Задачи, тесты

Задачи, принесённые с городской прогулки...

1. Проезд моста

Без запретов и следов,
Об асфальт сжигая шины,
Из кошмара городов
Рвутся за город машины –
И громоздкие, как танки,
«Форды», «линкольны», «селены»,
Элегантные «мустанги»,
«Мерседесы», «ситроены».
Владимир Высоцкий.
Песня о двух красивых автомобилях. 1968

Кончается рязанская улица Есенина, плавно переходящая в красавец-мост через Оку. Кончаются пыль и загазованный воздух города – впереди в двадцати верстах курортный посёлок Солотча. А это сосновый бор, малая чистая речка, родники с прекрасной водой. При въезде на мост машины с предвкушающими отдых пассажирами резко увеличивают скорость, иногда и до 120 км/ч. Кажется, что колёса еле касаются асфальта, вот-вот оторвутся. Проверим, возможно ли это.

В краеведческом отделе областной библиотеки удалось узнать, что длина моста L = 1040 м, а его высота H = 20 м. Найдём радиус кривизны моста R. Ввиду того, что H ≪ L, отождествим хорду и дугу моста. Тогда из ∆OBC имеем, по теореме Пифагора: R² = (R - H)² + L²/4, откуда Легко убедиться, что для нашего моста поэтому мы вправе положить

Пусть автомобиль движется по мосту со скоростью v и находится в точке D. Направление на точку D из центра кривизны моста – точки O – составляет с вертикалью угол β. По второму закону Ньютона, ma = mg + N, где N – сила реакции моста. Запишем это уравнение в проекциях на нормаль к поверхности моста ОD = n:

Угол β меняется в процессе движения автомобиля. Однако это не явится препятствием для расчётов. Из ∆OBC находим:

С учётом формулы (1)

Но β < α, значит cosβ > cosα. Поэтому заменяем cosβ единицей, тогда

Условие неотрыва машины от моста, очевидно, N ≥ 0 (ведь N – модуль вектора N), т. е.

Из формул (2) и (3) окончательно имеем:

Формула (4) даёт числовой результат υ ≤ 260 м/с в системе СИ, или υ ≤ 936 км/ч.

Последнее неравенство в реальности всегда выполняется, так что отрыв легковой машины от моста невозможен. Из этого, конечно, не следует, что езда с «трёхзначной» скоростью безопасна.

А вот гоночным машинам по этому мосту ехать нельзя, даже в полном одиночестве, ибо они развивают скорости и больше 1000 км/ч. Так, мировой рекорд скорости автомобиля с реактивным двигателем на 1 января 1989 г. составлял 1025,2 км/ч.

Зададимся вопросом: почему практически не бывает вогнутых автомобильных мостов? Ведь их построить не труднее, чем выпуклые. На рисунке ниже изображён вогнутый мост. Ситуация с автомобилем на нём та же, что и на выпуклом. По второму закону Ньютона, ma = mg + N₁, где N₁ – сила реакции моста. Запишем это уравнение в проекциях на нормаль к поверхности моста O₁D₁ = n₁: откуда

Аналогично случаю с выпуклым мостом можно считать cosβ = 1, значит

Из формулы (5) следует, что никакой автомобиль ни при какой скорости не оторвётся от вогнутого моста – такой мост хорошо «держит» машину (однако негоночная машина не оторвётся и от выпуклого).

Из формул (2) и (5) имеем:

Из формул (1) и (6) вытекает:

Формула (7) относится к одиночной машине. Но по мосту идёт поток машин. Мост имеет четыре полосы. Пусть на каждой полосе машины занимают её четвёртую часть. Тогда на мосту n = L/l машин, если l – средняя длина автомобиля.

Из формулы (7) следует, что разность в нагрузке на вогнутый и выпуклый мост равна:

Разумно взять:

– m = 10³ кг,

– l = 4 м,

– υ = 120 км/ч = 33,3 м/с.

Тогда по формуле (8): nN₁ – nN = 8,53 · 10⁴ H. Не такая уж и малая величина! Чтобы не подвергать мосты излишнему и ненужному напряжению, их и делают выпуклыми, а не вогнутыми. Да и машины меньше «сжигают шины об асфальт».

 

2. Синицы и... физика

Уже который год осенью прилетают в Рязань синицы, садятся на деревья и кусты рядом с нашей пятиэтажкой. А самые смелые прыгают на водоотливе за оконными стёклами – просят еду. Синицы охотно расклёвывают семечки подсолнечника, которые автор ежедневно выносит им на водоотлив и в подвешенную к дереву пластмассовую коробочку.

Однако кроме еды надо же птичкам что-то и пить. Обычно проблем с этим нет – весной, летом, осенью есть лужи, а зимой синицы клюют снег. Но декабрь 2008 г. выдался в Рязани рекордно бесснежным. Поэтому во второй такой же коробочке стал выносить птицам воду. Синицы проявили к ней интерес – активно утоляли жажду. Как-то коробочка осталась на ночь и к утру промёрзла до дна.

Принеся в кухню бесполезный для птиц лёд, измерил время, за которое он полностью растает – получилось 5 ч. А разве не интересно оценить теоретически время τ таяния льда?

Удельную теплоёмкость льда с = 2100 Дж/(кг · К) и его удельную теплоту плавления λ = 334 кДж/кг находим по таблицам. Взглянем на градусники – за окном t₀ = –11 °С (T₀ = 262 К), в кухне t = 22 °С (T = 295 К). Определить массу льда (испарением воды в процессе таяния льда пренебрегаем) помог мерный сосуд: m = 0,2 кг, S = 0,022 м².

Количество теплоты, необходимое для таяния льда, Q = –cmt₀ + λm. Оценим эту величину, ибо точный расчёт крайне затруднителен, если вообще возможен. И уж наверняка не нужен.

Лёд в сосуде получает тепло из окружающей среды за счёт теплопроводности и излучения, ибо конвекция явно незначительна. Учесть теплопроводность трудно, соответствующий табличный коэффициент для границы воздух–лёд найти в справочниках не удалось. А ведь ещё есть граница воздух–пластмасса... Считая оба вида теплопередачи примерно равновеликими, примем, что по закону Стефана–Больцмана, Q ~ σSt(T⁴ – T_0⁴), где σ = 5,67 ∙ 10^-8 Дж/(м² · с · К⁴) – постоянная Стефана–Больцмана. То есть полагаем, что лёд поглощает тепло как абсолютно чёрное тело. Конечно, он поглощает меньше, но разницу между «чернотой» и «серостью» отнесём на счёт теплопроводности. Знак «~» означает равенство порядков величин её левой и правой частей, ибо точный расчёт требует интегрирования, для которого надо знать зависимость температуры в сосуде от времени. Да разве её опишешь формулой? Оценочные расчёты физически смелы и математически просты! Иначе зачем они тогда?!

Из предыдущих формул находим

σSt(T⁴ – T_0⁴) ~ m(–ct₀ + λ),

откуда

Вычисление по формуле даёт τ ~ 20 000 c = 5,56 ч. Весьма хорошая точность оценочного расчёта говорит о принципиальной верности выбранной физической модели.