Задачи, тесты

Где проходит ватерлиния?

Узнать, на сколько погрузится однородный деревянный брусок в воду, легко. Достаточно вспомнить о силе Архимеда. Однако можно решить эту задачу, забыв на время о силе Архимеда (из энергетических соображений).

Известно, что всякая изолированная система в равновесии достигает минимума потенциальной энергии – санки скатываются с горки, сжатая пружина распрямляется, а маятник, отклонённый от положения равновесия, после нескольких колебаний занимает самое нижнее положение. Попробуем применить этот принцип – переход к наименьшей потенциальной энергии – для поиска положения ватерлинии деревянного бруска, плавающего в воде.

Пусть брусок имеет прямоугольную форму, высоту h, площадь поперечного сечения s и сделан из материала плотностью ρ. Брусок опускают в сосуд с водой плотностью ρ₀, площадь поперечного сечения которого равна S, а глубина воды в нём (до опускания бруска) составляет H (рис. а).

Брусок частично погружается в воду, в результате чего уровень воды в сосуде поднимается на х, а поверхность бруска опускается на у (рис. б). Вычислим изменение потенциальной энергии воды и бруска, произошедшее между состояниями, изображёнными на обоих рисунках.

Потенциальная энергия бруска относительно дна сосуда в состоянии а составляла:

где g – ускорение свободного падения. Потенциальная энергия воды относительно дна сосуда в состоянии а составляла:

Потенциальная энергия бруска относительно дна сосуда в состоянии б составит:

Потенциальная энергия воды в различных частях сосуда изменилась по-разному при переходе в состояние б – под бруском она уменьшилась, а в остальных частях увеличилась. Легко показать, что потенциальная энергия воды составит:

Так как вода несжимаема, то величины х и у связаны следующим соотношением:

s · y = (S – s) · x. (5)

Используя (1)–(5), можно вычислить изменение потенциальной энергии воды и бруска, произошедшее при переходе из состояния а в состояние б:

Легко показать, что выражение в правой части (6) (потенциальная энергия системы вода–брусок, если отсчитывать её от состояния а) достигает минимума при x = x_min:

Из рис. б следует, что расстояние от нижней поверхности бруска до ватерлинии (чёрная жирная прямая) d = х + у. Вычисляя y_min с использованием (5), получаем

Как и следовало ожидать, полученная формула совпадает с выводимой из закона Архимеда.