Абитуриенту

МГУ им. М.В.Ломоносова: Покори Воробьёвы Горы-2009

Очные туры олимпиады «Покори Воробьевы горы-2009» проходили в пяти городах России: Курске, Москве, Нижнем Новгороде, Улан-Удэ и Челябинске. Задания, предлагавшиеся участникам очных туров, содержали две задачи и два теоретических вопроса, взятых из программы вступительных испытаний по физике в МГУ. Ниже приведены задачи, предлагавшиеся на очных турах.

Очный тур для физфака

1 Дождевая капля, покинув облако на большой высоте, падает вертикально. Через некоторое время её скорость стала равной по модулю υ = 2 м/с. В этот момент модуль ускорения капли стал равным a = 8,4 м/с². Под каким углом к вертикали будет наклонён след, который эта капля оставит на боковом стекле автомобиля, движущегося прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью, модуль которой равен u = 72 км/ч? Считайте, что действующая на каплю сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна её скорости.

Решение

По условию задачи, капля падает вертикально под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Будем считать систему отсчёта, связанную с Землей, инерциальной, а ось OХ этой системы направленной вертикально вниз. Учитывая, что дождевые облака обычно находятся на высотах порядка нескольких километров, будем пренебрегать изменением ускорения свободного падения g с высотой. Поэтому уравнение движения падающей капли в проекции на ось OХ, согласно второму закону Ньютона, можно представить в виде ma = mg – βυ, где m – масса капли, а – проекция её ускорения на ось OХ, β – коэффициент вязкого трения, а υ – модуль скорости капли. Из написанного выражения и условия задачи получаем

По условию задачи, капля падает с большой высоты. Поэтому следует считать, что вблизи поверхности Земли капля будет двигаться практически равномерно вертикально вниз со скоростью, модуль которой равен

Полагая, что при скольжении капли по стеклу автомобиля на неё не действуют силы трения, находим искомый угол наклона следа капли к вертикали:

 

2 Два груза, соединенные легкой пружиной жесткостью k, соскальзывают с плоскости, образующей угол α с горизонталью. При этом длина пружины остаётся неизменной и равной l. Масса нижнего груза равна m₁, а коэффициент его трения о плоскость равен μ₁. Масса верхнего груза равна m₂, а коэффициент его трения о плоскость равен μ₂. Определите модуль ускорения грузов и длину пружины в недеформированном состоянии.

Решение

Будем считать, что плоскость покоится относительно земли, а связанная с ней система отсчёта является инерциальной. По условию задачи, грузы скользят, оставаясь на неизменном расстоянии l друг от друга. Следовательно, их ускорения а одинаковы и направлены вниз вдоль наклонной плоскости, перпендикулярно её ребру.

Модуль нормальной составляющей силы реакции плоскости на первый груз равен F₁ = m₁gcosα, а на второй – F₂ = m₂gcosα, где g – модуль ускорения свободного падения. Полагая, что сила трения скольжения, действующая на каждый из грузов, равна максимальной силе сухого трения покоя, находим, согласно закону Кулона–Амонтона, модули сил трения, действующие на грузы: F_тр1 = m₁F₁ и F_тр2 = m₂F₂.

На первый (нижний груз) со стороны пружины действует сила упругости, проекция которой на направление его ускорения равна –kx, где x = l – l₀ – удлинение пружины, а l₀ – длина пружины в недеформированном состоянии. При этом со стороны пружины на второй груз действует сила упругости, проекция которой на направление его ускорения равна kx.

Учитывая, что проекции сил тяжести, действующих на грузы, на их ускорения а равны m₁gsinα и m₂gsinα, согласно второму закону Ньютона, уравнения движения грузов в проекции на их ускорения запишем в виде:

m₁a = m₁gsinα – μ₁m₁gcosα – kx,

m₂a = m₂gsinα – μ₂m₂gcosα + kx,

Умножая первое уравнение на m₂, второе – на m₁ и почленно вычитая, получим:

Следовательно, длина недеформированной пружины

Складывая почленно уравнения системы, получаем

Отметим, что условие задачи корректно, если a > 0, т. е. если

 

3 Маленький шарик массой m, подвешенный к потолку комнаты на невесомой и нерастяжимой нити, смещают так, чтобы нить была слегка натянута и образовывала с вертикалью угол α < 90°. Затем шарик отпускают без начальной скорости. Пренебрегая влиянием воздуха, определите модуль силы натяжения нити в тот момент, когда направление ускорения шарика и ось нити совпадают.

Решение

Будем считать систему отсчёта, связанную с потолком комнаты, инерциальной. По условию задачи, следует полагать, что на шарик действуют только сила тяжести и сила натяжения нити. Поэтому направление ускорения шарика и ось нити могут совпадать только в момент прохождения шариком положения равновесия, т. е. тогда, когда ускорение шарика направлено строго вертикально. В этот момент кинетическая энергия шарика становится максимальной и равной , где υ – модуль скорости шарика. Если считать, что в этот момент времени потенциальная энергия системы шарик–Земля равна нулю, то в момент отпускания шарика потенциальная энергия указанной системы была равна mgL(1 – cosα), где L – длина нити, на которой подвешен шарик. Поскольку влиянием воздуха на шарик можно пренебречь, то, согласно закону сохранения механической энергии, должно быть справедливым равенство В момент прохождения положения равновесия шарик имеет только центростремительное ускорение, модуль которого равен Поэтому, согласно второму закону Ньютона, модуль F искомой силы натяжения нити можно найти из соотношения Из ранее приведённого равенства mυ² = 2mgL(1 – cosα), а потому модуль искомой силы натяжения нити равен

F = (3 – 2cosα)mg.

 

4 На горизонтальной крышке стола лежит кубик. Коэффициент трения кубика о крышку равен m. Середины боковой грани кубика касается небольшой шарик, подвешенный к потолку на лёгкой нерастяжимой нити длиной L. Массы кубика и шарика одинаковы. Шарик отклонили от исходного положения так, чтобы нить была слегка натянута, образовывала с вертикалью угол α и располагалась в вертикальной плоскости, проходящей через центр кубика перпендикулярно его грани. Затем шарик отпустили без начальной скорости. Определите расстояние, на которое переместится кубик по крышке стола после удара шарика. Соударение шарика с кубиком считать абсолютно упругим.

Решение

Как и при решении предыдущей задачи, будем считать систему отсчёта, связанную со столом и потолком комнаты, инерциальной, а также будем пренебрегать влиянием воздуха на кубик и шарик. Поэтому модуль скорости υ шарика в момент его удара о кубик можно определить, воспользовавшись законом сохранения механической энергии для системы шарик–Земля: = mgL(1 – cosα), где m – масса шарика, g – модуль ускорения свободного падения. В момент удара действующая на кубик со стороны шарика сила, согласно условию задачи, направлена горизонтально, линия её действия проходит через центр масс кубика. Поэтому после удара кубик будет двигаться поступательно. Считая удар кратковременным, импульсом силы трения на кубик со стороны стола за время удара можно пренебречь. Используя закон сохранения горизонтальной составляющей импульса системы кубик–шарик, а также закон сохранения кинетической энергии при упругом ударе, легко показать, что при равенстве масс взаимодействующих тел они обмениваются скоростями. Следовательно, кинетическая энергия кубика в момент окончания удара будет равна . После удара кубик движется по столу, преодолевая силу сухого трения скольжения, модуль которой равен F = μmg. Поэтому искомое расстояние Δx должно удовлетворять соотношению μmgΔx = . Отсюда находим, что