МГУ-2009: Покори Воробьёвы Горы

Продолжение. См. № 12/09

Задачи по физике. Заочный тур

рис.1 3 Тонкое непроводящее кольцо радиусом R равномерно зарядили зарядом +Q. Затем из кольца вырезали и удалили маленький кусочек, размер которого определяется углом Δφ ≪ 1. На расстоянии h = R от плоскости кольца на его оси поместили точечный заряд +q. Какая сила F действует на заряд? Электрическая постоянная ε₀.

Решение

Напряжённость E₀ электрического поля, создаваемого равномерно заряженным кольцом на его оси, определяется известным выражением

и направлена по оси кольца. При h = R сила, действующая на заряд q со стороны целого кольца, формула2 Согласно принципу суперпозиции, удаление небольшой части заряженного кольца эквивалентно помещению на целое кольцо в месте выреза точечного заряда, равного по величине заряду ΔQ = QΔφ/2π вырезанной части и противоположного ему по знаку. Этот заряд действует на заряд q силой

Следовательно, F = F₀ + F₁. По теореме косинусов: F² = F₀² + F₁² - 2F₀F₁cosα, где α = 45°.

4 Желая разрядить заряженный конденсатор, его обкладки начали поочерёдно заземлять: сначала заземлили одну обкладку и через короткое время отсоединили её (первый шаг процесса разрядки), затем заземлили другую обкладку и отсоединили её (второй шаг), и т.д. Оказалось, что после третьего шага процесса напряжение на конденсаторе уменьшилось по отношению к первоначальному в k₃ раз, а после седьмого – в k₇ раз. Опишите процессы, происходящие при разрядке конденсатора. Определите, во сколько раз k₁ уменьшилось по отношению к первоначальному напряжению на конденсаторе после первого шага?

Решение

Заземление обкладок конденсатора означает их соединение с достаточно большим проводником (землёй), потенциал которого полагают равным нулю. Поскольку вблизи краёв обкладок электрическое поле искривляется и выходит за пределы конденсатора, каждая из обкладок обладает некоторой ёмкостью относительно земли. Поэтому можно считать, что обкладки и земля образуют конденсаторы, ёмкости которых обозначим через C₁ и C₂. Заземление конденсатора C соответствует поочерёдному замыканию ключей K₁ и K₂.

Рассмотрим первый шаг процесса. Пусть начальный потенциал точки 1 относительно земли равен φ₁, а начальная разность потенциалов на конденсаторе C равна U⁽⁰⁾. При замыкании ключа K₁ суммарный заряд на положительно заряженных обкладках конденсаторов C и C₂ не изменится, а сами конденсаторы окажутся соединёнными параллельно, поскольку потенциал точки 1 станет равным потенциалу земли. По закону сохранения заряда, CU⁽⁰⁾ + C₂(U⁽⁰⁾ + φ₁) = (C + C₂)φ₂⁽¹⁾. Таким образом, после замыкания ключа K₁ потенциалы точек 1 и 2 относительно земли будут, соответственно: φ₁⁽¹⁾ = 0; формула5 Здесь U⁽¹⁾ – разность потенциалов на конденсаторе С после первого шага процесса.

На втором шаге (после размыкания ключа K₁ и замыкания ключа K₂) потенциал точки 2 станет равным потенциалу земли: φ₂⁽²⁾ = 0. По закону сохранения заряда на отрицательно заряженных обкладках конденсаторов С и C₁ имеем: –CU⁽¹⁾ = (C + C₁)φ₁⁽²⁾.

Продолжение следует