Продолжение. См. № 48/04
8. Серебряная и пластмассовая ложки
1. Предварительные замечания
Когда я помешиваю горячий кофе серебряной ложечкой, я чувствую, как быстро нагревается её конец у меня в руке. Если же вместо серебряной взять пластмассовую ложечку, её конец остаётся холодным. Отсюда можно сделать вывод, что серебро проводит тепло лучше, чем пластмасса. Из повседневного опыта я прихожу к выводу, что все вещества можно разделить на два класса: те, которые проводят тепло хорошо, и те, которые проводят её плохо. Известно, что металлы (серебро, медь или алюминий) являются хорошими проводниками тепла и электрического тока, а вещества типа стекла или пластмассы являются плохими проводниками и того и другого. Поэтому можно ожидать, что есть что-то общее в том, как вещества проводят тепло и электрический ток. Ниже мы убедимся, что так оно и есть.
Чтобы ясно понять, что мы подразумеваем под теплопроводностью, рассмотрим простой пример (рис. 8-1). Стержень из некоторого вещества, например, серебра или стекла, соединяет две камеры, одна из которых горячая, а другая – холодная. Если измерить температуру вдоль стержня, то можно обнаружить, что стержень сильно нагрет на одном конце и холодный на другом, а вдоль стержня температура постепенно уменьшается. Этот пример является идеализацией примера с ложечкой в чашке кофе. Энергия в форме тепла непрерывно переносится от горячей камеры вдоль стержня к холодной камере.
Рис. 8-1. Тепловая энергия переносится по стержню от его горячего конца к холодному
Вопрос. Откуда нам известно, что энергия действительно переносится указанным способом?
Ответ. Если заменить холодную камеру куском льда, то лёд начнёт постепенно таять за счёт тепловой энергии, получаемой от горячей камеры.
Проделаем теперь ещё один эксперимент: соединим два куска льда стержнем, предварительно охладив его до температуры льда. В этом случае не наблюдается никакого потока тепла через стержень, т.к. куски льда не тают. При этом во всех приводимых рассуждениях я предполагаю, что из окружающего пространство в куски льда и стержень никакое тепло не поступает.
Эти два эксперимента приводят к важному выводу: тепловая энергия передаётся стержнем только в том случае, если его концы имеют разную температуру. Именно разность температур заставляет тепло перемещаться вдоль стержня.
Проделаем теперь третий эксперимент. Возьмём металлическую ложку и, удерживая её двумя пальцами, опустим в стакан с горячим чаем. Один конец ложки немедленно нагреется, и тепло начнёт медленно распространяться вдоль ложки к холодному концу. В этом можно убедиться, последовательно притрагиваясь к ложке в разных местах. Требуется нескольких секунд, иногда даже минут (в зависимости от вещества, из которого сделана ложка), чтобы почувствовать изменения температуры вдоль ложки. Эту ситуацию можно изобразить графически (рис. 8-2): так изменяется температура в разных точках ложки в разные моменты времени. Кривые 1–4 показывают температуру вдоль ложки в начальный и три последующих момента. Резкий скачок температуры, возникший на одном конце, затем медленно распространяется вдоль ложки.
Резюмируем результат трёх экспериментов по распространению тепла вдоль стержня из определённого вещества: чтобы возник поток тепла, необходима разность температур между двумя точками вдоль стержня; поток тепла распространяется от горячего конца к холодному; его распространение довольно медленное. Попробуем теперь объяснить эти факты, основываясь на модели твёрдого тела, которую мы развили в предыдущей главе. Нам потребуются две новые идеи. Нужно ввести меру того, сколько тепловой энергии должно поглотить вещество, чтобы изменилась его температура, и предложить способ учёта столкновений между электронами и фононами. Это станет предметом обсуждения в двух следующих параграфах.
Рис. 8-2. Изменение температуры вдоль металлической ложки в четыре последовательных момента времени после того, как один конец ложки погрузили в горячий чай. Кривая 1 показывает ситуацию в момент времени 1: конец ложки нагрет, но остальная часть ещё не получила «сообщения» об этом. Кривые 2, 3, 4 показывают, как тепло медленно распространяется вдоль ложки
2. Удельная теплоёмкость
Когда определённое количество энергии в форме тепла передаётся куску вещества, этот кусок становится горячее. Если повторить этот эксперимент с одинаковыми по массе кусками разных веществ, то обнаруживается, что их температура повышается на разную величину, несмотря на то, что количество поступившей в каждый кусок тепловой энергии одинаково. Можно обратить утверждение: чтобы поднять температуру разных кусков вещества одинаковой массы на одну и ту же величину, требуется разное количество тепловой энергии. В табл. 8-1 приведены значения того количества тепловой энергии, которое необходимо затратить, чтобы нагреть грамм разных веществ от 20°С до 21°С. Эта величина называется удельной теплоёмкостью на грамм вещества. Поскольку из других экспериментов известно число атомов в 1 г любого вещества, можно вычислить также удельную теплоёмкость на один атом (см. второй столбец в табл. 8-1). Из таблицы видно, что удельная теплоёмкость на грамм разная для разных веществ, в то время как удельная теплоёмкость на атом примерно одинакова для первых трёх веществ и меньше для алмаза. Мы вернёмся к обсуждению этого вопроса, а сейчас посмотрим, что происходит с электронами и фононами в твёрдом теле, когда они получают дополнительную тепловую энергию.
Начнём с тепловой энергии, сосредоточенной в фононах, представляющих собой колебания ионов (атомов) кристаллической решётки. Предположим, что кристалл находится при температуре 20 °С (293 К). Будем называть это комнатной температурой и обозначать символом Т. Вспомним, что существует максимальная частота фононов fД. Если эта частота такова, что энергия kT много больше энергии фононов hfД, то на основании статистических законов для фононов находим, что средняя тепловая энергия, приходящаяся на один атом, равна 3kT. Символ k в этих соотношениях обозначает постоянную Больцмана – мировую постоянную, равную 1,38•10–23 Дж/К. При температуре, которая на один градус выше комнатной, тепловая энергия, приходящаяся на один атом, равна 3k(Т + 1). Таким образом, приходящаяся на каждый атом дополнительная энергия, необходимая для того, чтобы повысить температуру на один градус (мы назвали эту энергию удельной теплоёмкостью на атом) равна разности этих двух энергий, т.е. 3k, или численно 4,14•10–23 Дж/К. Итак, удельная теплоёмкость на атом должна иметь это значение для всех веществ. Из табл. 8-1 следует, что это утверждение приближённо верно для меди, серебра и свинца, но плохо выполняется для алмаза. Причина в том, что у алмаза частота fД много выше, чем аналогичная частота для трёх металлов, и чтобы kT стало много больше hfД, нужно перейти к значительно более высоким температурам. Если это условие не выполнено, то статистическая физика фононов утверждает, что удельная теплоёмкость уменьшается, стремясь к нулю при приближении температуры к абсолютному нулю. Все эти предсказания подтверждаются экспериментами.
Вновь обращаясь к табл. 8-1, видим, что удельная теплоёмкость на атом для трёх металлов на самом деле слегка больше, чем 3k, определяемая вкладом фононов. Этот избыток частично обязан своим происхождением наличию в металлах электронов проводимости, которые могут получать тепловую энергию и переходить в соседние незанятые квантовые состояния, внося, таким образом, вклад в удельную теплоёмкость. Оценим этот вклад.
Вопрос. В диэлектриках вклад электронов в удельную теплоёмкость отсутствует или очень мала. Почему?
Ответ. В диэлектриках вблизи квантовых состояний, занятых электронами, отсутствуют незанятые квантовые состояния, в которые электроны могли бы перейти, поглощая тепловую энергию.
Рассмотрим решётку металла с N атомами в 1 см3. Как мы видели, тепловые колебания определяют фононную часть удельной теплоёмкости: Cр=3Nk. Индекс «р» напоминает, что этот вклад определяется решёткой. Предположим теперь, что из каждого атома освобождается один электрон; энергии всех этих электронов образуют поверхность Ферми. При температуре 0 К электроны занимают все квантовые состояния вплоть до состояния максимальной энергии, называемой энергией Ферми EF. Эта энергия примерно в тысячу раз больше тепловой энергии, приходящейся на один атом при комнатной температуре. При температуре Т дополнительная тепловая энергия, которую может поглотить электрон, порядка kT, и это составляет малую долю энергии Ферми. Как показано на рис. 6-18 [см. № 36/04. – Ред.], отсюда следует, что в незанятые состояния более высокой энергии могут переходить только те электроны, энергии которых меньше энергии Ферми примерно на величину kT, и они оставляют вместо себя незанятые состояния, эквивалентные дыркам. Число таких электронов и дырок есть доля (kT/EF) их полного числа N. Каждый из них имеет в среднем энергию kT, так что полная тепловая энергия электронов и дырок равна их числу N(kT/EF), умноженному на kT, т.е. равна Nk2T2/EF.
Если теперь нагреть кристалл от температуры Т до температуры Т + 1, то энергия электронов и дырок увеличится до Nk2(T + 1)2/EF. Разность этих энергий как раз равна энергии, которую нужно передать электронам и дыркам в кристалле объёмом в 1 см3, чтобы поднять температуру на один градус, т.е. это есть электронная удельная теплоёмкость, которую можно обозначить Се:
Се = Nk2(Т + 1)2/EF – Nk2T2/EF.
Приближённо это равно Се = 2Nk2Т/EF (можно пренебречь единицей по сравнению с Т).
Теперь мы знаем, сколько энергии нужно передать фононам, а сколько – электронам и дыркам, чтобы повысить температуру кристалла на один градус. Удельная теплоёмкость кристалла как целого равна сумме удельных теплоёмкостей решётки и электронов. Можно найти относительный вклад от этих двух источников, вычислив отношение
Энергия Ферми в тысячу раз больше тепловой энергии, так что электронная удельная теплоёмкость составляет тысячную долю от фононной. Отсюда следует, что у металлов при комнатной температуре основная доля энергии, необходимой для нагреваения кристалла, передаётся фононам и только очень малая часть – электронам проводимости. В диэлектрике или полупроводнике вообще нет свободных электронов (или их число пренебрежимо мало), так что практически вся энергия при нагревании передаётся фононам.
3. Средняя длина свободного пробега
Вернёмся к стержню на рис. 8-1. Энергия в форме тепла непрерывно перетекает от его горячего конца к холодному. Попробуем описать это явление на языке электронов, дырок и фононов. Эти объекты обладают тепловой энергией и поэтому ответственны за её перенос по стержню.
Рассмотрим сначала стержень из диэлектрика, в котором носителями тепловой энергии являются только фононы, а свободных электронов просто нет. Ниже мы увидим, что результат, полученный только для фононов, применим с определёнными оговорками к электронам и дыркам. На рис. 8-3 показан стержень. Стрелки представляют фононы с одной из многих возможных частот, которые летают во всех возможных направлениях со скоростью, равной скорости звука в образце. Плотность, т.е. число фононов в единице объёма, постепенно уменьшается при переходе от горячего конца к холодному. То же самое происходит с фононами других частот, так что результаты, которые мы получим для фононов одной частоты, будут пригодны для всех фононов.
Рис. 8-3. В стержне, по которому распространяется тепло, имеются фононы всех частот, но показаны только фононы одной частоты. Каждая стрелка изображает фонон, распространяющийся в указанном направлении. Плотность фононов, т.е. их число в единице объёма, постепенно уменьшается от горячего конца стержня к холодному. Это в конце концов приводит к возникновению потока тепла от горячего конца к холодному
Вопрос. Почему плотность фононов при более высокой температуре больше?
Ответ. Чем выше температура, тем больше тепловой энергии проходит через данное сечение стержня. Эта энергия содержится в фононах, поэтому в данном сечении число фононов увеличивается.
Рассмотрим фонон вблизи горячего
конца стержня в области А. Прежде чем
столкнуться с другим фононом, он пролетит
определённое расстояние. Предположим, что
соударение происходит в области В.
В результате в силу закона сохранения энергии
фононы в области В превращаются в фононы
большей энергии, полная энергия которых равна
энергии начальных фононов. Раз увеличилась
энергия, следовательно, в области соударения
стало больше фононов, чем это предписывается
значением температуры в этой области. Эти
избыточные фононы продолжают соударяться со
следующими фононами, так что та же история
случается и дальше вдоль стержня. Одновременно в
области В существует и противоположно
направленный поток тепловой энергии за счёт
фононов, прибывающих из области типа С, ближе
к холодному концу стержня. Суммарный поток
энергии равен разности двух потоков.
Расстояние, которое пролетает фонон перед соударением, для каждого своё. Чтобы упростить рассуждения, предположим, что существует некоторое среднее расстояние между двумя последовательными соударениями. Назовём его средней длиной свободного пробега и обозначим l. Смысл этой величины в том, что в среднем фонон переносит энергию на расстояние l вдоль стержня, до того как испытает соударение и передаст энергию другим фононам, а те продолжат процесс. Некоторые экспериментальные данные о величине l приведены в табл. 8-2.
Электроны и дырки в металле испытывают соударения как с фононами, так и с атомами примесей в случае сплавов. Для них также существует понятие средней длины свободного пробега. Некоторые экспериментальные данные приведены в табл. 8-2.
Таблица 8-2. Средняя длина пробега частиц при комнатной температуре
Расстояние между соседними атомами в твёрдом теле составляет несколько ангстрем (1 A = 10–10 м). Таким образом, видно, что все указанные частицы пролетают перед соударениями довольно большие расстояния (по сравнению с межатомными). Если бы это были частицы в обычном смысле, то можно было бы ожидать, что средняя длина свободного пробега порядка межатомных расстояний. Именно квантовые свойства частиц ответственны за столь большие средние длины свободного пробега.