Методические страницы

Готовимся к ЕГЭ по математике на уроках физики (или к ЕГЭ по физике на уроках математики)

Вот уже третий год обязательным ЕГЭ для всех выпускников средних школ России является экзамен по математике. В ЕГЭ этого года были внесены значительные изменения и добавлены 3 задачи (В1, В10 и В12), где проверяется умение «использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». Радует тот факт, что среди заданий В10 и В12 очень много относящихся к физике, но часто учителя математики не могут правильно объяснить физический смысл вопросов, и решение становится «механическим». Целесообразно рассмотреть решение этих задач на уроках физики, тем более что это необходимо всем без исключения ученикам. Конечно, хорошо, что математики вообще вспомнили о физических задачах, однако некоторые из них вследствие явного отсутствия консультантов-физиков, приносят больше вреда, чем пользы, т. к. дают неверные представления о природных объектах или технических устройствах.

Предлагаем учителям физики типовые задачи из банка задач, опубликованных на сайте mathege.ru и в сборниках типовых вариантов, опубликованных МИОО и ФИПИ, рекомендации к их решению и ответы.

 

Задания B10

Все задачи этого варианта подразумевают простую подстановку числовых данных в приведённую формулу. Однако все они не лишены физического смысла и могут использоваться при повторении курса физики.

1 (раздел «Кинематика»). Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 44 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 50 км/ч. Третья дорога – без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 62 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между пунктами по дорогам. Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.

Комментарии. Следует напомнить, что «средняя путевая скорость движения»:

Ответ. Грузовик; 2,75 ч.

 

2 (раздел «Гидростатика и гидродинамика»). В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его открывания вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H(t) = 1,8 – 0,96t + 0,128 t², где t — время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

Комментарии. Почему вода будет вытекать из бака? Когда прекратится этот процесс?

Ответ. 3,75 мин.

 

3 (раздел «Электричество»). Зависимость температуры Т (в кельвинах) от времени t (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением:

T(t) = T₀ + at + bt²,

где T₀ = 1160 К, а = 34 К/мин, b = –0,2 К/мин². Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

Комментарии. Попробуйте объяснить, как «прибор может испортиться». Подставляя вместо Т(t) величину, равную 2000 К, получаем квадратное уравнение, решая которое, получаем искомое время.

Ответ. 30 мин.

 

4 (раздел «Термодинамика»). Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой При каком наименьшем значении температуры нагревателя  Т₁ КПД этого двигателя будет не менее 80%, если температура холодильника Т₂ = 400 К.

Комментарии. Эта задача как раз из тех, которые дают неверные представления ученикам о механизмах явления. Любой учитель физики будет удивлён столь высоким значением КПД некоего двигателя. Ведь у паровоза за 150 лет «эволюции» смогли получить КПД только 5%! КПД современного автомобильного двигателя внутреннего сгорания достигает 35%, а водородного топливного элемента 45%. Обычный же КПД двигателей внутреннего сгорания составляет 20–30% (БСЭ). КПД классического атмосферного дизеля 30–35%, дизеля CDI или его аналогов – от 40%, современной паровой турбины (вид парового двигателя, преобразующего энергию пара в механическую) – до 65%.

Следует напомнить, что Т – это абсолютная температура по шкале Кельвина. Подставляя данные в формулу, получаем, что температура нагревателя будет равна 2000 К, что заставляет задуматься, из какого же материала выполнен данный двигатель? Видимо из тугоплавкого. К тугоплавким (температура плавления выше 1539 °С) металлам относятся: хром (температура плавления 1890 °С), молибден (2620 °С), ванадий (1900 °С), тантал (3015 °С) и многие другие металлы. Самый тугоплавкий металл – вольфрам, температура плавления 3420 °С.

Ответ. 2000 К.

 

5 (раздел «Электричество»). В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 100 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух резисторов сопротивлениями R₁ и R₂ их общее сопротивление даётся формулой  а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом.

Комментарии. Поскольку все величины в условии задачи даны в системе СИ, то подставим известные значения в приведенную формулу находим R₂ ≥ 25 Ом.

Ответ. 25 Ом.

 

6 (разделы «Оптика», «Астрономия»). Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела вычисляется по формуле P = σST⁴, где  σ = 5,7 · 10^-8, площадь S поверхности выражается в квадратных метрах, температура T – в кельвинах, а мощность – в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/16) · 10¹⁴ м², а излучаемая ею мощность не менее 0,57 · 10¹⁵ Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды (в кельвинах).

Комментарии. Как и в других задачах, нам надо подставить данные значения величин в приведённую формулу. После несложных вычислений получаем шокирующий результат – температура поверхности звезды равняется 200 К (т. е. –73 °С)!

Как известно, поверхностная температура звёзд варьируется в широких пределах. Существуют очень холодные звёзды, с температурой поверхности около 2000 К и очень горячие звезды, до 50 000 К. Поверхностная температура Солнца равна 5760 К. Поэтому представляется невозможным столь низкое значение температуры излучающей звезды. Ответ может привести к тому, что ученики, знающие астрономию, не запишут полученный результат, и оценка им соответственно будет снижена. Те же, кто астрономии не знает, будут в полной уверенности, что такие звёзды существуют.

Ответ. 200 К.

 

7 (раздел «Кинематика»). Камень брошен вертикально вверх. Пока он не упал, его высота описывается формулой h(t) = –5t² + 18t (h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 м.

Комментарии. Записываем неравенство –5t² + 18t ≥ 9 и, решая его, получаем два значения для времени. вычитая из большего меньшее, получаем ответ: 2,4 с.

Ответ. 2,4 с.

 

8 (раздел «Ядерная физика»). Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m₀ = 12 мг изотопа иттрия-90, период полураспада которого Т = 64 ч. В течение скольких часов содержание изотопа иттрия-90 в веществе будет больше 3 мг?

Комментарии. Следует напомнить, что такое изотопы химического элемента, к каким элементам относится иттрий, что такое период полураспада. Далее подставляем в приведённую формулу числовые данные и получаем ответ: 128 ч.

Ответ. В течение 128 ч.

 

9 (раздел «Термодинамика», тема «Тепловое расширение тел»). При температуре 0 °С рельс имеет длину l₀ = 25 м. При прокладке путей оставили зазор между рельсами 12 мм. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина меняется по закону l(t°) = l₀(1 + αt°), где α = 1,2 10^-5 (°С)^-1 – коэффициент термического расширения, t – температура в градусах Цельсия. При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)

Комментарии. Следует вспомнить, зачем необходим зазор между рельсами в климате России, что такое линейное тепловое расширение. Далее следует обратить внимание, что значения длины и зазора выражены в различных единицах. Следует все данные перевести в миллиметры, переписать формулу для длины в зависимости от температуры в виде l(t°) = l₀ + Δl, Δl = αt°l₀ = 12 и, подставив числовые данные, получить 40 °С – вполне реальное значение температуры рельсов на солнцепёке летом.

Ответ. 40 °С.

 

10 (раздел «Кинематика»). Тело движется прямолинейно в вертикальном направлении по закону h(t) = 7 + 12t - 9t² (t – время движения в секундах, h – расстояние от земли в метрах). Определите начальную скорость движения (в м/с).

Комментарии. Составители предполагали, что скорость (согласно физическому смыслу производной) можно найти простым дифференцированием данного уравнения по времени. Проведя эти действия, получим υ(t) = 12 – 18t. сравнивая полученную формулу с известной зависимостью скорости от времени при равнозамедленном движении υ(t) = υ₀ – at, получаем υ₀ = 12 м/с. При этом ускорение a = 18 м/с², т. е. это не свободное падение тела! Однако, вспомнив уравнение для равноускоренного движения, легко видеть, что коэффициент при t равен начальной скорости тела. Задача решена!

Ответ. 0 м/с.

 

11 (раздел «Кинематика»). Тело движется прямолинейно по закону x = 25sin(2t), где x – координата тела (в метрах), t – время (в секундах). Какую скорость (в м/с) имело тело в начале движения?

Комментарии. Как и в предыдущей задаче, составители берут производную координаты по времени, получают υ(t) = 50cos(2t) и считают, что υ₀ = 0.

 

Задания B12

Все задачи данного варианта, имеющие физическое содержание, на тему «Равномерное прямолинейное движение». Решать их следует, используя стандартные чертежи. Приведём лишь некоторые.

1. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 78  км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Комментарии: Рисуем схематически чертеж. Пусть s_B – расстояние между пунктами А и В, υ₁ – скорость первого автомобиля, (υ₁ – 13) – скорость второго на первой половине пути. Тогда:

Решаем квадратное уравнение относительно υ₁ и, учитывая неравенство, выбираем ответ: 52 км/ч.

Ответ. 52 км/ч.

 

2. Моторная лодка прошла по реке против течения 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Комментарии. Вспомним тему «Относительность движения». Пусть скорость лодки в неподвижной воде υ, а скорость течения реки u. Определим, что скорость лодки на первом этапе пути υ – u, а на втором υ + u. Составим уравнение:

и, решив его относительно v, получим ответ: 16 км/ч.

Ответ. 16 км/ч.