Задачи, тесты
В. Б.
Дроздов,
г. Рязань
Внутренняя гравитация Земли
При факультативном и углублённом изучении физики в электростатике рассматривается теорема Гаусса. Из математической аналогии законов всемирного тяготения и Кулона сразу следует механический аналог теоремы Гаусса (табл. 1): 
(1)
Таблица 1
Электростатика |
Механика |
Закон Кулона: 
|
Закон всемирного тяготения: 
|
Теорема Гаусса Поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную: 
|
Механический аналог теоремы Гаусса Поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность равен сумме масс, расположенных внутри этой поверхности, умноженной на 4πG:
|
Применим формулу (1) для нахождения напряжённости гравитационного поля, т.е. ускорения свободного падения на расстоянии r от центра однородного шара радиусом R и плотностью ρ (рис. 1). Имеем:
Формула (2) даёт очень плохое согласие с экспериментальными геофизическими данными (табл. 2). Причина этого очевидна: земной шар неоднороден, модель постоянной плотности – первое и достаточно грубое приближение.
В качестве второго приближения рассмотрим такую физическую модель Земли: пренебрегая тонкой корой, примем, что ядро радиусом R1 = 3471 км имеет плотность ρ1 = 11 500 кг/м3, а плотность мантии ρ2 = 4353 кг/м3 (рис. 2). При этом справедливо естественное равенство 4/3πR13ρ1+ 4/3π(R3 - R13)ρ2 = M, где M – масса Земли.
Формула (1) даёт аналогично:
для ядра 
для мантии: 
откуда 
Результаты расчётов по формуле (3), приведённые в четвёртой графе табл. 2, гораздо лучше соответствуют фактическим значениям g внутри Земли. Отметим, что теорема Гаусса позволяет избежать применения интегрального исчисления. Это математически рационально.
Таблица 2
Расстояние от центра Земли, км |
Ускорение свободного падения, м/с2 |
||
Фактическое |
Для модели Земли |
||
однородной |
двуплотностной |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
371 |
1,70 |
0,57 |
1,19 |
871 |
4,10 |
1,34 |
2,80 |
1371 |
6,00 |
2,11 |
4,41 |
1871 |
6,90 |
2,88 |
6,01 |
2371 |
8,02 |
3,65 |
7,72 |
2871 |
9,15 |
4,42 |
9,23 |
3371 |
10,20 |
5,19 |
10,84 |
3471 |
10,40 |
5,34 |
11,16 |
3871 |
10,05 |
5,96 |
10,28 |
4371 |
9,86 |
6,73 |
9,69 |
4871 |
9,85 |
7,50 |
9,45 |
5371 |
9,90 |
8,27 |
9,43 |
5571 |
9,84 |
8,58 |
9,47 |
5771 |
9,95 |
8,89 |
9,53 |
5971 |
9,94 |
9,19 |
9,61 |
6071 |
9,92 |
9,35 |
9,65 |
6171 |
9,89 |
9,50 |
9,70 |
6271 |
9,86 |
9,66 |
9,75 |
6338 |
9,83 |
9,76 |
9,79 |
6361 |
9,82 |
9,79 |
9,80 |
6371 |
9,81 |
9,81 |
9,81 |
* Первые две графы взяты из «Справочника по физике» А.С.Еноховича (М.: Просвещение, 1990).