Продолжение. См. № 1, 7/2006   К.Ю.БОГДАНОВ, школа № 1326, г. Москва KBogdanov@mtu-net.ru Синтез наук – оружие познания XXI века Элективный курс. 10–11-й классы, естественно-научный профиль (136 ч, 2 ч/нед.) Уроки 9–10. (10-й класс). ЭКОНОФИЗИКА: как физика помогает экономике и социологии строить справедливое общество Эконофизика – очень молодая наука, родившаяся в конце 1990-х гг. на стыке экономики и физики. Эконофизика использует методы статистической физики для анализа некоторых экономических феноменов, таких как распределение доходов в обществе, флуктуации биржевых индексов и цен на акции. Общество можно представить себе как пирамиду, на вершине которой находится его элита – люди, обладающие властью и владеющие большими материальными ценностями. Нижние этажи пирамиды отведены, как принято говорить, «обычным людям», законное стремление которых жить лучше всегда наталкивается на сопротивление жителей верхних этажей этой пирамиды. Поэтому история человечества – это история борьбы за социальное равенство. Социологи не раз давали нам советы, как построить общество, где все были бы равны. Если искать геометрические аналогии, то «общество равных» можно было бы представить себе в виде диска очень большого диаметра, с высокой башней в центре, из окон которой выглядывают несколько «равных» людей, ответственных за поддержание равенства. К сожалению, однако, история показала, что теория построения «общества равных» не выдерживает испытания практикой, хотя бы из-за того, что некоторые люди не хотят быть «равными» другим и таким своим поведением отвлекают непомерно большие материальные средства общества на поддержание равенства. Не вдаваясь в дальнейшую полемику о том, каким должно быть современное общество, чтобы каждому в нём жилось хорошо, попытаемся лишь ответить на вопрос, почему торговые отношения между членами общества приводят к тому, что в руках меньшей части общества оказывается большая часть его богатств. Но сначала посмотрим, как оценивают социальное неравенство. Самый распространённый способ оценки того, как живёт общество, – посмотреть в налоговые декларации его граждан. Так как в России налоговые декларации стали подавать совсем недавно, то воспользуемся статистикой тех стран, граждане которых заполняют налоговые декларации уже многие десятилетия. В любом обществе бедных всегда больше, чем богатых. Например, в 1996 г. 24% граждан США имели годовой доход между 10 и 20 тыс. долл. и лишь 3% – между 50 и 60 тыс. долл. При этом, как видно из рис. 1, распределение доходов было очень похоже на экспоненциальное, и поэтому относительную долю граждан (Г), обладавших доходом между Д – Д/2 и Д + Д/2, можно найти по следующей формуле:          (1) где Дср – среднее значение годового дохода граждан США, равное 23,2 тыс. долл. (в 1996 г.). Рис. 1. Гистограмма годовых доходов граждан США В конце 90-х гг. прошлого века научными вопросами экономики заинтересовались физики и обратили внимание на то, что формула (1), описывающая распределение доходов в обществе, очень похожа на распределение Больцмана–Гиббса–Максвелла (2), которое, как известно, позволяет оценить относительную долю (f) молекул газа, имеющего температуру Т, механическая энергия которых находится в пределах E ± E/2:              (2) Что же общего между распределением механической энергии среди молекул газа и распределением доходов в обществе? Оказалось, что между этими, казалось бы, далёкими друг от друга процессами общего действительно много. А именно, в обоих соблюдаются законы сохранения. При столкновении двух молекул газа их общая механическая энергия не изменяется, а может лишь переходить от одной молекулы к другой. Аналогичный закон действует и при столкновении продавца и покупателя товаров или услуг. После совершения сделки состояние одного из них (покупателя или продавца) становится больше, а другого на столько же меньше, хотя они могут и не догадываться об этом, т.к. точную цену товара или услуги определить невозможно. Закон сохранения суммарного богатства действует и при обмане или грабеже. Богатство лишь переходит от одного человека к другому. Просим помощи у компьютера. Уверен, что многим, в том числе и автору, такая аналогия между обществом и газом всё же кажется недостаточной, чтобы объяснить экспоненциальный характер распределения богатства. Чтобы убедиться в этом, смоделируем, как торговля (честная и нечестная) между членами общества перераспределяет богатство внутри него. Пусть наша модель общества состоит из 10 000 граждан. Конечно, чем больше граждан в обществе, тем лучше для модели, но увеличение размера общества, например, до 100 000 резко увеличило бы время решения одной задачи на компьютере. Чтобы начать торговаться (продавать и покупать), члены общества должны иметь какой-то стартовый капитал и общие правила торговли. Поэтому раздадим всем гражданам по «состоянию», эквивалентному 100 руб., и заставим их каждый день вступать в торговые отношения. При этом компьютер определяет случайным образом, кто с кем встречается, кто получает выгоду от торговли и её размер. Для этого напишем программу, которая бы следила за порождённым нами обществом. Главное – это выбрать язык программирования, предназначенный для работы с большими массивами переменных. Иначе вы будете тратить часы для получения лишь одного распределения и можете потерять интерес к данной проблеме. Все приведённые в статье распределения были получены с использованием программирования на языке IDL (версия 5.5), разработанном компанией Research Systems (www.researchSystems.com). Ежедневно проверяем кошельки у граждан общества О1. Рассмотрим сначала такое общество (О1), в котором каждый день продавец и покупатель случайно обманывают друг друга, ничего не подозревая об этом. Это может быть, например, следствием неисправности кассового аппарата, который, печатая чек, случайно уменьшает или увеличивает цену на 1 руб. Таким образом, продавец и покупатель, пользуясь таким кассовым аппаратом, каждый раз становятся богаче или беднее на 1 руб. Рис. 2. Распределение богатства среди граждан общества О1 на следующий день после начала торговли со сломанными кассовыми аппаратами На рис. 2 показано распределение богатства среди 10 000 членов общества О1 на следующий день после начала такой торговли. Видно, что несколько тысяч членов общества увеличили, а другие несколько тысяч уменьшили своё состояние на один, два или даже три рубля. Приблизительно треть всех членов общества, похоже, вообще не участвовала в торговле, т.к. в случайной выборке компьютера их номеров не оказалось, а другим пришлось поторговать два или даже три раза. Однако следующие случайные выборки, очевидно, компенсируют этот «недочёт» и, скажем, за год практически все члены общества сходят на импровизированный рынок ровно по 365 раз. Рис. 3. Распределение богатства среди граждан общества О1 через 3 месяца после начала торговли со сломанными кассовыми аппаратами Через три месяца пользования испорченными кассовыми аппаратами общество О1 слегка расслоилось, и богатство нескольких самых удачливых его членов (150 руб.) уже в три раза превышает состояние его самых бедных граждан (50 руб.). Заметим, однако, что гистограмма, как и на рис. 2, имеет пик на 100 руб., по-прежнему симметрична, лишь расползлась по ширине и соответственно уменьшилась по высоте. Иными словами, 100 руб. и через 3 месяца остались наиболее вероятной величиной состояния в обществе, а количество обедневших (площадь гистограммы слева от 100 руб.) по-прежнему равно количеству обогатившихся (площадь гистограммы справа от 100 руб.). В обществе О1 появляются нищие. Гистограмма, иллюстрирующая распределение богатства в обществе О1 через 3 года торговли (1000 дней) с неисправным кассовым аппаратом, показана на рис. 4. Как видно, за это время расслоение стало ещё более заметным, и в обществе даже появились граждане (их около 15), не имеющие никаких средств. Однако они всё-таки могут принимать участие в актах торговли, надеясь на ошибку кассового аппарата и зачисление на их счёт 1 руб. И через три года наиболее вероятным состоянием члена общества О1 остаются 100 руб. – гистограмма по-прежнему симметрична. Рис. 4. Распределение богатства среди граждан общества О1 через 1000 дней (3 года) после начала торговли со сломанными кассовыми аппаратами Со временем количество полностью разорённых продолжает увеличиваться, и через 2000 дней (5,5 лет) после начала жизни общества О1 оно уже составляет более 40 человек (рис. 5). Однако гистограмма всё ещё имеет различимый пик на 100 руб. Рис. 5. Распределение богатства среди граждан общества О1 через 2000 дней (5,5 года) после начала торговли со сломанными кассовыми аппаратами Через 3000 дней (рис. 6) количество полностью разорённых членов общества О1 уже близко к 60, а распределение не имеет отчётливого максимума. Кроме того, гистограмма уже не симметрична и описывается монотонно убывающей функцией. Рис. 6. Распределение богатства среди граждан общества О1 через 3000 дней (8,2 года) после начала торговли со сломанными кассовыми аппаратами Прошло 55 лет. Если попросить компьютер построить распределение богатств в обществе О1 через 20 000 дней (или 55 лет) после начала торговли со сломанными кассовыми аппаратами (рис. 7), то окажется, что это распределение практически не отличается от того, что получено после 5000 или 10 000 дней. Таким образом, можно утверждать, что распределения, соответствующие 100 000 дням или даже миллиону дней, уже практически не будут различаться. Таким образом, торговые отношения в обществе, где кассовые аппараты барахлят, приводят к такому перераспределению богатств в нём, что гистограмма становится похожей на экспоненту (кривая на рис. 7). Отметим, что «стремление» общества к экспоненциальному распределению доходов не зависит от начальных условий. Автор моделировал жизнь таких «торговых обществ» при самых различных начальных ситуациях и правилах торговли, а именно: при равномерном распределении богатства перед началом торговли; при искусственном делении всего общества перед началом торговли на несколько под-обществ, внутри которых доходы одинаковы; при ситуациях, когда выигрыш может составлять случайную долю состояний граждан, а также при вмешательстве государства, когда оно облагает налогом все торговые прибыли. Рис. 7. Распределение богатства среди граждан общества О1 через 20 000 дней (55 лет) после начала торговли со сломанными кассовыми аппаратами. Кривая – экспонента, соответствующая формуле (1) при Дср= 100 Видно, что в течение первой тысячи дней случайный обмен рублями между гражданами приводит к расплыванию (размыванию) первоначального пика распределения, но его максимум остаётся на месте. Однако уже после 2000 дней распределение богатства своим левым краем «наталкивается на непроницаемую» ось ординат, к которой начинают «прилипать» точки. В результате количество людей с малым состоянием начинает непропорционально расти, и распределение становится экспоненциальным. Те, кто хочет узнать, как можно теоретически доказать, что распределение богатства в обществе О1 должно быть экспоненциальным, могут посмотреть мою статью в журнале «Квант» (№ 5, 2004 г.). Температура обществ до и после их слияния. Итак, в обществе, где торговые сделки между гражданами сопровождаются случайным выигрышем в 1 руб. для одного и таким же проигрышем для другого, распределение граждан по их состоянию всегда стремится к экспоненциальному и не зависит от того, каким оно являлось сначала. Другими словами, некоторые обязательно теряют деньги во время таких торговых операций, ну а другие соответственно богатеют. Сравнение распределения (1) с распределением Больцмана (2) показывает, что роль «температуры» в распределении доходов в обществе играет средняя величина состояния Дср. Ну а теперь допустим, что два О1-общества, в каждом из которых доходы распределены в соответствии с (1), объединились, как это произошло с Западной и Восточной Германией в 1990 г., а также со странами Европы, объединяющимися в Европейский союз. Очевидно, что через некоторое время «сломанные кассовые аппараты» сделают своё дело, и в новом обществе опять установится равновесие, а распределение состояний его граждан опять станет экспоненциальным. Если считать, что богатство нового общества равно сумме богатств составляющих, то величина Дср, равная среднему состоянию граждан нового общества, или его «температуре», будет равна:              (3) где Д1ср, Д2ср и N1, N2 – средний достаток и число граждан в первом и втором обществах соответственно до их объединения. Как следует из (3), величина Дср лежит где-то между Д1ср и Д2ср, а близость её к последним зависит от отношения N1/N2. А теперь посмотрим на формулу (3) с позиций термодинамики, где граждане общества эквивалентны сталкивающимся молекулам газа. Тогда в формуле (3) можно заменить Дср на kT, а N будет уже соответствовать числу «молекул-граждан», и новая формула примет вид: (N1 + N2) . kT = N1 . kT1 + N2 . kT2.        (4) Так как произведение NkT прямо пропорционально внутренней энергии идеального газа (в случае одноатомных молекул ), то формула (4) означает сохранение внутренней энергии. Таким образом, процесс объединения двух «газовых» обществ, судя по формуле (4), следует считать адиабатическим. Другими словами, процесс слияния двух обществ с различным средним достатком аналогичен с термодинамической точки зрения адиабатическому процессу слияния двух газов, имеющих разную температуру. Стабильность общества: равновероятность разорения и обогащения. Известно, что шары при упругом столкновении обмениваются энергией, хотя их суммарная энергия и импульс остаются постоянными. При этом, вообще говоря, нет каких-либо ограничений на величину энергии, передаваемой при столкновении. Так, теоретически при центральном столкновении движущегося шара с таким же покоящимся шаром вся энергия переходит к нему, а ранее двигавшийся шар останавливается. В остальных случаях доля суммарной энергии, меняющая хозяина, может составлять от 0 до 100% и сложным образом зависит от геометрических характеристик столкновения и принятых допущений. Так или иначе, мы вправе считать, что и при столкновении молекул газа между собой нет каких-либо ограничений на величину энергии, случайно переходящей от одной молекулы к другой. Другими словами, процесс обмена энергией между молекулами можно считать симметричным – уменьшение энергии при столкновении так же вероятно, как её увеличение. Именно равновероятность получить и потерять энергию при столкновении приводит к тому, что энергия среди молекул газа распределяется по закону Больцмана. То же самое относится и к обществу, где граждане, сталкиваясь друг с другом, теряют часть своего или приобретают случайную долю чужого состояния. Хотели, как лучше… Очевидно, что практически невозможно поставить эксперимент над газом, ограничивая обмен энергией между его молекулами. С людьми всё проще. Достаточно издать закон. Ну, например, попросим всех соблюдать закон «для защиты от недобросовестных торговцев», сокращённо, ЗНТ. В соответствии с этим законом выгода от торговой сделки между двумя людьми не должна превышать минимального состояния двух торгующих до сделки (общество О2). То есть, если встречаются торговцы с состоянием 50 и 150 руб., то выигрыш одного и проигрыш другого не может превышать 50 руб. Казалось бы, ЗНТ – вполне разумный закон, защищающий бедняка от долгов. Однако, закон этот, как, к сожалению, и многие другие законы, сотворённые людьми, приводит к противоположному результату по сравнению с тем, на что был нацелен. И вот почему. ЗНТ нарушает симметрию вероятностного обогащения, и если кто-нибудь случайно лишился большой части своего состояния, то ему уже очень тяжело будет выбраться, т.к. закон ограничивает его возможный выигрыш величиной его же состояния. Ну а если ты полностью разорён? Тогда в соответствии с этим же законом тебе уже вообще не на что рассчитывать. ЗНТ приводит к прогрессирующему расслоению общества. Можно попросить компьютер промоделировать жизнь общества О2 после начала действия закона ЗНТ. На рис. 8 показано, как изменяется число обедневших и разбогатевших граждан этого общества (в процентах к общему их числу) со временем, отложенным по оси абсцисс в днях, после начала действия закона ЗНТ. Рис. 8. Расслоение общества О2 со временем после вступления в действие ЗНТ Моделирование на компьютере показывает, что уже через 10 дней после начала действия закона 73% граждан уменьшат своё состояние по сравнению с первоначальным, а остальные 27% граждан разбогатеют так, что их суммарное состояние составит 89% богатства общества. Через 100 дней действия закона расслоение станет ещё более заметным, и разорёнными окажутся уже 93% граждан, которые все вместе будут обладать лишь 1,7% общенародного достояния, в то время как 7% богачей – остальными 98% всех богатств. Таким образом, ЗНТ приводит к прогрессивному росту числа полностью разорённых граждан и образованию нескольких олигархов, в руках которых окажутся все богатства общества. Очевидно, что общество, возникшее в результате действия ЗНТ, окажется нежизнеспособным. Кроме того, равновесное состояние в таком обществе никогда не наступает, т.к. количество «неимущих» членов общества постоянно растёт, а количество «имущих» становится недостаточным для статистического равновесия. Наоборот, в отсутствие ЗНТ закона, как показало моделирование общества О1, граждане, потерявшие всё, уже через 1000 дней могут стать обладателями среднего состояние этого общества. Пусть знает каждый, что… Азы эконофизики убеждают нас в том, что общество, в котором граждане вступают друг с другом в экономические отношения, всегда расслаивается так, что бедных в нём оказывается больше, чем богатых. При этом распределение доходов в обществе равных возможностей, где не действуют законы, аналогичные закону ЗНТ, остаётся неизменным, что и делает такое общество стабильным. Тем, кто хочет больше узнать о том, что общего между броуновским движением и курсом акций на биржах, а также о том, как с помощью законов статистической физики поставить оценку любому обществу, и ещё о многом интересном в новой науке эконофизике, советуем прочесть статьи Виктора Яковенко в интернете (http://www2.physics.umd.edu/~yakovenkeconophysics.html). Интересные работы в синергетике, науке о саморазвивающихся системах, проводит проф. Дмитрий Сергеевич Чернавский из Физического института им. П.Н.Лебедева РАН, пытаясь применить её методы для анализа экономической структуры общества России (http://www.peoples.ru/science/physics/chernavskiy/index.html). Продолжение в № 17

.  .