Абитуриенту

МГУ им. М.В.Ломоносова: Олимпиада «Ломоносов-2009»

В мае 2009 г. в МГУ им. М.В. Ломоносова прошла олимпиада «Ломоносов-2009». Подобные олимпиады проводятся уже пятый год подряд по согласованию с департаментами образования Москвы и Московской области, Советом ректоров вузов г. Москвы и Министерством образования и науки РФ. В Перечне олимпиад школьников на 2008/2009 уч. г., утверждённом Минобразования РФ, олимпиада «Ломоносов-2009» по физике получила статус олимпиады II уровня. Она традиционно проводится в форме устного испытания. В 2009 г. предлагались задания, включающие два теоретических вопроса и две задачи различного уровня сложности. Ниже приведены задачи, предлагавшиеся участникам олимпиады.

I. Механика

1. Колесо радиусом R катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. При этом центр колеса движется прямолинейно с постоянным ускорением a_ц. Найдите модуль ускорения а верхней точки колеса в момент времени, когда скорость центра колеса станет равной υ_ц.

Решение

Поскольку колесо катится без проскальзывания, модуль скорости любой точки обода относительно оси колеса будет увеличиваться со временем t по закону: a_цt. Кроме того, в тот момент времени, когда модуль скорости точки обода относительно оси колеса станет равным υ_ц, эта точка будет иметь центростремительное ускорение υ_ц² /R. Обозначим через τ единичный вектор, параллельный вектору ускорения оси колеса относительно дороги, а через n – единичный вектор, направленный от рассматриваемой точки обода к центру колеса. Тогда ускорение точки А относительно оси колеса можно представить в виде: По закону сложения ускорений ускорение точки А относительно дороги равно a = a_ц + a_отн. Находя модуль вектора a, получаем ответ:

 

2. На гладкой невесомой нерастяжимой нити, один конец которой прикреплён к потолку, подвешен блок. Другой конец этой нити прикреплён к грузу массой m. К этому грузу прикреплена вторая такая же нить, переброшенная через закреплённый блок. К свободному концу второй нити прикреплен груз массой М, как показано на рисунке. Масса подвижного блока с подвешенным к его оси грузом равна М. Отрезки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Первоначально груз массой М, прикрепленный ко второй нити, удерживали неподвижным, а затем его отпустили. Найдите ускорение a₁ подвижного блока для моментов времени, когда грузы ещё не касаются блоков.

Решение

Будем решать задачу в системе отсчёта, неподвижной относительно потолка, считая эту систему инерциальной. Кроме того, будем пренебрегать влиянием воздуха на части рассматриваемой системы. По условию задачи, все нити являются гладкими. Поэтому со стороны нитей на блоки не будут действовать силы трения, блоки при движении грузов не будут вращаться, а модуль силы натяжения каждой из нитей будет постоянным вдоль её длины. Пусть модуль силы натяжения первой нити равен F₁, а второй – F₂. Тогда уравнения движения оси подвижного блока и грузов массами m и М в проекции на направление ускорения свободного падения g будут иметь вид: Ma₁ = Mg – 2F₁, ma_m = mg + F₁ – F₂, ma_M = Mg – F₂. Здесь проекции ускорений a₁, a_m и a_M в силу нерастяжимости нитей удовлетворяют условиям: 2a₁ = a_m = – a_M. Решая совместно написанные уравнения, получим, что искомое ускорение подвижного блока

 

3. Профиль снежной горки, показанной на рисунке, представляет собой дугу окружности радиусом R = 10 м с плавным выходом на горизонтальную плоскость BC. Поверхность горки гладкая, а горизонтальная плоскость шероховатая. На каком расстоянии l (в точке С) от конца горки (точки B) остановятся съехавшие с горки санки, если в точке A их полное ускорение было равно по модулю ускорению свободного падения g, а коэффициент трения санок о плоскость μ = 0,15? Радиус дуги окружности, проведенный в точку A, образует с вертикалью угол 60°.

Решение

По гладкой горке санки движутся под действием только силы тяжести mg и силы реакции N. В точке A по условию модуль ускорения санок a = g, а ∠AOB = 60°, откуда следует, что в этой точке N = mg. В проекции на направление радиуса дуги уравнение движения санок имеет вид: Высота точки A относительно горизонтальной поверхности

Таким образом, полная механическая энергия санок в точке A равна Модуль работы силы трения при движении санок по горизонтальной поверхности A_тр = μmgl. По закону изменения механической энергии, E_A = A_тр.

 

4. В кабине лифта, движущейся вертикально вниз с постоянной скоростью u, роняют шарик. В момент подлёта шарика к полу его скорость относительно Земли вертикальна и равна υ. Соотношение скоростей u и υ таково, что после абсолютно упругого удара об пол шарик относительно Земли продолжает двигаться вниз. Определите максимальное расстояние h между шариком и полом кабины лифта после удара.

Решение

По условию задачи, лифт движется относительно Земли с постоянной скоростью. Поэтому систему отсчёта, связанную с лифтом, можно считать инерциальной. В момент подлёта к полу лифта скорость шарика относительно лифта равна по модулю υ – u. Поскольку удар шарика об пол является абсолютно упругим, то, пренебрегая временем соударения, на основании законов сохранения импульса и механической энергии получим, что модуль скорости шарика относительно лифта после окончания удара будет также равен υ – u. В момент максимального подъёма шарика его скорость относительно пола лифта должна стать равной нулю. За время подъёма сила тяжести в системе отсчёта, связанной с лифтом, совершит над шариком работу A = mgh, где g – модуль ускорения свободного падения, а h – искомое расстояние. Следовательно, согласно теореме об изменении кинетической энергии, должно иметь место равенство Из полученных соотношений следует, что искомое расстояние

Замечание. Задачу можно также решать, используя законы кинематики. Однако решение в этом случае будет более длинным.

 

5. Тонкая неоднородная палочка постоянного сечения S и длиной L, центр тяжести которой находится на расстоянии L/4 от одного из её концов, лежит на горизонтальном дне сосуда. Масса палочки m. Сосуд заполняют жидкостью. При какой плотности ρ жидкости палочка в сосуде сможет принять вертикальное положение при достаточно высоком уровне жидкости?

Решение

Будем считать, что сосуд покоится относительно Земли. Поэтому при равновесии сумма всех действующих на палочку сил должна быть равна нулю. Если масса палочки больше ρSL, то со стороны дна на палочку должна действовать сила реакции. В этом случае палочка должна касаться дна и при достаточно высоком уровне жидкости будет целиком погружена в жидкость.

Если вращающий момент силы Архимеда относительно оси, проходящей через опирающийся на дно конец палочки, будет больше вращающего момента действующей на неё силы тяжести, т. е. при 1/2 ρL²S > 1/4 Lm тяжёлая палочка займет вертикальное положение. В противном случае (m > 2ρLS) палочка будет сохранять горизонтальное положение.

При m < ρLS палочка будет плавать, не касаясь дна. Если центр давления будет находиться между центром тяжести и ближайшим к нему концом палочки, то в положении устойчивого равновесия ось лёгкой палочки будет горизонтальной. В противном случае, т.е. при m > 1/2 ρLS, ось лёгкой палочки будет вертикальной.

Из сказанного следует, что искомая плотность материала палочки должна удовлетворять неравенствам: