Трудные задачи

О.Ю.Шведов, С.Д.Варламов, М.В.Семёнов,
А.И.Елантьев, В.А.ПОГОЖЕВ, Д.Э.Харабадзе,
Д.А.Ягнятинский, А.А.Якута, К.В.Дмитриев,
В.В.Птушенко, А.В.Андрианов, К.В.Башевой,
А.Р.Зильберман, Ю.В.Старокуров
yakuta@genphys.phys.msu.ru

Продолжение. См. № 46/04

65-я Московская региональная олимпиада школьников по физике-2004
7–11-й классы

10-й класс

Задача 1

На горизонтальную шероховатую поверхность диска положили небольшую шайбу с привязанной к ней лёгкой нерастяжимой нитью длиной L. Другой конец нити прикреплён к лёгкому маленькому гладкому колечку, надетому на тонкую часть вертикальной оси, которая проходит через центр диска. Колечко находится от плоскости диска на высоте H < L, а радиус диска больше, чем

Диск начинают раскручивать вокруг оси с постепенно увеличивающейся угловой скоростью. Какую максимальную скорость может приобрести шайба по прошествии достаточно большого промежутка времени после начала раскручивания диска? Трением о воздух пренебречь.

Решение

Тангенциальное ускорение шайбе может сообщать только сила трения о диск. Она обратится в нуль, когда нить натянется и вертикальная проекция силы её натяжения T уравновесит силу тяжести, действующую на шайбу:

где a  – угол между осью и натянутой нитью. При этом горизонтальная проекция силы T   будет обеспечивать центростремительное ускорение шайбы, вращающейся на расстоянии Lsin от оси диска с искомой скоростью _max:

Учитывая, что для максимальной скорости шайбы получаем: для максимальной скорости шайбы получаем:

Заметим, что полученный результат не зависит от величины коэффициента трения шайбы о поверхность диска.

Задача 2

Пружинный маятник вывели из положения равновесия, сместив его грузик в вертикальном направлении, и отпустили без начальной скорости. Известно, что он колеблется с постоянным периодом T = 1 c и за половину периода амплитуда его колебаний уменьшается на  = 0,2%. До полной остановки грузик маятника проходит путь s = 999 см. Найдите величину начального отклонения грузика.

Решение

Обозначим начальную амплитуду колебаний грузика A₀, амплитуду через половину периода колебаний – A₁, через один период – A₂ и т.д. Тогда пройденный грузиком до полной остановки путь равен

По условию задачи, за половину периода амплитуда колебаний грузика уменьшается на %, или в 1 – раз. Следовательно,

и т.д. Тогда:

Сумма, стоящая в скобках, есть сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом, равным 1– и знаменателем q = 1 – < 1. Извест-но, что такая сумма равна

Поэтому

Отсюда

Следует отметить, что описанный в условии задачи колебательный процесс бесконечен, т.е. занимает бесконечно большое время. Однако, несмотря на это, маятник проходит до полной остановки конечный путь. Интересно, что пройденный путь намного превышает величину начального отклонения (в данном случае почти в 1000 раз!). Заметим, что, поскольку   1, то ответ можно также записать в виде приближённого равенства:

Задача 3

Какую работу необходимо совершить, чтобы достаточно медленно переместить небольшой ящик массой m из начала координат в точку B по горке, действуя на него силой, направленной по касательной к траектории его движения? Профиль горки показан на рисунке, коэффициент трения ящика о горку равен , ускорение свободного падения равно g. Указанные на рисунке значения координат считать известными.

Решение

По условию задачи, ящик двигают медленно. Это означает, что в любой момент времени сумма действующих на ящик сил равна нулю. Рассмотрим столь малый отрезок горки длиной l_i, что его можно считать прямолинейным участком наклонной плоскости, образующим с горизонтом угол i. Тогда сила, которую нужно прилагать к ящику для его медленного равномерного перемещения по этому участку, равна Работа, совершаемая такой силой на данном участке, равна

Здесь x_i и y_i – проекции отрезка l_i на оси X и Y соответственно. Из рисунка видно, что – /2 < < i < /2. Поэтому все x_i = l_icos_i > 0 (ящик все время движется направо, вдоль оси X), а величины y_i = l_isin_i могут быть как положительными (ящик поднимается), так и отрицательными (ящик опускается).

Таким образом, искомая работа по перемещению ящика из начала координат в точку B по горке равна

Задача 4

Идеальный газ находится в цилиндре площадью основания S под невесомым поршнем, который удерживается в равновесии пружиной, другой конец которой неподвижно закреплён. Снаружи цилиндра – вакуум. Над этим газом требуется провести циклический процесс 1 2 3 1, показанный на p, V-диаграмме. Для этого разрешается медленно нагревать и охлаждать газ, а также при переходе к каждому следующему участку процесса заменять пружину. Найдите жёсткости, начальные и конечные удлинения пружин, необходимых для реализации данного процесса. Значения давлений и объёмов газа в состояниях 1, 2 и 3 считать известными.

Решение

Рассмотрим процесс медленного нагревания или охлаждения газа под поршнем, который прикреплён к пружине жёсткостью k. Из условия равновесия поршня имеем k(x – x₀) = pS, где p – давление газа, x – координата нижней поверхности поршня, отсчитанная вверх от дна цилиндра, x₀ соответствует недеформированной пружине. Отсюда с учётом того, что V = Sx, получаем  Таким образом, графиком процесса на p, V-диаграмме является прямая с угловым коэффициентом откуда

Удлинение пружины x в зависимости от p равно

Из этих формул для участков   1 2, 2  3 и 3 1 циклического процесса с использованием p, V-диаграммы получаем:

– жёсткости пружин:

– удлинения пружин:

Задача 5

Внутри «чёрного ящика» находится схема, состоящая из нескольких одинаковых резисторов. Между клеммами 1 и 2 включена батарейка с ЭДС и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, а между клеммами 3 и 4 – идеальный вольтметр с нулевым делением посередине шкалы. Если включить такой же резистор, как те, что находятся внутри ящика, между клеммами 1 и 3 или между клеммами 2 и 4, то вольтметр покажет напряжение +U, а если включить этот резистор между клеммами 1 и 4 или между клеммами 2 и 3, то вольтметр покажет напряжение –U. Если резистор не включать, то вольтметр покажет нулевое напряжение. Нарисуйте схему возможных соединений внутри ящика, содержащую минимальное число резисторов, и определите U.

Решение

• Путём простого перебора вариантов легко установить, что минимально возможное число резисторов внутри «чёрного ящика» – четыре, возможны две схемы их соединения.
• Мостовая схема. Рассмотрим, например, случай, когда дополнительный резистор включён между клеммами 2 и 4. При этом между точками 3 и 1 падение напряжения равно /2, а между точками 4 и 1, очевидно,
  2/3. Поэтому между клеммами 4 и 3 напряжение равно U = 2/3 – /2  = /6.

• Схема с общей точкой посередине. Включим дополнительный резистор R₅ = R между точками 2 и 4, как и на первой схеме. В данном случае через резистор R₃ и идеальный вольтметр, обладающий бесконечно большим сопротивлением, ток не течёт. Поэтому общее сопротивление цепи, состоящей из резистора R₁ = R и подключённой к нему последовательно разветвлённой части цепи, состоящей из резистора R₂ = R и соединённого с ним параллельно сопротивления R₄ + R₅ = 2R, равно

Поэтому ток, текущий через резистор R₁, будет равен а ток, текущий через резисторы R₄ и R₅, – втрое меньше: Вольтметр показывает падение напряжения на резисторе R₄ = R, равное Остальные случаи подключения дополнительного резистора рассматриваются аналогично.

Задача 1

Найдите ускорение оси блока O в системе, состоящей из невесомых блоков, лёгких нерастяжимых нитей и грузов, массы которых указаны на рисунке. Трением пренебречь, ускорение свободного падения равно g. Участки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны.

Решение

Поскольку нити и блоки невесомы и трения нет, сила натяжения нити Т должна быть одинакова вдоль всей длинной нити. В проекции на вертикальную ось X уравнение движения невесомого блока О имеет вид: 2T – T = 0 •a_O = 0, где a_O – искомое ускорение оси этого блока. Отсюда следует, что Т = 0, и каждый из грузов падает под действием только силы тяжести с ускорением g: a₁ = а₂ = а₃ = g.

Из условия нерастяжимости нитей можно получить уравнение кинематической связи ускорений грузов (а₁, а₂, а₃) и a_O ускорения оси блока О. Для этого выразим постоянную длину нити l через координаты грузов и оси блока О:

(здесь const включает в себя длины участков нитей, лежащих на блоках и соединяющих блоки с грузами). Дифференцируя это соотношение два раза по времени, получаем связь ускорений:

откуда

Задача 2

Закрытый вертикально стоящий цилиндрический сосуд разделён на две части тяжёлым поршнем. Поршень изготовлен из материала, который не пропускает воздух, но медленно пропускает гелий. В начальный момент в нижней части сосуда находится воздух, а в верхней – в 5 раз меньшее число молей гелия. При этом объёмы верхней и нижней частей сосуда одинаковы и равны V, а поршень находится в равновесии. Найдите, на какое расстояние сместится поршень спустя достаточно большое время. Площадь поршня S, температура системы всё время поддерживается постоянной, трения нет.

Решение

В начальном состоянии вес поршня уравновешивается силами давления воздуха снизу и гелия сверху. Согласно уравнению Клапейрона–Менделеева, давление внизу равно а наверху где – количество молей гелия, T – температура системы.

В конечном состоянии парциальные давления гелия по обе стороны от поршня будут равны так что для его равновесия давление 5 молей воздуха снизу должно уменьшиться до значения

Это возможно, если при той же температуре объём воздуха внизу увеличится до Следовательно, изменение объёма нижней части сосуда к моменту установления равновесия составит

и искомое смещение поршня равно

Продолжение в № 3