Продолжение. См. № 17, 18, 19, 20, 21/07
Потенциал относится к самым сложным
понятиям электростатики. Учащиеся выучивают
определение потенциала электростатического
поля, решают многочисленные задачи, но у них нет
ощущения потенциала, они с трудом соотносят
теорию с реальностью. Поэтому роль учебного
эксперимента в формировании понятия потенциала
весьма высока. Нужны такие опыты, которые, с одной
стороны, иллюстрировали бы абстрактные
теоретические представления о потенциале, а с
другой, показывали полную обоснованность
экспериментом введения понятия потенциала.
Стремиться к особой точности количественных
результатов в этих опытах скорее вредно, чем
полезно.
На изолирующей подставке укрепим проводящее тело и зарядим его. На длинной изолированной нити подвесим лёгкий проводящий шарик и сообщим ему пробный заряд, одноимённый с зарядом тела. Шарик оттолкнётся от тела и из положения 1 перейдёт в положение 2. Так как высота шарика в поле тяготения увеличилась на h, потенциальная энергия его взаимодействия с Землёй возросла на mgh. Значит, электрическое поле заряженного тела совершило над пробным зарядом некоторую работу.
Повторим опыт, но в начальный момент не просто отпустим пробный шарик, а толкнём его в произвольном направлении, сообщив ему некоторую кинетическую энергию. При этом обнаружим, что двигаясь из положения 1 по сложной траектории, шарик в конечном итоге остановится в положении 2. Сообщённая шарику в начальный момент кинетическая энергия, очевидно, израсходовалась на преодоление сил трения при движении шарика, а электрическое поле совершило над шариком ту же работу, что и в первом случае. В самом деле, если уберём заряженное тело, то тот же самый толчок пробного шарика приводит к тому, что из положения 2 он возвращается в положение 1.
Таким образом, опыт наводит на мысль, что работа электрического поля над зарядом не зависит от траектории движения заряда, а определяется лишь положениями её начальной и конечной точек. Иными словами, на замкнутой траектории работа электростатического поля всегда равна нулю. Поля, обладающие таким свойством, называются потенциальными.
Опыт показывает, что в электростатическом поле, создаваемом заряженным проводящим шаром, действующая на пробный заряд сила всегда направлена от центра заряженного шара, она монотонно уменьшается с увеличением расстояния и на равных расстояниях от него имеет одинаковые значения. Такое поле называется центральным. Пользуясь рисунком, нетрудно убедиться, что центральное поле потенциально.
Гравитационное поле, как и электростатическое, потенциально. Кроме того, математическая запись закона всемирного тяготения совпадает с записью закона Кулона. Поэтому при исследовании электростатического поля имеет смысл опираться на аналогию между гравитационным и электростатическим полями.
В небольшой области вблизи поверхности Земли гравитационное поле можно считать однородным (рис. а).
На тело массой m в этом поле действует постоянная по модулю и направлению сила f = тg. Если предоставленное самому себе тело падает из положения 1 в положение 2, то сила тяготения совершает работу A = fs = mgs = mg (h1 – h2).
Это же самое мы можем сказать иначе.
Когда тело находилось в положении 1, система
Земля–тело обладала потенциальной энергией (т.е.
способностью совершить работу) W1 = mgh1.
Когда тело перешло в положение 2,
рассматриваемая система стала обладать
потенциальной энергией W2 = mgh2.
Совершённая при этом работа равна разности
потенциальных энергий системы в конечном и
начальном состояниях, взятой с обратным знаком: А
= – (W2 – W1). 
Обратимся теперь к электрическому полю, которое, напомним, как и гравитационное, является потенциальным. Представим, что силы тяжести нет, а вместо поверхности Земли имеется плоская проводящая пластина, заряженная (для определённости) отрицательно (рис. б). Введём координатную ось Y и над пластиной расположим положительный заряд q. Понятно, что, поскольку сам по себе заряд не существует, над пластиной находится какое-то тело определённой массы, несущее электрический заряд. Но, поскольку мы считаем поле тяжести отсутствующим, то и принимать во внимание массу заряженного тела не будем.
Итак, на положительный заряд q со стороны отрицательно заряженной плоскости действует сила притяжения f = qE, где E – напряжённость электрического поля. Так как электрическое поле однородно, то во всех его точках на заряд действует одна и та же сила. Если заряд перемещается из положения 1 в положение 2, то электростатическая сила совершает над ним работу А = fs = qE s = qE(y1 – y2).
То же самое мы можем выразить другими словами. В положении 1 находящийся в электростатическом поле заряд обладал потенциальной энергией W1 = qEy1, а в положении 2 – потенциальной энергией W2 = qEy2. При переходе заряда из положения 1 в положение 2 электрическое поле заряженной плоскости совершило над ним работу А = –(W2 – W1).
Напомним, что потенциальная энергия определена лишь с точностью до слагаемого: если нулевое значение потенциальной энергии выбрать в другом месте оси Y, то в принципе ничего не изменится.
Если потенциальную энергию заряда в
электростатическом поле разделить на величину
этого заряда, то получим энергетическую
характеристику самого поля, которую назвали потенциалом:
Потенциал в системе СИ выражают в вольтах: 1 В = 1 Дж/1 Кл.
Если в однородном электрическом поле ось Y
направить параллельно вектору напряжённости E,
то потенциал произвольной точки поля будет
пропорционален координате точки: 
причём коэффициентом
пропорциональности является напряжённость
электрического поля.
Потенциальная энергия и потенциал определяются лишь с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора их нулевых значений. Однако работа поля имеет вполне определённое значение, поскольку определяется разностью потенциальных энергий в двух точках поля:
А = –(W2 – W1) =
–(
2q – 1q) = q(1 – 2).
Работа по перемещению электрического заряда между двумя точками поля равна произведению заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек. Разность потенциалов иначе называют напряжением.
Напряжение между двумя точками равно отношению работы поля при перемещении заряда из начальной точки в конечную к этому заряду:
Напряжение, как и потенциал, выражается в вольтах.
В однородном электрическом поле
напряжённость направлена в сторону убывания
потенциала и, согласно формуле = Еy, разность потенциалов
равна U = 1
– 2= Е(у1
– y2). Обозначив разность координат
точек у1 – y2 = d,
получаем U = Ed.
В эксперименте вместо непосредственного измерения напряжённости проще определять разность потенциалов и затем вычислять модуль напряжённости по формуле
(6.1)
где d – расстояние между двумя точками поля, близко расположенными в направлении вектора Е. При этом в качестве единицы напряжённости используют не ньютон на кулон, а вольт на метр:
Опыт показывает, что отношение работы
по перемещению заряда из бесконечности в данную
точку поля к величине этого заряда остаётся
неизменным: = А/q.
Это отношение принято называть потенциалом
данной точки электростатического поля,
принимая потенциал в бесконечности равным нулю.
Любое как угодно сложное
электростатическое поле можно представить в
виде суперпозиции полей точечных зарядов. Каждое
такое поле в выбранной точке имеет определённый
потенциал. Поскольку потенциал является
скалярной величиной, результирующий потенциал
поля всех точечных зарядов есть алгебраическая
сумма потенциалов 1,
2, 3, … полей отдельных
зарядов: = 1 + 2 + 3 + ... Это соотношение
является прямым следствием принципа
суперпозиции электрических полей.
Обратимся теперь к сферическому
(точечному) заряду. Выше показано, что
напряжённость электрического поля, созданного
равномерно распределённым по сфере зарядом Q,
не зависит от радиуса сферы. Представим, что на
некотором расстоянии r от центра сферы
находится пробный заряд q. Напряжённость
поля в точке, где находится заряд, 
На рисунке изображён график
зависимости силы электростатического
взаимодействия между точечными зарядами от
расстояния между ними. Чтобы найти работу
электрического поля при перемещении пробного
заряда q с расстояния r до расстояния R,
разобьём этот промежуток точками r1, r2,...,
rп на равные отрезки. Средняя сила,
действующая на заряд q в пределах отрезка [rr1],
равна 
Работа этой силы на этом участке:
Аналогичные выражения для работы получатся для всех других участков. Поэтому полная работа:
Одинаковые слагаемые с противоположными знаками уничтожаются, и окончательно получаем:
– работа поля над зарядом 
– разность потенциалов 
Теперь, чтобы найти потенциал точки поля относительно бесконечности, устремляем R к бесконечности и окончательно получаем:
(6.2)
Итак, потенциал поля точечного заряда обратно пропорционален расстоянию до заряда.
6.10. Эквипотенциальные поверхности
Поверхность, в каждой точке которой потенциал электрического поля имеет одно и то же значение, называется эквипотенциальной. Эквипотенциальные поверхности поля заряженного шара нетрудно продемонстрировать подвешенным на нити пробным зарядом, как это показано на рисунке.
На втором рисунке электростатическое поле двух разноимённых зарядов представлено силовыми (сплошные) и эквипотенциальными (пунктирные) линиями.
Задание. Разработайте простой опыт, позволяющий ввести понятие разности потенциалов, или напряжения.
Вариант выполнения. Два
металлических диска на изолирующих подставках
установите параллельно друг другу на расстоянии
примерно 10 см. Диски зарядите равными по модулю и
противоположными по знаку зарядами. Зарядите
шарик электростатического динамометра зарядом,
например, q = 5 нКл (см. исследование 3.6), и
введите его в область между дисками. При этом
стрелка динамометра покажет определённое
значение силы, действующей на шарик. Зная
параметры динамометра, вычислите значение
модуля силы (см. исследование 3.6). Например, в
одном из наших опытов стрелка динамометра
показала значение х = 2 см, следовательно,
согласно формуле 
модуль силы f = Kх = 17 • 10–5 Н.
Перемещая динамометр, покажите, что во всех точках поля между заряженными дисками на пробный заряд действует одна и та же сила. Перемещая динамометр так, чтобы пробный заряд прошёл путь s = 5 см в направлении действующей на него силы, спросите учащихся: какую работу совершает над зарядом электрическое поле? Добейтесь понимания, что работа поля над зарядом по модулю равна
А = fs = 8,5 • 10–6 Дж, (6.3)
причём она положительна, если заряд перемещается по направлению напряжённости поля, и отрицательна, если в противоположном направлении. Вычислите разность потенциалов между начальным и конечным положениями шарика динамометра: U = А/q = 1,7 • 103 В.
С одной стороны напряжённость электрического поля между пластинами:
С другой стороны, согласно формуле (6.1), при d = s:
Таким образом, опыт показывает, что напряжённость электрического поля можно определить двумя способами, которые, разумеется, приводят к одинаковым результатам.
Задание. Разработайте эксперимент, показывающий, что с помощью демонстрационного стрелочного электрометра можно измерять напряжение.
Вариант выполнения. Экспериментальная установка схематически изображена на рисунке. Пользуясь электростатическим динамометром, определите напряжённость однородного электрического поля и по формуле U = Еd вычислите разность потенциалов между проводящими пластинами. Повторяя эти действия, отградуируйте электрометр по напряжению так, чтобы получился электростатический вольтметр.
Задание. Экспериментально определите работу, которую нужно совершить против электростатического поля, чтобы переместить пробный заряд из бесконечности в некоторую точку поля, созданного заряженной сферой.
Вариант выполнения. На изолирующей стойке закрепите шарик из пенопласта, обёрнутый алюминиевой фольгой. Зарядите его от пьезоэлектрического или иного источника (cм. п. 1.10) и одноимённым зарядом зарядите пробный шарик на стержне электростатического динамометра. Пробный заряд находится бесконечно далеко от исследуемого, если электростатический динамометр не фиксирует силы электростатического взаимодействия между зарядами. В эксперименте удобно электростатический динамометр оставить неподвижным, а перемещать исследуемый заряд.
Постепенно приближайте заряженный шарик на изолирующей подставке к шарику электростатического динамометра. В первую строку таблицы записывайте значения расстояния r между зарядами, во вторую строку – соответствующие им значения силы электростатического взаимодействия. Удобно расстояние выражать в сантиметрах, а силу – в условных единицах, в которых отградуирована шкала динамометра. По получившимся данным постройте график зависимости силы от расстояния. Подобный график вы уже строили, выполняя исследование 3.5.
Теперь найдите зависимость работы по перемещению заряда из бесконечности в данную точку поля. Обратите внимание на то, что в эксперименте сила взаимодействия зарядов становится практически равной нулю на сравнительно небольшом удалении одного заряда от другого.
Разбейте весь диапазон изменения
расстояния между зарядами на равные участки,
например, по 1 см. Обработку экспериментальных
данных удобнее начинать с конца графика. На
участке от 16 до 12 см среднее значение силы fср
составляет 0,13 усл. ед., поэтому элементарная
работа 
А
на этом участке равна 0,52 усл. ед. На участке от 12
до 10 см, рассуждая аналогичным образом, получаем
элементарную работу 0,56 усл. ед. Далее удобно
брать участки длиной по 1 см. На каждом из них
найдите среднее значение силы и умножьте его на
длину участка. Полученные значения работы поля A на всех
участках занесите в четвёртую строку таблицы.
Чтобы узнать работу А, совершённую электрическим полем при перемещении заряда из бесконечности на данное расстояние, складывайте соответствующие элементарные работы и получающиеся значения записывайте в пятую строку таблицы. В последней строке запишите значения величины 1/r, обратной расстоянию между зарядами.
Постройте график зависимости работы электрического поля от величины, обратной расстоянию, и убедитесь, что получается прямая линия (рисунок справа).
Таким образом, опыт показывает, что работа электрического поля при перемещении заряда из бесконечности в данную точку поля обратно пропорциональна расстоянию от этой точки до заряда, создающего поле.
Исследование 6.4. Высоковольтный источник напряжения
Информация. Для школьного физического эксперимента в настоящее время промышленность выпускает прекрасные высоковольтные источники напряжения. Они имеют две выходные клеммы или два высоковольтных электрода, разность потенциалов между которыми плавно регулируется в пределах от 0 до 25 кВ. Встроенный в прибор стрелочный или цифровой измеритель напряжения позволяет определять разность потенциалов между полюсами источника. Такие приборы повышают уровень учебного эксперимента по электростатике.
Задание. Разработайте доказательный учебный эксперимент, показывающий, что потенциал заряженного шара, экспериментально определённый в соответствии с формулой (6.2) для точечного заряда, равен потенциалу, сообщённому этому шару высоковольтным источником питания.
Вариант выполнения. Вновь соберите экспериментальную установку, состоящую из электростатического динамометра с пробным шариком и проводящего шара на изолирующей подставке (см. исследования 3.4 и 6.3). Измерьте параметры всех элементов установки.
Для определённости укажем, что в одном
из опытов мы использовали электростатический
динамометр, параметры которого указаны в
исследовании 3.4: а = 5 • 10–3 м, b = 55
• 10–3 м, с = 100 • 10–3 м, т = 0,94
• 10–3 кг, причём шарики были одинаковыми и
имели радиус R = 7,5 • 10–3 м.
Для этого динамометра градуировочный
коэффициент K, переводящий условные единицы
силы в ньютоны, даётся формулой 
(cм. исследование 3.6).
График работы по перемещению пробного
заряда из бесконечности в данную точку поля
представлен на рисунке на с. 31. Чтобы в этом
графике от условных единиц работы перейти к
джоулям, нужно в соответствии с формулой A = fсрr значения
расстояния в сантиметрах перевести в метры,
значения силы в усл. ед. (см) перевести в усл. ед. (м)
и умножить на K. Таким образом: A (Дж) = 10–4 KA (уcл. ед.). 
Соответствующий график зависимости
работы от величины, обратной расстоянию,
представлен ниже. Экстраполируя его до R = 7,5
мм, получаем, что работа по перемещению пробного
заряда из бесконечности до поверхности
заряженного шарика А = 57 • 10–4 K = 4,8 • 10–5 Дж.
Так как заряды шариков были одинаковы и
составляли q = 6,6 • 10–9 Кл
(см. исследование 3.6), то искомый потенциал = А/q = 7300 В.
Включите высоковольтный источник и
регулятором установите на нём выходное
напряжение, например, U = 15 кВ. Одним из
электродов поочерёдно прикоснитесь к проводящим
шарикам и выключите источник. При этом каждый из
шариков приобретает относительно Земли
потенциал =
7,5 кВ. Повторите опыт по определению зарядов
шариков методом Кулона (исследование 3.6) и вы
получите значение, близкое к 7 нКл.
Таким образом, в эксперименте двумя независимыми способами определены заряды шаров. Первый способ основан на непосредственном использовании определения потенциала, второй опирается на сообщение шарикам определённого потенциала c помощью высоковольтного источника и последующее измерение их заряда с помощью закона Кулона. При этом получились совпадающие результаты.
Конечно, никто из школьников и не сомневается в том, что современные приборы правильно измеряют значения физических величин. Но теперь они убеждены, что правильно измеряются именно те величины, которые они изучают в простейших явлениях. Установлена прочная связь между основами физики и современной техникой, ликвидирована пропасть между школьными знаниями и реальной жизнью.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Как экспериментально доказать, что электростатическое поле потенциально?
2. В чём суть аналогии между гравитационным и электростатическим полями?
3. Какова связь между напряжённостью и разностью потенциалов электростатического поля?
4. Предложите опыт, непосредственно обосновывающий справедливость принципа суперпозиции для потенциалов.
5. Вычислите потенциал поля точечного заряда, пользуясь интегральным исчислением. Сравните сделанный вами вывод формулы с элементарным выводом, приведённым в лекции.
6. Выясните, почему в опыте по определению разности потенциалов между двумя проводящими дисками (исследование 6.1) нельзя перемещать измеритель напряжённости так, чтобы его пробный шарик прошёл всё расстояние от одного диска до другого.
7. Отградуировав электрометр по напряжению (исследование 6.2), сравните получившийся результат с теми значениями чувствительности прибора по напряжению, которые приводятся в паспортных данных электрометра.
8. Оцените дидактическую эффективность учебного эксперимента по непосредственному определению потенциала поля сферического заряда (исследование 6.3).
9. Детально разработайте методику формирования в сознании учащихся обоснованной убеждённости, что введённое при изучении электростатики понятие потенциала электрического поля в точности соответствует тому, которое используется современной наукой и техникой.
Литература
Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика: Учеб. пособие: В 3 кн. Кн. 2. Электродинамика. Оптика. – М.: Физматлит, 2004.
Восканян А.Г., Марленский А.Д., Шибаев А.Ф. Демонстрация закона Кулона на основе количественных измерений: В сб. «Учебный эксперимент по электродинамике», вып. 7. – М.: Школа-Пресс, 1996.
Касьянов В.А. Физика-10. – М.: Дрофа, 2003.
Мякишев Г.Я., Синяков А.З., Слободсков Б.А. Физика: Электродинамика. 10–11 кл.: Учеб. для угл. изучения физики. – М.: Дрофа, 2002.
Учебное оборудование для кабинетов физики обще- образовательных учреждений: Под ред. Г.Г.Никифорова. – М.: Дрофа, 2005.