Методические страницы

Физические задачи на использование метода математической индукции

В научных исследованиях широко используется метод, основанный на индуктивных рассуждениях. Этот метод называется методом индукции. Слово «индукция» в переводе на русский язык означает наведение, а индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений и опытов, т. е. полученные путём рассмотрения частных случаев и последующего распространения замеченных факторов на общий случай.

Метод индукции успешно применяется в физике, особенно в экспериментальной. Обобщая достаточно большое количество опытных данных, экспериментаторы делают научные выводы и утверждения. Этот этап в математической науке называется базисом индукции или неполной индукцией. При использовании неполной индукции утверждается обобщённый вывод или индуктивное предположение, справедливость которого нужно ещё доказать. Таким образом, применение неполной индукции в физических исследованиях необходимо, но не достаточно. Чтобы доказать справедливость полученных утверждений на основе неполной индукции, следует исследовать их с позиции математической индукции.

Принцип математической индукции заключается в следующем:

1. Проверяется справедливость утверждения для n = 1, 2 и 3.
2. Предполагается справедливость этого утверждения для n = k.
3. Доказывается справедливость этого утверждения для n = k + 1 с учётом предполагаемой справедливости его для n = k.

После этого делается вывод, что утверждение справедливо для любого натурального числа n.

Метод индукции оказывается полезным при решении ряда физических задач. С помощью индуктивного рассуждения устанавливается некая формула на основе обобщения результатов трёх или четырёх частных случаев. Далее эта формула исследуется с позиции метода математической индукции.

Следующие примеры поясняют, как использовать метод индукции для решения некоторых учебных задач.

 

1. Наблюдатель, стоявший в момент начала движения электропоезда у его переднего края, заметил, что первый вагон прошёл мимо него за τ₁ = 4 с. Сколько времени будет двигаться мимо него десятый вагон? Движение считать равномерно ускоренным.

Решение. Длина первого вагона второго вагона Здесь υ₁ – скорость переднего края второго вагона, когда он проходит мимо наблюдателя, τ₂ – время, за которое второй вагон пройдёт мимо наблюдателя. Очевидно,

Выражения для τ₁, τ₂ и τ₃ наводят на мысль, что должна для τ_n выполняться следующая закономерность:

На основе метода математической индукции докажем справедливость этой формулы. Предположим, что данная формула справедлива для n = k. Тогда Для n = k + 1 запишем что отражает суть исследуемой формулы:

Следовательно,

 

2. Интенсивность звука (шума) за стеной составляет 10 Вт/м² (порог болевого ощущения). Стена сооружена из звукопоглощающего материала. Какой должна быть толщина стены, чтобы в помещении сохранилась допустимая норма интенсивности звука (10^-10 Вт/м²), если интенсивность звука через каждый 1 мм материала убывает на 10%?

Решение. Мысленно разделим стену на слои толщиной 1 мм.

После прохождения первого слоя интенсивность звука составляет I₁ = I₀(1 – β), где I₀ = 10 Вт/м²; β = 0,1. Аналогично: после прохождения второго слоя I₂ = I₁(1 – β) = I₀ (1 – β)², после прохождения третьего слоя I₃ = I₂(1 – β) = I₀(1 – β)³. Тогда для n-го слоя I_n = I₀(1 – β)ⁿ.

Применяем метод математической индукции для этой формулы. Предположим, что данная формула справедлива для n = k, т. е. I_k = I₀(1 – β)^k. Для n = k + 1 запишем I_k+1 = I₀(1 – β)^k+1, что согласуется с исходной формулой I_n = I₀(1 – β)ⁿ.

Отсюда Таким образом, искомая толщина стены равна 240 мм.

 

3. Поршневой насос при каждом качании захватывает объём V₀ воздуха. При откачке этим насосом воздуха из сосуда объёма V насос совершил n качаний. Найдите установившееся давление в сосуде. Начальное давление внутри сосуда p₀.

Решение. После одного качания давление в сосуде станет равным после второго качания p₁V = p₂(V + V₀) и, следовательно, после третьего

После n качаний давление в сосуде станет

 

4. Конденсатор ёмкостью C₀ = 20 мкФ заряжают до разности потенциалов U₀ = 400 В и подключают к конденсатору ёмкостью C = 1 мкФ, в результате чего последний заряжается. Отключив этот конденсатор, заряжают таким же образом второй конденсатор той же ёмкостью (C = 1 мкФ), третий и т. д. Затем конденсаторы соединяют последовательно. Какую максимальную разность потенциалов можно получить таким образом?

Решение. Начальный заряд конденсатора q₀ = C₀U₀. После подключения первого конденсатора заряд q₀ распределится между C₀ и C. После отсоединения C от C₀ на обоих конденсаторах установится разность потенциалов, равная

Оставшийся заряд на конденсаторе C₀ равен

При зарядке второго конденсатора напряжение на обоих конденсаторах (C₀ и С) становится равным

Очевидно, (Используем метод математической индукции, как в примере 2.)

Просуммировав эту бесконечную геометрическую прогрессию, получим:

 

5. Имеются 20 клемм, каждая из которых соединена со всеми остальными клеммами одинаковыми резисторами, сопротивление каждого из которых равно 10 Ом. Найдите сопротивление между любыми двумя клеммами.

Решение. Вначале берём две клеммы, n = 2 (случай одной клеммы не имеет физического смысла): сопротивление между ними R₂ = R.

Берём три клеммы: сопротивление между клеммами 1 и 2 равно

Берём четыре клеммы. Подключим источник питания к клеммам 1 и 2. Поскольку в точках 3 и 4 потенциалы одинаковы, через резистор, соединяющий эти клеммы, ток не идёт. Следовательно, можно его убрать. Таким образом,

Обобщая результаты:

находим общую формулу для с опротивления между n клеммами:

Итак,

Другой способ решения этой задачи приведён в статье Л. Тарасова (Симметрия в задачах по физике. // Квант. 1978. № 6. С. 65–69). Отметим, что процесс решения подобных задач развивает у учащихся стиль научного мышления, а специально отобранные физические задачи на применение метода индукции служат средством формирования умений построить логические рассуждения, анализировать и обобщать получившиеся результаты.

 

ОТ РЕДАКЦИИ

Основой метода математической индукции, как мы себе это представляем, является следующее: если угаданное на нескольких первых шагах выражение верно на k-м шаге, то нужно доказать, что оно верно на (k + 1)-м шаге. В примерах 2–4 доказательство этого факта очевидно. В примере 1 автор выписывает лишь формулы для искомого выражения на k-м и (k + 1)-м шагах. Видно, доказательство того, что из одной формулы следует другая, предоставляется построить читателю. Аналогичное задание читателю содержится и в примере 5.

В.А. ГРИБОВ, доцент МГУ

Базарбек Агзашулы Мукушев – д.п.н., проф. Семипалатинского ГПИ, обладатель государственного гранта Республики Казахстан «Лучший преподаватель вуза-2007», заведующий кафедрой информатики и информационных технологий СГПИ, педагогический стаж 34 года. Начинал как учитель физики в сельской школе. Сфера научных интересов: модернизация естественнонаучного образования в средней и высшей школе, развитие исследовательской деятельности учащейся молодёжи и воспитание одарённых школьников по физико-математическим направлениям. Автор 3 монографий, 5 учебных пособий и более 80 научно-методических статей. Семья: жена – учитель математики в школе, два сына и дочь – преподаватели вуза. Хобби: составление заданий для физической олимпиады школьников и студентов. Педагогическое кредо: воспитывать молодых физиков и математиков, являющихся интеллектуальной элитой нации.