Задачи, тесты

Три задачи по механике

1. Фантастическая задача (5.42 [1]). «Два богатыря на полюсе Земли бросают вертикально вверх булавы. Первая упала через неделю, вторая – через 30 дней. Оцените, на сколько различались их начальные скорости».

По приведённому авторами ответу (≈75 м/с) нельзя догадаться об идее решения. Задача же стоит того, чтобы её решить. Само собой разумеется, что в описанной фантастической ситуации атмосфера на Земле отсутствует. А вот термин «оценить» необходимо уточнить. Ведь речь идёт не об оценке порядка физической величины, а об обычном её вычислении, привычном при решении задач.

Физическая интуиция подсказывает: огромное время полёта обеих булав свидетельствует о близости их начальных скоростей ко второй космической скорости = 11,2 км/c. Значит, разность начальных скоростей булав весьма мала по сравнению с .

Наибольшую высоту подъёма тела H, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью υ₀, найдём из закона сохранения энергии:

Учитывая, что GM = gR², находим:

Здесь M – масса Земли, R – её радиус.

Так как величина υ₀ лишь немного меньше, чем , то из вышенаписанной формулы следует, что H ≫ R. Последнее неравенство мы сейчас используем.

Чтобы избежать применения высшей математики, рассмотрим падение булавы с огромной по сравнению с радиусом Земли высоты не по прямой, а по чрезвычайно вытянутому эллипсу с Землёй в одном из его фокусов. Здесь нам поможет третий закон Кеплера:

где – период обращения низколетящего над поверхностью Земли спутника, T – время движения булавы. Следовательно,

Объединяя вышеприведённые формулы, получаем откуда

Вычисления по формуле (1) очевидны, но всё же интересно получить более простую структурную (буквенную) формулу для искомой разности начальных скоростей булав υ₀₂ – υ₀₁. Эта формула будет приближённой, однако достаточно точной из-за малости величины

С учётом соотношения (1 + α)^x ≈ 1 + αx, при x = -(1/2), имеем:

Следовательно,

Подстановка числовых значений даёт υ₀₂ – υ₀₁ ≈ 71,6 м/с.

2. Прыжок с моста

Они зацепят меня за одежду, –
Значит, падать одетому – плюс, –
В шлюпочный борт, как в надежду,
Мёртвою хваткой вцеплюсь.
В. Высоцкий.
Человек за бортом, 1969

В один из жарких летних дней в Рязани произошёл такой случай. По мосту через Оку шла группа молодёжи. Один из них – активный спортсмен. Он сказал, что спрыгнуть с моста для него нет проблем. Сказано – сделано. Прыгун сгруппировался так, чтобы войти в воду передней поверхностью тела. Цель этого понятна – увеличить давление на воду при ударе, чтобы не стукнуться головой о дно. Последнее было более чем реально, ибо высота моста в его середине над водяным зеркалом H = 20 м, а наибольшая глубина Оки метров восемь.

Эксперимент закончился так. Юноша полностью погрузился в воду, затем вынырнул, но был не в состоянии доплыть до берега, лишь еле держался на воде. На его счастье, рядом оказалась лодка, доставившая его на берег. Идти прыгун тоже не мог. Испуганные друзья вызвали «Скорую помощь». Диагноз врачей был не фатальный, но печальный – сильный ушиб грудной клетки и брюшной полости.

Попробуем разобраться в случившемся с помощью законов физики. Оценим силу удара F человека о воду из соображений размерностей. Очевидно, что F зависит от плотности воды ρ, скорости вхождения в неё υ и площади соприкосновения тела с водой S. Зависимости такого рода носят степенной характер: Знак «~» означает совпадение порядков величин.

Поскольку сила выражается в ньютонах, то можно записать:

Из очевидной системы уравнений

находим x₃ = 1. Тогда F ~ ρ·υ²·S, или F = k·ρ·υ²·S, где k – коэффициент пропорциональности. Обычно он меньше единицы, а определяется экспериментально. Имеет смысл взять k = 1/2. Итак, F= (1/2)ρ·υ²·S

Сопротивление воздуха не слишком замедлит падение человека с двадцатиметровой высоты. По­этому считаем, что υ² = 2gH и F =ρgHS.

За неимением лучшего представим человека прямоугольным параллелепипедом высотой (ростом) h, «шириной» 2a и «толщиной» a. Средняя плотность тела человека равна 1036 кг/м³. При оценочном расчёте погрешность в 3,6% учитывать нет смысла. Отождествляя плотности человека и воды, имеем 2a²h = m/ρ, где m – масса человека.

Отсюда площадь

Объединяя вышенаписанные формулы, получаем Физически интересно составить безразмерное отношение: Если рост человека h = 1,75 м, масса m = 75 кг, то F/mg ≈ 137. Пусть реальный результат в несколько раз меньше оценочного, всё равно он весьма велик. Человек может выжить из-за кратковременности этой перегрузки. Оценим время вхождения прыгуна в воду: t ~ a/υ. То есть

Числовой результат: t ~ 0,0074 с.

Физика и Минздрав предупреждают: не прыгайте с мостов! Бледно будете выглядеть, если вообще будете...

3. Оптимальная стрела. Вряд ли кто в детстве (особенно из сильной половины) не делал лук и не стрелял из него, подбирая разные стрелы. Легко заметить, что при равной толщине дальность полёта стрел разная. В связи с этим представляет особый интерес задача академика П.Л. Капицы, приведённая без решения в его брошюре [2]: «Объясните, почему для данного размера лука существует определённый размер стрелы, которая будет иметь наибольшую дальность полёта».

В первом приближении считаем луки геометрически подобными дугами окружности, весьма далёкими от полукольца. За размер лука h удобно принять максимальное расстояние между плечом лука и тетивой. Ведь геометрическое подобие луков делает выбор величины h в качестве размера лука корректным. Кроме того, именно по оси симметрии лука и прикладывается стрела.

Пусть длина стрелы l, плотность её материала ρ, площадь поперечного сечения S. Наибольшая дальность полёта стрелы, если пренебречь сопротивлением воздуха и стрелять под углом 45° к горизонту, где υ₀ – её начальная скорость. Последнюю находим из закона сохранения энергии где m = ρSl – масса стрелы, k – постоянная жёсткость лука, x – его растяжение. В результате имеем

Физическая интуиция подсказывает, предваряя решение, что оптимальной в смысле дальности полёта будет стрела, длины которой хватит ровно на полное растягивание лука. Длиной и массой «боеголовки» стрелы – наконечника – пренебрегаем.

Легко видеть, что формула (2) верна лишь в условиях применимости закона Гука, т. е. при 0 < x ≤ αh, где 0 < α < 1 – некоторая безразмерная постоянная. Ясно, что длина стрелы l > h. Сравним три стрелы.

Оптимальная. Стрела длиной l = h(1 + α) при x = αh полетит дальше всего, что докажем ниже. Из формулы (2) имеем

Длинная. При длине l > h(1 + α) неравенство математически прозрачно.

Да и физически ясно: разгон части массы стрелы энергетически не обеспечен, т. е. нельзя достичь наибольшей дальности полёта.

Короткая. При длине h < l < h(1 + α) дальность полёта по формуле (2) есть

Исследуем эту функцию с помощью производной:

Видим, что L′(l) > 0 во всей области определения функции. Значит, эта функция монотонно возрастающая. Поскольку при l → h (1 + α) дальность полёта L(l) → L_m, то неравенство L < L_m доказано. Задача решена.

 

Литература

1. Задачи по физике / И.И. Воробьёв и др.; под ред. О.Я. Савченко. М.: Наука, 1981. С. 68.
2. Капица П.Л. Физические задачи. М.: Знание, 1966. С. 7.