Абитуриенту

Всероссийская олимпиада «Росатом» НИЯУ МИФИ-2008/09

В течение ряда лет Московский инженерно-физический институт (ныне Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ») проводит всероссийскую отраслевую физико-математическую олимпиаду госкорпорации «Росатом» – олимпиаду «Росатом». Она проводится в несколько туров с декабря по апрель в Москве, а также в научных и промышленных центрах «Росатома» – гг. Сарове, Снежинске, Обнинске, Новоуральске, Балакове и др. Приводим задания одного из туров олимпиады 2008/2009 уч. г.

Задача 1

Тело массой m, движущееся со скоростью υ по горизонтальной поверхности, налетает на пружину жёсткостью k, второй конец которой закреплён. На какую величину сожмётся пружина к тому моменту времени, когда скорость тела уменьшится вдвое? Трение отсутствует.

Решение. Из закона сохранения энергии для системы тело–пружина имеем где Δl – искомая деформация пружины к тому моменту, когда скорость тела будет равна υ/2.

Отсюда находим

 

Задача 2

Построить изображение точечного источника S в тонкой собирающей линзе. Источник расположен на расстоянии 3F от плоскости линзы и на расстоянии x от главной оптической оси. Найти расстояние от изображения источника до главной оптической оси.

Решение. Для построения изображения источника S′ нужно построить ход двух лучей, вышедших из источника; точка пересечения этих лучей и будет изображением источника. Построение хода луча, параллельного главной оптической оси линзы, и луча, проходящего через её оптический центр, выполнено на рисунке. Изображение источника находится в точке S′.

Чтобы найти расстояние от изображения до главной оптической оси, заметим, что отношение расстояний от источника и изображения до главной оптической оси равно отношению расстояний от источника и изображения до плоскости линзы. Последнее отношение найдём по формуле линзы где буквой f обозначено расстояние от изображения до линзы. Из этой формулы получаем Поэтому где y – расстояние от изображения до главной оптической оси. Отсюда y = x/2.

 

Задача 3

Тело бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью υ₀. В процессе движения тело попадает на ступеньку высотой h. Под каким углом β тело подлетит к ступеньке?

Решение. Угол подлёта тела к ступеньке – это угол между направлением вектора его скорости и поверхностью ступеньки. Этот угол можно найти через проекции вектора скорости. При движении тела, брошенного под углом к горизонту, проекция его скорости на горизонтальную ось x не изменяется и равна υ_x(t) = υ₀cosα.

Величину скорости на поверхности ступеньки υ₁ можно найти по закону сохранения энергии:

(конечно, высота ступеньки должна быть меньше максимальной высоты подъёма иначе тело не сможет попасть на её поверхность; при выполнении этого условия подкоренное выражение здесь положительно). Отсюда находим

 

Задача 4

С одноатомным идеальным газом происходит циклический процесс, график которого в координатах p, V приведён на рисунке. Найти КПД процесса. Все необходимые величины даны на рисунке.

Решение. КПД теплового двигателя есть отношение работы, совершённой двигателем за цикл, к количеству теплоты, полученному двигателем от нагревателя в течение цикла. Найдеём эти величины.

В течение цикла газ получает определённое количество теплоты от нагревателя в процессах 1–2 и 2–3, отдаёт – в процессе 3–1. Количество теплоты Q_1–3, полученное от нагревателя, найдём, применяя к процессу 1–3 первый закон термодинамики. Имеем

Q_1–3 = ΔU_1–3 + A_1–3,

где ΔU_1–3 – изменение внутренней энергии газа в этом процессе, A_1–3 – работа газа. Изменение внутренней энергии выражаем через изменение температуры, а затем с помощью закона Клапейрона–Менделеева связываем с изменениями давления и объёма:

Работа газа A_1–3 в процессе 1–3 равна площади под графиком процесса 1–3 на графике p(V):

A_1–3 = 7/2 pV.

В результате находим Q_1–3 = 11pV.

Работу газа A в течение цикла найдём как площадь цикла на графике p(V): A = 1/2 pV.

Окончательно получаем КПД рассматриваемого циклического процесса:

 

Задача 5

Горизонтальные рельсы длиной L и сопротивлением единицы длины ρ закреплены параллельно друг другу на расстоянии l друг от друга. К концам рельсов присоединены две батареи: одна с ЭДС , вторая с ЭДС 2. На рельсы кладут перемычку массой m, которая может скользить вдоль рельсов. Вся система находится в вертикальном магнитном поле с индукцией B. На каком расстоянии от левого края рельсов находится положение равновесия перемычки? Найти период малых колебаний перемычки около положения равновесия. Трением, сопротивлением перемычки, источников и про­водов, а также индуктивностью цепи пренебречь.

Решение. Перемычка будет находиться в равновесии, если ток через неё будет равен нулю (тогда на неё не действует магнитное поле). Это положение можно найти из закона Ома для замкнутой цепи и неоднородного участка цепи. По закону Ома для замкнутой цепи, имеем для тока в рельсах (при условии, что ток через перемычку равен нулю)

Пусть длина рельсов от положения равновесия перемычки до ЭДС равна x. Тогда, по закону Ома для участка цепи АВ, содержащего ЭДС , имеем (при условии, что напряжение между его концами равно нулю):

Если же рассмотреть участок цепи CD, содержащий ЭДС и более короткие, чем x, части рельсов, то из закона для неоднородного участка цепи U_DC = – Ir, где r – сопротивление рельсов между точками C и D (через ), следует, что U_DC > 0 (т. к. r < 2ρx). Поэтому, если перемычка будет смещаться из положения равновесия влево, по ней начинает течь ток, направленный вверх, и со стороны магнитного поля на перемычку действует сила Ампера, направленная вправо. Аналогично доказывается, что, если перемычка сместится от положения равновесия вправо, сила Ампера будет направлена налево. Таким образом, при любых смещениях перемычки в ней будет возникать электрический ток, и сила Ампера будет возвращать перемычку в положение равновесия. Это приведёт к тому, что перемычка будет совершать колебания около положения равновесия.

Чтобы найти период колебаний, найдём возвращающую силу. Пусть смещение перемычки от положения равновесия равно Δx, а токи через источники в этом положении равны I₁ и I₂. Тогда, поскольку напряжение на концах перемычки в любой момент времени равно нулю, по закону Ома для участка цепи между А и В через источник имеем:

Аналогично для тока через второй источник получим

Из формул для токов I₁ и I₂ находим ток через перемычку

(в последнем приближённом равенстве использована малость отклонения перемычки от положения равновесия по сравнению с длиной рельсов). Из последней формулы следует, что сила Ампера, действующая на перемычку со стороны магнитного поля

пропорциональна смещению перемычки, следовательно, перемычка будет совершать гармонические колебания с периодом