно наблюдать и в школе. Вместо обучения на интересных и важных примерах, чётких демонстрациях, простых оценках, детям предлагаются инсценировки, шарады, ребусы. Важно знать, что если обучение смешивается с игрой, то всегда побеждает игра – дети увлечённо шьют костюмы, клеят короны и шпаги. Но это – не физика. Вы загружены, не хватает времени для кропотливой и вдумчивой работы, а что-то давно забыто. Да, это так, и автор в таком же положении. Но есть лишь один способ быть на современном уровне культуры знаний о природе: нужно решать задачи, составлять их самим, анализировать и переносить результаты решения на мир вокруг нас.

* * *

1. Нарезаем колбасу (8 баллов) Проверено лично, что если острым ножом с углом заточки 7° надавить на батон сухой копчёной колбасы, то нож начинает углубляться со скоростью около 3 см/с при силе нажатия около 20 Н. Обычно, чтобы уменьшить усилие резания, ножу сообщают поступательное движение параллельно разделочной доске. Оцените, при какой скорости движения ножа он начнёт углубляться с той же скоростью 3 см/с при меньшем нажиме, например, c усилием 2 Н?

Примечание: колбаса ни при чём, подобный вопрос часто задаётся на физических викторинах, и качественный ответ про уменьшение угла резания знают буквально все. А теперь это нужно посчитать, чтобы прояснить детали явления.

Решение. Лезвие ножа, углубляясь в продукт с силой F, создаёт разрывающее усилие Т по известной схеме работы клина (рис. а). При этом F = 2T · 2sin   2T.

В случае продольного движения ножа происходит следующее (рис. б). Пусть нож первоначально касается разрезаемой поверхности в области точки O. При дальнейшем углублении место касания поверхности окажется не в точке A, но в точке A'. Таким образом, через промежуток времени t нож углубится на величину ut, при этом пройдёт вдоль поверхности резания расстояние t. Результирующее расстояние, пройденное режущей поверхностью ножа, оказывается равным s = OA, а значит, угол резания изменился от значения 2 до значения 2. Оформим наши рассуждения математически (обозначения ясны из рисунка):

Таким образом, если при резании без продольного сдвига ножа было справедливо соотношение F1 = 2Т · , то при резании со сдвигом ножа необходимо записать F2 = 2Т ·. При неизменном значении величины разрывающей оболочку силы Т получаем после сравнения искомое значение скорости резания 30 см/с, что близко к измеренному.

2. Старинный фокус (4 балла). На стакане лежит картонка (игральная карта), а на ней, над центром стакана, – монета. Если щелчком выбить картонку с достаточной начальной скоростью, то монета может упасть в стакан. Оцените значение наименьшей скорости выдёргивания для такого опыта. Необходимые значения параметров получите измерениями.

Решение. Пусть в начальный момент край карты совпадает с краем стакана, а начальная скорость карты равна 0. Движение монеты описывается кинематическим соотношением   где R – радиус стакана, тогда как край карты движется равномерно, по закону x2 = 0t.

Расстояние x2 = 2R край карты пройдёт за время t = 2R/0, тогда как монета, чтобы упасть в стакан, за это же время должна пройти расстояние x1 R, т.е.

Отсюда получаем условие   где µ – коэффициент трения. При разумных (измеренных) значениях R и µ, получаем 0 30 cм/с.

3. Траектории и закон Кеплера (8 баллов). Бросим камень с обрыва, сообщив ему горизонтальную начальную скорость 0. Первый закон Кеплера утверждает, что параболическая траектория движения возможна лишь при второй космической скорости. Однако с самого раннего изучения физики в школе мы говорим, что камень движется по параболе. Действительно, чтобы получить параболу, достаточно исключить время в уравнениях кинематики для падающего камня: x = 0t и Отсюда следует уравнение параболы:

         (1)

Разберитесь в ситуации. Получите уравнение параболы из уравнения эллипса и укажите, при каких условиях возможен такой взаимный переход.

Решение. Парабола получилась оттого, что для задач с малым масштабом движения Земля принимается плоской, и вектор напряжённости гравитационного поля направлен строго вдоль оси Y   в каждой точке. В приближении задач с большим пространственным масштабом поле силы притяжения можно считать центральным – сила притяжения в каждой точке направлена к центру Земли. И тогда возникают законы Кеплера, а строгое решение даёт эллипс с одним из фокусов в центре Земли. Как же совместить эти решения?

На рисунке изображена правильная траектория полёта камня по эллиптической траектории. Запишем уравнение этой траектории:

Камень (если это не баллистическая ракета!) пролетает лишь ничтожную часть этой траектории, поэтому область изменения значений x всюду намного меньше параметра a – малой полуоси эллипса. Вот это и нужно учесть в записанном уравнении эллипса. Выразим сначала y через x в явной форме:

(здесь учтена лишь верхняя ветвь эллипса). Теперь, поскольку x a, воспользуемся приближённым равенством справедливым при 1. В нашем случае роль параметра играет величина x2/a2. Получим

         (2)

Это уже уравнение параболы, совпадающее по форме с тем, что известно из начальной школьной программы. Заметим, однако, что константы имеют в уравнениях (1) и (2) разный смысл, ведь траектория, полученная из законов Кеплера, записана в системе координат, связанной с центром планеты, и имеет смысл лишь в интервале | x | a. Безусловно, исследование можно и продолжить.

4. Диполь (5 баллов). Система из двух противоположных друг другу точечных зарядов, представленная на рисунке, называется диполем. Как зависит потенциал поля диполя в точке М от расстояния r? Расстояние d r. [Тесты. Физика. Варианты и ответы централизованного (абитуриентского) тестирования. – М.: ООО «РУСТЕСТ», 2006, с. 132, Ф2 № 2, зад. А9.]

Из трёх ответов теста: – по прилагаемому ключу правильным ответом считается ответ 2. Подтвердите или опровергните верность выбора авторов.

Решение. Согласно принципу суперпозиции для потенциала двух противоположных друг другу точечных зарядов справедливо:

Для упрощения выражения с учётом условия d r воспользуемся одной из формул приближённых вычислений, согласно которой   для 1.

Для нашего случая n = 1/2,

Проверим другой вариант, связанный с возможной неточностью понимания текста или с неточностью постановки вопроса (будем отсчитывать r от центра диполя). Тогда получим зависимость 

______________________________

Указанный дистанционный курс читается уже третий год и неизменно пользуется успехом. Каждый год автор даёт новую подборку задач для контрольных работ. – Ред.

Продолжение см в № 15/08