Абитуриенту

МГУ им. М.В.Ломоносова-2009: Дистанционная олимпиада «Шаг в физику»

В декабре 2009 г. физфак МГУ им. М.В. Ломоносова во второй раз провёл дистанционную олимпиаду по физике для школьников. Официальным информационно-технологическим партнёром Олимпиады была компания Google Inc. Для участия достаточно было иметь компьютер, подключённый к Интернету. После регистрации на сайте http://www.distance.msu.ru/ участник получал закреплённый за ним навсегда адрес электронной почты, с помощью которого он мог связываться с организаторами. Задания предназначались для учащихся 9–11-го классов средних школ и средних профессиональных учебных заведений. 13.12.2009 г. все зарегистрировавшиеся получили доступ к заданиям, которые они должны были выполнить в тот же день в течение 6 ч. Для дистанционного представления ответов и решений допускались различные формы: текстовый файл, документ MSWord, а также отсканированные или сфотографированные с высоким разрешением рукописные страницы. В олимпиаде приняли участие свыше 2300 учащихся из 66 субъектов России, а также из Украины, Беларуси и Таджикистана. Все победители были награждены почётными дипломами и получили приглашение на второй тур Московской региональной олимпиады по физике. Дистанционная олимпиада для школьников «Шаг в физику» будет проводиться ежегодно. Подробную информацию о ней можно найти на сайте физического факультета МГУ http://www.phys.msu.ru/, а также на официальном сайте Олимпиады http://www.distance.msu.ru/. Приводим условия и подробные решения заданий олимпиады.

9-й класс

1. Маленький шарик бросают от поверхности Земли под углом α = 30° к горизонтали. В точке падения шарика, находящейся на одном уровне с точкой бросания, установлена тяжёлая гладкая пластинка. Под каким углом β к горизонтали нужно расположить эту пластинку, чтобы после абсолютно упругого соударения с ней шарик вернулся в точку бросания?

Решение

Из выражения для дальности полёта шарика следует, что при фиксированной начальной скорости υ₀ существуют две траектории, двигаясь по которым шарик попадёт в заданную точку. Эти траектории соответствуют двум углам бросания α₁ и α₂, связанным соотношением α₂ = (π/2) - α₁. Поскольку модуль скорости шарика после упругого соударения с пластинкой не изменяется, вектор скорости шарика после удара должен составлять с горизонталью один из этих углов. Таким образом, пластинку следует установить либо перпендикулярно к направлению скорости шарика перед ударом, т. е. под углом β₁ = (π/2) - α к горизонтали, либо перпендикулярно биссектрисе угла между двумя возможными направлениями скорости, т. е. под углом β₂ = π/4 к горизонтали.

Таким образом, β₁ = (π/2) - α, β₂ = π/4.

 

2. Два автомобиля едут друг за другом с постоянной скоростью υ = 90 км/ч по горизонтальному прямолинейному шоссе. Асфальт на шоссе мокрый из-за недавно прошедшего дождя. На каком минимальном расстоянии от переднего автомобиля должен держаться автомобиль, идущий позади, чтобы его водителю не пришлось включать стеклоочистители? При расчёте учтите, что для впереди идущего автомобиля угол между горизонталью и касательной к заднему колесу, проведённой через край брызговика, равен α₀ = 47°. Влиянием воздуха на движение капель воды можно пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с².

Решение

Поскольку влияние воздуха мало, движение капли после отрыва от колеса автомобиля происходит под действием только силы тяжести. Приведём два способа решения задачи.

1-й способ. В неподвижной системе отсчёта скорость капли при отрыве от колеса в точке A равна скорости v этой точки на поверхности колеса. По закону сложения скоростей, υ = u + V, где u – скорость точки A относительно поступательно движущейся системы отсчёта, связанной с центром колеса, V – скорость автомобиля. Из условия отсутствия проскальзывания колёс следует, что u = V. Расположим координатную плоскость XY в плоскости одного из задних колёс автомобиля, идущего впереди. Начало координат совместим с мгновенным положением центра колеса, ось X направим горизонтально в направлении движения машины, а ось Y – вертикально вверх. Очевидно, что движение капли будет происходить в плоскости XY. Пусть вектор u образует с горизонталью некоторый угол α. Как следует из рисунка, проекции на оси координат скорости капли, отрывающейся от колеса в точке A, равны: υ_x = V – V cos α; υ_y = V sin α.

Траектория капли изображена штриховой линией. Пренебрегая высотой точки A над поверхностью шоссе по сравнению с высотой подъёма капли, получаем время полёта капли:

Дальность полёта капли составляет величину:

Перемещение идущего сзади автомобиля за время полёта капли t₀ равно

Следовательно, чтобы рассматриваемая капля не попала на этот автомобиль, расстояние между автомобилями должно быть не менее

Максимум этого выражения достигается при α = 45° и составляет

С другой стороны, предельное значение угла α равно α₀, т. к. капли, оторвавшиеся от колеса выше точки, в которой касательная к окружности колеса составляет с горизонталью угол α₀, будут задержаны брызговиком и колёсной аркой и на идущий сзади автомобиль не попадут. Таким образом, минимальное расстояние между автомобилями, при котором капли воды, поднятые в воздух колёсами первого автомобиля, не будут попадать на второй автомобиль, определяется соотношениями:

 

2-й способ. Рассмотрим движение капли в системе отсчёта X′Y′, движущейся со скоростью V вместе с автомобилями. Траектория капли в этой системе отсчёта изображена штриховой линией.

Пренебрегая, как и ранее, высотой точки A над поверхностью шоссе, можно сразу записать выражение для дальности полёта капли которое в этой системе отсчёта совпадает с расстоянием между автомобилями. Проведя анализ этого выражения, аналогичный вышеизложенному, получаем окончательный ответ:

Используя данные из условия, находим s = 62,5 м.

Поскольку ветровое стекло автомобиля расположено позади капота на некоторой высоте над поверхностью шоссе, на самом деле расстояние между автомобилями можно немного сократить. Для оценки можно приближённо положить s ≈ 60 м.