Учебные занятия

Симметрия кристаллов

Цели урока: • Образовательная – знакомство с симметрией кристаллов; закрепление знаний и умений по теме «Свойства кристаллов» • Воспитательная – воспитание мировоззренческих понятий (причинно-следственные связи в окружающем мире, познаваемость окружающего мира и человечества); нравственное воспитание (воспитание любви к природе, чувства товарищеской взаимовыручки, этики групповой работы) • Развивающая – развитие самостоятельности мышления, грамотной устной речи, навыков исследовательской, экспериментальной, поисковой и практической работы.

Симметрия… является той идеей, посредством
которой человек на протяжении веков пытался
постичь порядок, красоту и совершенство.
Герман Вейль

Физический словарик

• Кристалл – от греч. κρύσταλλος – буквально лёд, горный хрусталь.
• Симметрия кристаллов – закономерность атомного строения, внешней формы и физических свойств кристаллов, заключающаяся в том, что кристалл может быть совмещён с самим собой путём поворотов, отражений, параллельных переносов (трансляций) и других преобразований симметрии, а также комбинаций этих преобразований.

Вводный этап

Симметрия кристаллов – наиболее общая закономерность, связанная со строением и свойствами кристаллического вещества. Она является одним из обобщающих фундаментальных понятий физики и естествознания в целом [1]. Согласно определению симметрии, данному Е.С. Фёдоровым, «симметрия есть свойство геометрических фигур повторять свои части, или, выражаясь точнее, свойство их в различных положениях приходить в совмещение с первоначальным положением». Таким образом, симметричным является такой объект, который может быть совмещён сам с собой определёнными преобразованиями: поворотами вокруг осей симметрии или отражениями в плоскостях симметрии. Такие преобразования принято называть симметрическими операциями. После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в другом месте, что означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые и зеркальные). Внутренняя атомная структура кристаллов – трёхмерно-периодическая, т. е. она описывается как кристаллическая решётка. Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его внутреннего атомного строения, которая обусловливает также и симметрию физических свойств кристалла.

Исследовательская работа 1. Описание кристаллов

Кристаллическая решётка может обладать различными видами симметрии. Под симметрией кристаллической решётки понимаются свойства решётки совпадать с самой собой при некоторых пространственных перемещениях. Если решётка совпадает сама с собой при повороте некоторой оси на угол 2π/n, то эта ось называется осью симметрии n-го порядка.

Кроме тривиальной оси 1-го порядка, возможны только оси 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков.

Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из которых важнейшими являются пространственные группы симметрии, описывающие структуру кристаллов на атомарном уровне, и точечные группы симметрии, описывающие их внешнюю форму. Последние называются также кристаллографическими классами. В обозначения точечных групп входят символы основных присущих им элементов симметрии. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки кристалла в семь кристаллографических сингоний – триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Принадлежность кристалла к той или иной группе симметрии и сингонии определяется измерениями углов или методом рентгеноструктурного анализа.

В порядке возрастающей симметрии кристаллографические системы располагаются следующим образом (обозначения осей и углов понятны из рисунка):

• Триклинная система. Характерное свойство: a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ. Элементарная ячейка имеет форму косоугольного параллелепипеда.

• Моноклинная система. Характерное свойство: два угла прямые, третий отличен от прямого. Следовательно, a ≠ b ≠ c; β = γ = 90°, α ≠ 90°. Элементарная ячейка имеет форму параллелепипеда с прямоугольником в основании.

• Ромбическая система. Все углы прямые, все рёбра разные: a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90°. Элементарная ячейка имеет форму прямоугольного параллелепипеда.

• Тетрагональная система. Все углы прямые, два ребра одинаковые: a = b ≠ c; α = β = γ = 90°. Элементарная ячейка имеет форму прямой призмы с квадратным основанием.

• Ромбоэдрическая (тригональная) система. Все рёбра одинаковые, все углы одинаковые и отличны от прямого: a = b = c; α = β = γ ≠ 90°. Элементарная ячейка имеет форму куба, деформированного сжатием или растяжением вдоль диагонали.

• Гексагональная система. Рёбра и углы между ними удовлетворяют условиям: a = b ≠ c; α = β = 90°; γ = 120°. Если составить вместе три элементарные ячейки, то получается правильная шестигранная призма. гексагональную упаковку имеют более 30 элементов (С в аллотропной модификации графита, Be, Cd, Ti и др.).

• Кубическая система. Все рёбра одинаковые, все углы прямые: a = b = c; α = β = γ = 90°. Элементарная ячейка имеет форму куба. В кубической системе различают три вида так называемых решёток Бравэ: примитивную (а), объёмно-центрированную (б) и гранецентрированную (в).

Примером кубической системы являются кристаллы поваренной соли (NaCl, г). Более крупные ионы хлора (светлые шарики) образуют плотную кубическую упаковку, в свободных узлах которой (в вершинах правильного октаэдра) расположены ионы натрия (чёрные шарики).

Ещё один пример кубической системы – решётка алмаза (д). Она представляет собой две кубические гранецентрированные решётки Бравэ, сдвинутые на четверть длины пространственной диагонали куба. Такой решёткой обладают, например, химические элементы кремний, германий, а также аллотропная модификация олова – серое олово.

Экспериментальная работа «Наблюдение кристаллических тел»

Оборудование: лупа или короткофокусная линза в оправе, набор кристаллических тел.

Порядок выполнения

1. С помощью лупы рассмотрите кристаллики поваренной соли. Обратите внимание на то, что все они имеют форму кубиков. Одиночный кристалл называют монокристаллом (имеет макроскопически упорядоченную кристаллическую решётку). Основным свойством кристаллических тел является зависимость физических свойств кристалла от направления – анизотропия.
2. Рассмотрите кристаллики медного купороса, обратите внимание на наличие плоских граней у отдельных кристалликов, углы между гранями не равны 90°.
3. Рассмотрите кристаллики слюды в виде тонких пластинок. Торец одной из пластин слюды расщеплён на множество тонких листочков. Пластинку слюды трудно разорвать, но легко расщепить на более тонкие листочки по плоскостям (анизотропия прочности).
4. Рассмотрите поликристаллические тела (излом куска железа, чугуна или цинка). Обратите внимание: на изломе можно различить мелкие кристаллики, из которых и состоит кусок металла. Большинство встречающихся в природе и получаемых в технике твёрдых тел представляют собой совокупность сросшихся друг с другом хаотически ориентированных маленьких кристалликов. В отличие от монокристаллов поликристаллы изотропны, т. е. их свойства одинаковы по всем направлениям.
5. Сделайте вывод по результатам наблюдения и зарисуйте схематично виды кристаллов.

Образец	Описание кристалла	Рисунок
Поваренная соль
Медный купорос
Слюда
Цинк или железо

 

Исследовательская работа 2. Симметрия кристаллов (кристаллические решётки)

Кристаллы могут иметь форму различных призм, основанием которых служат правильный треугольник, квадрат, параллелограмм и шестиугольник. В основе классификации кристаллов и объяснения их физических свойств может лежать не только форма элементарной ячейки, но и другие виды симметрии, например, поворот вокруг оси. Осью симметрии называют прямую, при повороте вокруг которой на 360° кристалл (его решётка) несколько раз совмещается сам с собой. Число этих совмещений называют порядком оси симметрии. Существуют кристаллические решётки, обладающие осями симметрии 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка. Возможна симметрия кристаллической решётки относительно плоскости симметрии, а также комбинации разных видов симметрии.

Русский учёный Е.С. Фёдоров установил, что 230 различных пространственных групп охватывают все возможные кристаллические структуры, встречающиеся в природе. Евграф Степанович Фёдоров (22 декабря 1853 г. – 21 мая 1919 г.) – русский кристаллограф, минералог, математик. Крупнейшее достижение Е.С. Фёдорова – строгий вывод всех возможных пространственных групп в 1890 г. Тем самым Фёдоров описал симметрии всего разнообразия кристаллических структур. В то же время он фактически решил известную с древности задачу о возможных симметричных фигурах. Кроме того, Евграф Степанович создал универсальный прибор для кристаллографических измерений – столик Фёдорова [2].

Экспериментальная работа «Демонстрация кристаллических решёток»

Оборудование: модели кристаллических решёток хлористого натрия, графита, алмаза.

Порядок выполнения

1. Соберите модель кристалла хлористого натрия (приводится рисунок). Обращаем внимание на то, что шарики одного цвета имитируют ионы натрия, а другого – ионы хлора. Каждый ион в кристалле совершает тепловое колебательное движение около узла кристаллической решётки. Если соединить эти узлы прямыми линиями, то образуется кристаллическая решётка. Каждый ион натрия окружён шестью ионами хлора, и наоборот, каждый ион хлора – шестью ионами натрия.
2. Выберите направление вдоль одного из рёбер решётки. Обратите внимание: белые и чёрные шарики – ионы натрия и хлора – чередуются.
3. Выберите направление вдоль второго ребра: белые и чёрные шарики – ионы натрия и хлора – чередуются.
4. Выберите направление вдоль третьего ребра: белые и чёрные шарики – ионы натрия и хлора – чередуются.
5. Проведите мысленно прямую линию по диагонали куба, – на ней окажутся только белые или только чёрные шарики, т. е. ионы одного элемента. Это наблюдение может служить основанием для объяснения явления анизотропии, свойственном кристаллическим телам.
6. Размеры ионов в решётке неодинаковы: радиус иона натрия приблизительно в 2 раза больше радиуса иона хлора. В результате этого в кристалле поваренной соли ионы расположены так, что положение решётки устойчивое, т. е. имеется минимум потенциальной энергии.
7. Соберите модель кристаллической решётки алмаза и графита. Различие в упаковке атомов углерода в решётках графита и алмаза определяет существенные различия их физических свойств. Такие вещества называют аллотропными.
8. Сделайте вывод по результатам наблюдения и зарисуйте схематично виды кристаллов.

1. Альмандин. 2. Исландский шпат. 3. Апатит. 4. Лёд. 5. Поваренная соль. 6. Ставролит (двойник). 7. Кальцит (двойник). 8. Золото.

Образец	Описание	Рисунок
Хлористый натрий
Графит
Алмаз

 

Исследовательская работа 3. Получение кристаллов

Кристаллы ряда элементов и многих химических веществ обладают замечательными механическими, электрическими, магнитными, оптическими свойствами. Развитие науки и техники привело к тому, что многие редко встречающиеся в природе кристаллы стали очень нужны для изготовления деталей приборов, машин, для выполнения научных исследований. Возникла задача разработки технологии изготовления монокристаллов многих элементов и химических соединений. Как известно, алмаз – это кристалл углерода, рубин и сапфир – кристаллы оксида алюминия с различными примесями.

Наиболее распространёнными способами выращивания монокристаллов является кристаллизация из расплава и кристаллизация из раствора. Кристаллы из раствора выращивают при медленном испарении растворителя из насыщенного раствора или при медленном понижении температуры раствора.

Экспериментальная работа «Выращивание кристаллов»

Оборудование: насыщенные растворы поваренной соли, двухромокислого аммония, гидрохинона, хлористый аммоний, предметное стекло, стеклянная палочка, лупа или линза в оправе.

Порядок выполнения

1. Возьмите стеклянной палочкой небольшую каплю насыщенного раствора поваренной соли и перенесите на предметное предварительно нагретое стекло (растворы готовятся заранее и хранятся в небольших колбочках или пробирках, закрытых пробками).
2. Вода с тёплого стекла сравнительно быстро испаряется, и из раствора начинают выпадать кристаллы. Возьмите лупу и наблюдайте за процессом кристаллизации.
3. Наиболее эффективно проходит опыт с двухромокислым аммонием. На краях, а затем по всей поверхности капли появляются золотисто-оранжевые ветви с тонкими иглами, образующие причудливый рисунок.
4. Хорошо можно видеть неодинаковые скорости роста кристаллов в различных направлениях – анизотропию роста – у гидрохинона.
5. Сделайте вывод по результатам наблюдения и зарисуйте схематично виды полученных кристаллов.

Образец	Описание	Рисунок
Поваренная соль
Двухромокислый аммоний
Гидрохинон
Хлористый аммоний

 

• Исследовательская работа 4. Применение кристаллов

Кристаллы обладают замечательным свойством анизотропии (механическими, электрическими, оптическими и т. д.). Современные производства невозможно представить без использования кристаллов.

Кристалл	Отрасль	Пример применения
Алмаз	Разведка и добыча полезных ископаемых	Буровые инструменты
	Ювелирная промышленность	Украшения
	Контрольно-измерительные приборы	Морские хронометры – особо точные приборы
	Обрабатывающая промышленность	Алмазные подшипники
Рубин	Приборостроение	Опорные камни для часов
	Химическая промышленность	Фильеры для протяжки волокна
	Научные исследования	Рубиновый лазер
	Ювелирная промышленность	Украшения
Германий, кремний	Электронная промышленность	Полупроводниковые схемы и устройства
Флюорит, турмалин, исландский шпат	Опто-электронная промышленность	Оптические приборы
Кварц, слюда	Электронная промышленность	Электронные приборы (конденсаторы и т. д.)
Сапфир, аметист	Ювелирная промышленность	Украшения
Графит	Обрабатывающая промышленность	Графитовая смазка
	Машиностроение	Графитовая смазка

 

Интересная информация

• Кто и когда открыл жидкие кристаллы? Где используются ЖК?

В конце XIX в. германский физик О. Леман и австрийский ботаник Ф. Рейнитцер обратили внимание на то, что некоторые аморфные и жидкие вещества отличаются весьма упорядоченной параллельной укладкой удлинённых по форме молекул [3]. Позже по степени структурной упорядоченности их назвали жидкими кристаллами (ЖК). Различают смектические кристаллы (с послойной укладкой молекул), нематические (с хаотически параллельно смещёнными удлинёнными молекулами) и холестерические (по структуре близкие к нематическим, но отличающиеся большей подвижностью молекул). Было замечено, что при внешнем воздействии, например, малого по величине электрического напряжения, при изменении температуры, напряжённости магнитного поля меняется оптическая прозрачность молекулы ЖК. Выяснилось, что происходит это за счёт переориентации осей молекул в направлении, перпендикулярном исходному состоянию.

Жидкие кристаллы: а) смектические; б) нематические; в) холестерические.
URL: http://www.superscreen.ru

Принцип работы ЖК-индикатора:
слева – электрическое поле выключено, свет проходит через стёкла; справа – поле включено, свет не проходит, видны чёрные символы (URL тот же)

Очередная волна научного интереса к жидким кристаллам поднялась в послевоенные годы. В числе исследователей-кристаллографов веское слово сказал наш соотечественник И.Г. Чистяков. В конце 60-х гг. прошлого века американская корпорация RСA начала проводить первые серьёзные исследования по использованию нематических ЖК для визуального отображения информации. Однако опередила всех японская компания Sharp, которая в 1973 г. предложила жидкокристаллическую буквенно-цифровую мозаичную панель – ЖК-дисплей (LCD – Liquid Crystal Display). Это были скромные по размерам монохромные индикаторы, где полисегментные электроды использовались в основном для нумерации чисел. Начавшаяся «индикаторная революция» привела практически к полной замене стрелочных механизмов (в электроизмерительных приборах, наручных и стационарных часах, бытовой и промышленной радиоаппаратуре) на средства визуального отображения информации в цифре – более точные, с безошибочным отсчётом.

Жидкокристаллические дисплеи разного типа. URL: http://www.permvelikaya.ru; http://www.gio.gov.tw; http://www.radiokot.ru

Благодаря успехам микроэлектроники карманные и настольные калькуляторы заменили арифмометры, счёты, логарифмические линейки. Лавинообразное снижение себестоимости интегральных микросхем привело даже к явлениям, явно противоречащим техническим тенденциям. Например, современные цифровые наручные часы заметно дешевле пружинно-стрелочных, которые, по инерции мышления, сохраняют популярность, перейдя в категорию «престижных».

• От каких параметров зависит форма снежинок? Какая наука и для каких целей занимается изучением снега, льда, снежинок?

Первый альбом с зарисовками разных снежинок, сделанных с помощью микроскопа, появился ещё в начале ХIХ в. в Японии [4]. Его создал учёный Дои Тишицура. Почти сто лет спустя другой японский учёный, Укисиро Накайя, создал классификацию снежинок. Его исследования доказали, что привычные нам ветвистые снежинки шестиконечной формы возникают только при определённой температуре: 14–17 °С. При этом влажность воздуха должна быть очень высокой. В остальных случаях снежинки могут приобретать самые различные формы.

Самая распространённая форма снежинок – дендриты (от греч. δέντρο – дерево). Лучи этих кристаллов похожи на ветви деревьев.

Миром снега и льда занимается наука гляциология. Она возникла в ХVII в. после того, как швейцарский естествоиспытатель О. Соссюр опубликовал книгу об альпийских ледниках. Гляциология существует на стыке множества других наук, в первую очередь физики, геологии и гидрологии. Изучать лёд и снег нужно для того, чтобы знать, как предотвратить снежные лавины и гололёд. Ведь на борьбу с их последствиями во всём мире ежегодно тратятся миллионы долларов. Но если знать природу снега и льда, можно сэкономить немало денег и спасти множество человеческих жизней. А ещё лёд может рассказать об истории Земли. Например, в 70-е гг. гляциологи изучали ледяной покров Антарктиды, бурили скважины и исследовали особенности льда в разных слоях. Благодаря этому удалось узнать о множестве изменений климата, которые происходили на нашей планете на протяжении 400 000 лет.

Занимательные и нестандартные задачи (групповая работа)

• На берегу Северного пролива, на северо-востоке острова Ирландия поднимаются невысокие горы Антрим. Они сложены черными базальтами – следами деятельности древних вулканов, высившихся вдоль гигантского разлома, отделившего 60 млн лет назад Ирландию от Великобритании. Потоки чёрных лав, излившихся из этих кратеров, образовали прибрежные горы на ирландском побережье и на Гебридских островах по ту сторону Северного пролива. Удивительная порода этот базальт! Жидкий, легко текучий в расплавленном виде (по склонам вулканов базальтовые потоки несутся порой со скоростью до 50 км/ч), он при остывании и затвердевании трескается, образуя правильные шестигранные призмы. Издали базальтовые обрывы напоминают огромные органы с сотнями чёрных труб. А когда поток лавы стекает в воду, возникают иной раз такие причудливые образования, что трудно не поверить в их волшебное происхождение. Именно такое природное явление можно наблюдать у подножья Антрима. От вулканического массива отделяется здесь своеобразная «дорога в никуда». Дамба возвышается над морем на 6 м и состоит примерно из 40 000 базальтовых колонн. Она похожа на недостроенный мост через пролив, задуманный каким-то сказочным великаном, и носит название «Мостовая Гигантов».

Задача. О каких свойствах кристаллических тел и жидкостей идёт речь? Какие отличия между кристаллическими твёрдыми телами и жидкостями вы знаете? (Ответ. Правильная геометрическая форма является существенным внешним признаком любого кристалла в природных условиях.)

• Первый алмаз в Южной Африке нашёл в 1869 г. мальчик-пастух. Через год здесь был основан город Кимберли, по названию которого коренная алмазоносная порода стала называться кимберлитом. Содержание алмазов в кимберлитах очень низкое – не более 0,000 007 3%, что эквивалентно 0,2 г (1 карату) на каждые 3 т кимберлитов. Ныне одна из достопримечательностей Кимберли – огромный котлован глубиной 400 м, вырытый добытчиками алмазов.

Задача. Где применяются ценные свойства алмазов?

• «Такая снеговинка (речь идёт о снежинке. – А. С.), шестигранная, правильная звёздочка, упала Нержину на рукав старой фронтовой порыжевшей шинели».

А.И. Солженицын. В круге первом.

? Почему снежинки имеют правильную форму? (Ответ. Основное свойство кристаллов – симметрия.)

• «Окно брякнуло с шумом; стёкла, звеня, вылетели вон, и страшная свиная рожа выставилась, поводя очами, как будто спрашивая: «А что вы тут делаете, добрые люди?»

Н.В. Гоголь. Вечера на хуторе близ Диканьки.

? Почему стекло разбивается даже при небольшой нагрузке? (Ответ. Стекло относят к хрупким телам, у которых практически отсутствует пластическая деформация, так что упругая деформация непосредственно завершается разрушением.)

• «Морозило сильнее, чем с утра; но зато так было тихо, что скрып мороза под сапогами слышался за полверсты».

Н.В. Гоголь. Вечера на хуторе близ Диканьки.

? Почему в мороз снег скрипит под ногами? (Ответ. Снежинки – кристаллики, под ногами они разрушаются, вследствие этого и появляется звук.)

• Алмаз алмазом режется.

? Алмаз и графит состоят из одинаковых атомов углерода. Почему же отличаются свойства алмаза и графита? (Ответ. Эти вещества различаются кристаллическим строением. У алмаза прочные ковалентные связи, у графита – слоистая структура.)

? Какие вещества вы знаете, которые не уступают алмазу по прочности? (Ответ. Одним из таких веществ является нитрид бора. Очень прочной ковалентной связью связываются атомы бора и азота в кристаллической решётке нитрида бора. Нитрид бора по твёрдости не уступает алмазу, по прочности и термостойкости превосходит его.)

• Туп конец, востёр резец: режет листки, летят куски. Что это? (Ответ. Алмаз.)

? Какое свойство отличает алмаз от других веществ? (Ответ. Твёрдость.)

• Самые большие кристаллы были обнаружены в пещере Найка, в мексиканском штате Чиуауа. Некоторые из них в длину достигают 13 м, а в ширину 1 м.

• А.Е. Ферсман в начале XX в. описал каменоломню на Южном Урале, заложенную в одном гигантском кристалле полевого шпата.

Заключение

В заключение урока хочу привести уникальный пример использования симметрии. Медоносные пчёлы должны уметь считать и экономить. Чтобы выделить особыми железами всего 60 г воска, им надо съесть 1 кг мёда из нектара и пыльцы, а на постройку средних размеров гнезда требуется около 7 кг сладкой пищи. Ячейки сотов в принципе могут быть квадратными, но пчёлы выбирают шестигранную форму: она обеспечивает самую плотную упаковку личинок, так что на постройку стенок уходит минимум драгоценного воска. Соты вертикальные, ячейки на них расположены с обеих сторон, т. е. дно у них общее – ещё экономия. Они направлены вверх под углом 13°, чтобы не вытекал мёд. В таких сотах помещается несколько килограммов меда. Вот настоящие чудеса природы.

 

Литература

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Едиториал УРСС, 2003.
2. Вейль Г. Симметрия: пер с англ. М., 1968.
3. Гляциологический словарь / Под ред. В.М. Котлякова. Л.: Гидрометеоиздат, 1984.
4. Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире. М.: Наука, 1978.
5. Меркулов Д. Магия жидких кристаллов // Наука и жизнь. 2004. № 12.
6. Фёдоров Е.С. Симметрия и структура кристаллов. М., 1949.
7. Физика: энц. для детей. М.: Аванта+, 2000.
8. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. Изд-е 2. М., 1972.