МГУ-2009: Покори Воробьёвы Горы

Окончание. См. № 12, 17/09

Задачи по физике. Заочный тур

4 (Окончание) Следовательно, после второго шага потенциал точки 1 станет формула1 а разность потенциалов на конденсаторе примет значение формула2 Рассуждая аналогично, находим разность потенциалов на конденсаторе после третьего шага: формула3 после четвёртого шага формула4 и т.д. Вводя обозначения формула5 запишем полученный результат в виде:

Для отношений начального напряжения на конденсаторе к напряжениям в процессе его разрядки имеем:

и т.д. Видно, что начиная с k₃, все нечётные значения коэффициентов k содержат произведение γ₁γ₂ в целой степени. Поэтому, хотя величина k₁ нам неизвестна, т.к. неизвестен начальный потенциал точки 1, полученные соотношения позволяют найти γ₁γ₂ по двум нечётным значениям k_i. После этого можно определить любое нечётное k. По условию, формула8

Отсюда находим ответ: формула9

рис.1 5 На рисунке изображена схема станции метрополитена с примыкающим к ней криволинейным участком пути, расположенным в тоннеле. Пассажир стоит на краю платформы, в самом её начале, лицом навстречу движению поездов. В некоторый момент времени он замечает на кафельной облицовке стены станции отблески света фар приближающегося поезда. Через какое время после этого головной вагон поезда остановится около пассажира? В тоннеле поезд движется равномерно со скоростью υ₀ = 72 км/ч, а при въезде на станцию тормозит с постоянным ускорением. Радиус закругления пути, измеренный по внешней стене тоннеля, R = 50 м, ширина тоннеля d = 5 м, длина платформы l = 160 м.

Для упрощения расчётов можно считать, что фары поезда расположены на одном уровне с глазами наблюдателя, а расстояние от правой фары до стенки тоннеля мало. Отражением света от стен тоннеля и боковых поверхностей рельсов можно пренебречь.

Решение

рис.2 В первую очередь пассажир увидит свет, испущенный правой фарой поезда. Ход луча для этого случая изображён на рисунке. Из рисунка видно, что формула10 Исключая из этих соотношений x и a, приходим к равенству формула11 Используя формулу формула12 получаем квадратное уравнение относительно sinβ:

Условию задачи удовлетворяет положительный корень:

Отсюда β = 0,062 рад. Из рисунка также видно, что формула14 Следовательно, α + β = 0,513 рад.

Путь, пройденный поездом при его движении в тоннеле с постоянной скоростью υ₀ = 20 м/с, формула16 затраченное на это время τ₁ = l/υ₀ ≈ 1,2 с. Время, в течение которого поезд тормозит на станции, τ₂ = 2L/υ₀ = 16c. Следовательно, поезд остановится через τ = τ₁ + τ₂ = 17,2 с.