Абитуриенту

А.А. Широков, Н.Н. Гомулина, В.П. Недошивин,
г. Москва

В УНИВЕРСИТЕТ!

Задачи, предлагавшиеся в разные годы при поступлении на естественные факультеты МГУ

Продолжение. См. №  38/01

Задача 67. Кислород массой m = 3,2 кг находится в вертикальном цилиндре под поршнем при температуре t1 = 22 °С. После сообщения кислороду количества теплоты Q = 9 • 103 Дж его температура стала t2 = 27 °С. Определите, какое количество теплоты пошло на увеличение внутренней энергии кислорода. Молярная масса кислорода M = 32 • 10–3 кг/моль, универсальная газовая постоянная R = 8,31 • 103 Дж/(моль • К). Трение между стенками цилиндра и поршнем отсутствует. Изменением плотности кислорода в сосуде по высоте пренебречь.

Дано:

m = 3,2 кг,
t1 = 22 °С,
T1 = 295 К,
Q = 9 • 103 Дж,
t2 = 27 °С,
T2 = 300 К,
M = 32 • 10–3 кг/моль,
m = 0,
R = 8,31 Дж/(моль • К),
r = const.
_________
DU – ?

На поршень действуют сила тяжести Mg, сила давления F1 со стороны газа в цилиндре и сила давления F2 со стороны атмосферного воздуха. При достаточно медленном нагревании газа можно считать, что поршень поднимается равномерно. Тогда сила F1 по величине равна сумме силы тяжести и силы давления атмосферного воздуха. В этом случае она постоянна, следовательно, и давление кислорода в цилиндре при этом процессе не меняется. Процесс перехода кислорода из начального в конечное состояние – изобарический.

Решение

По первому началу термодинамики, 

Q = DU + A,         (1)

где DU – изменение внутренней энергии газа, A – работа, совершаемая газом.

При изобарическом процессе

A = pDV = p(V2 – V1) = pV2 – pV1.                         (2)

Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева для двух состояний кислорода:

Вычтем из второго уравнения первое и получим:

Тогда уравнение (2) примет вид:

и из уравнения (1) получаем:

Проверка решения по размерности

 

С этой точки зрения задача решена верно, тогда

Задача 68. Амперметр, включенный в участок цепи, изображенный на рисунке, показывает силу тока I1 = 0,5 А. Найдите силу тока через резистор R4. Сопротивления резисторов: R1 = R4 = 2 Ом; R2 = 4 Ом, R3 = R5 = 1 Ом. Сопротивлением амперметра пренебречь.

Дано:

I1 = 0,5 А,
R1 = R4 = 2 Ом,
R2 = 4 Ом,
R3 = R5 = 1 Ом.
__________
I4 – ?

Анализ условия

Резисторы R1 и R2, а также ветвь цепи, содержащая резисторы R3, R4 и R5, соединены параллельно. Резистор R3 включен последовательно с соединенными между собой параллельно резисторами R4 и R5.

Решение

Найдем разность потенциалов UAB по закону Ома для участка цепи:

UAB = I1R1.

Под таким же напряжением находится и нижняя ветвь цепи. Тогда протекающий по ней ток  , где R3,4,5 – общее сопротивление нижней ветви цепи:

Тогда

Этот ток создаст на параллельно соединенных резисторах R4 и R5 напряжение

Тогда ток, протекающий по резистору R4, по закону Ома, равен

Проверка решения по размерности

С этой точки зрения задача решена верно, тогда

Задача 69. Невесомый стержень вращается вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню. По разные стороны, на расстоянии l1 = 1 м и l2 = 2 м от нее, на стержне закреплены грузы массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг соответственно. Стержень, первоначально расположенный горизонтально, отпускают без толчка. Найдите скорости грузов в тот момент, когда стержень проходит вертикальное положение. Трение отсутствует. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Дано:

l1 = 1 м,
l2 = 2 м,
m1 = 1 кг,
m2 = 2 кг,
g = 10 м/с2.
_________
v1 – ?
v2 – ?

Грузы взаимодействуют с Землей и стержнем, а стержень – с осью, поэтому на них действуют внешние силы: силы тяжести m1g и m2g, а на стержень – еще сила реакции Q опоры. Силы упругости, действующие на грузы со стороны стержня, и силы натяжения, действующие на стержень со стороны грузов, – внутренние силы системы тел: грузы–стержень.

Под действием этих сил система тел приходит во вращательное движение: груз m1 движется – вверх, а груз m2 – вниз. При предположении, что стержень абсолютно жесткий, угловые скорости тел равны.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с Землей, и будем считать ее инерциальной. По закону сохранения механической энергии:

Связь между линейной и угловой скоростями выражается соотношением v = wR, где R – радиус вращения. Тогда для первого груза а для второго отсюда

Подставим полученное соотношение в (1):

Тогда

TopList