Задачи, тесты

Использование модельных представлений

При решении задач по оптике используются такие модели, как параксиальный луч, тонкая линза, точечный источник света и т.д. Естественно, что все они являются идеализациями и отражают не все свойства реального объекта, а лишь существенные для объяснения круга рассматриваемых явлений. Поэтому при решении задач в рамках каждой модели возможны определённые упрощения. Оценку такой возможности мы старались подчеркнуть, считая её существенным моментом решения любой задачи, важным для более глубокого понимания физической теории.

С этой целью в задачах по геометрической оптике мы обращались к методу построения изображения. Именно этот метод, несмотря на свою громоздкость, позволяет преодолеть определённый формализм, возникающий при использовании готовых формул, разъяснить «механизм» получения изображения, уточнить модель тонкой линзы и параксиальных лучей.

 

ЛИНЗЫ

Задача 1. Собирающая линза, фокусное расстояние которой F = 0,06 м, вставлена в отверстие радиусом r = 0,03 м в непрозрачной преграде. На экране, находящемся от преграды на расстоянии f = 0,16 м, получено чёткое изображение точечного источника света. Каким будет радиус R светлого круга на экране, если вынуть линзу из отверстия?

Решение 1: использование формулы тонкой линзы.

Сделаем рисунок (линза отсутствует):

– А₁О₁ = r – радиус отверстия,

– ОА = R – радиус светлого круга на экране;

– О₁О = f – известно, по условию задачи;

– SО₁ = d – расстояние от источника света до отверстия.

Если бы d было известно, то из подобия ΔSА₁О₁ ~ ΔSAO можно было бы найти R:

Пользуясь формулой линзы

находим

 

Решение 2: построение изображения.

Сделаем рисунок с линзой в отверстии. Обозначим неизвестное, по условию задачи, расстояние точечного источника света S от линзы О₁S = d.

Построим изображение точечного источника. Проведём луч SА₁. Его ход после преломления в линзе можно определить, если провести побочную оптическую ось О₁В║SА₁ и найти точку пересечения её с фокальной плоскостью FL. Луч SА₁ после линзы пройдёт через точку L и создаст изображение источника в точке S′ на экране. О₁S′ = f (по условию задачи).

Из равенств (3) и (4) получаем равенство Далее задача сводится к предыдущей.

 

Задача 2. Каково наименьшее возможное расстояние S₀ между предметом и его действительным изображением, создаваемым с помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F?

Решение 1: нахождение минимального расстояния между предметом и его действительным изображением.

Пусть d – расстояние от линзы до предмета, f – от линзы до действительного изображения предмета, S = d + f – расстояние между предметом и его изображением.

Из формулы тонкой линзы (2) следует, что

Из той же формулы (2) следует, что .

Таким образом, .

Когда S минимально, его первая производная обращается в нуль:

Остаётся решить уравнение d² – 2dF = 0. Условию задачи (d > F) отвечает корень d = 2F.

Тогда по формуле (2) f = 2F ⇒ minS = 4F.

 

Решение 2: без использования производной.

Из формулы (2) находим:

В нашем случае d > F, т.к. изображение действительное. Выражение, стоящее в правой части (1), преобразуем следующим образом:

Выражение в правой части уравнения (7), а значит, и расстояние между предметом и его изображением, минимально при d = 2F, т.е. S₀ = 4F.

 

Решение 3: использование понятия дискриминанта.

Обозначим расстояние между предметом и его действительным изображением через S, тогда , откуда d² – d·S + F·S = 0.

Дискриминант D = S(S – 4F) полученного трёхчлена неотрицателен при S ≥ 4F. Минимальное значение S, при котором задача имеет решение (т.е. существует корень трёхчлена), равно 4F, т.е. S₀ = 4F.

 

Решение 4: графический способ.

Пользуясь формулой тонкой линзы, построим график зависимости f от d. При этом учтём знаки отрезков: все отрезки отсчитываются от линзы и считаются положительными, если направление отрезка совпадает с направлением луча света, падающего от предмета на линзу; в противном случае отрезок считается отрицательным.

Действительное изображение возникает за линзой, т.е. f > 0, по условию задачи. Предмет также действительный, т.е. –∞ < d < –F. Тогда, как это видно из графика^*, кривая, описывающая соотношение между f и d, является ветвью гиперболы. Следовательно, где k – const, или f · |d| = const.

На графике выражение f · |d| изображается площадью прямоугольника, она постоянна. Периметр прямоугольника P = 2(f + |d|) = 2S, где S – расстояние между предметом и его действительным изображением. Это расстояние станет наименьшим при наименьшем периметре. Но наименьший периметр при одинаковой площади имеет квадрат. Следовательно, для случая действительного изображения f = 2F; |d| = 2F; S₀ = 4F.

 

Задача 3. Найти фокусное расстояние тонкой плоско-вогнутой линзы, находящейся в воде. Радиус кривизны линзы R, показатель преломления стекла n₁, воды n₂.

Решение 1: использование формулы оптической силы линзы

Линза плоско-вогнутая, поэтому R₁ → ∞, R₂ = R. Следовательно,

 

Решение 2: метод построения.

На рисунке проведён параксиальный луч 1, параллельный главной оптической оси линзы. В точке A луч испытывает преломление (нормалью к поверхности сферы в точке A является её радиус R = OA).

Cоотношение но в силу малости углов α и β (луч параксиальный) его можно записать в виде:

Из ΔFCA: но линза тонкая, поэтому

Напомним, что задним фокусом линзы называется точка, в которой пересекаются лучи (или их продолжение) после прохождения через линзу, если они были параллельны главной оптической оси линзы.

Из (10) получаем Подставим значение α из (9):

Воспользуемся законом преломления и учтём (8):

Но т.к. линза рассеивала лучи, то в точке F пересекались продолжения лучей, вышедших из линзы. Такой задний фокус называется мнимым, он располагается перед линзой, а не за ней. Поэтому фокусное расстояние считается отрицательным:

 

ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Задача 4. Две тонкие линзы, фокусные расстояния которых F₁ и F₂, приставлены вплотную друг к другу. С помощью этих линз получают изображение источника, расположенного на некотором расстоянии перед линзами. затем, убрав обе линзы, заменяют их одной, помещённой на том же месте. Какова должна быть оптическая сила этой линзы, чтобы изображение источника не сдвинулось?

Решение 1: метод последовательного расчёта положения изображения.

Пусть предмет S находится на расстоянии d от линзы 1. Найдём положение его изображения S′, созданного этой линзой. Из формулы для тонкой линзы, аналогичной (2), находим т.е. изображение S′ находится от линзы 1 на расстоянии f₁.

Оптические центры обеих линз O₁ и O₂ практически совпадают, т.к. линзы тонкие и сложены вплотную. следовательно, S′ является мнимым предметом для линзы 2 и находится от неё на расстоянии d₂ = –f₁. Найдём положение его изображения. как и в первом случае:

где f₂ – расстояние от линзы 2 до изображения S″, которое дала система.

Чтобы найти оптическую силу системы, воспользуемся определением фокуса: если d₁ → ∞, то f₂ → F_сист. Тогда из выражения (12) следует:

 

Решение 2: метод построения.

Поместим источник света S в фокусе F₁ первой линзы. Тогда изображение источника S″, созданное системой, окажется в фокусе F₂ второй линзы.

Заменим две тонкие линзы одной. Для нашего случая d = F₁, f = F₂. По формуле линзы,

 

Задача 5. На фокусном расстоянии F от линзы расположено плоское зеркало. Найдите, на каком расстоянии от линзы будет находиться изображение предмета AB, расположенного на расстоянии d от линзы.

Решение 1: последовательный расчёт положения изображения.

Вначале из формулы (2) определим расстояние f, на котором возникает изображение A′B′: .

Оно является мнимым предметом для зеркала и находится от него на расстоянии х:

Зеркало создаёт симметричное мнимое изображение A″B″ на расстоянии l от линзы:

 

Решение 2: метод построения.

Проведём луч BK, параллельный оптической оси линзы. Преломившись в линзе, луч пройдёт через фокус F₂ линзы и отразится от зеркала. Из закона отражения следует, что OK = OB″′= y.

Второй луч проведём через фокус F₁ линзы. Преломившись, он пойдёт параллельно главной оптической оси линзы и отразится от зеркала. Тогда A′B′ = OB″ = y′.

 

Литература

1. Ерохина Р.Я., Зюзин С.Е., Никольский Ю.А. Многосторонний анализ физических ситуаций на примере задач по оптике. Борисоглебск: ГОУ ВПО БГПИ, 2008.

Сергей Евгеньевич Зюзин – к.ф.-м.н., заведующий кафедрой физики БГПИ, окончил физико-математический факультет БГПИ, работал учителем физики в МОУ СОШ № 4 г. Борисоглебска, педагогический стаж 17 лет.

---

^* К сожалению, рисунок не совсем соответствует тексту задачи. – Ред.