Задачи, тесты

Серьёзные ошибки в несерьёзных задачах

Нередко при решении простых, на первый взгляд, физических задач встречаются досадные небрежности, которые оказываются существенными даже при анализе условия задачи. Особенно часто это имеет место в задачах по механике, в которых, казалось бы, всё достаточно понятно и можно даже «потрогать руками». Рассмотрим несколько стандартных простых случаев.

Начнём с задач, в которых необходимо чётко уяснить смысл условия, а уже потом пытаться их решить. Это, скорее, задачи логические. Самое интересное, что они могут быть заданы и учителями математики.

• Задача 1. Крокодил Гена с Чебурашкой плыли вверх по течению реки. Гена сидел на вёслах, а Чебурашка, сидя на корме, ел апельсины. В момент, когда лодка проплывала под мостом, а Гена был поглощён движением, Чебурашка заснул и нечаянно столкнул ящик с апельсинами в воду. Через полчаса Гена обнаружил пропажу ящика с апельсинами, развернул лодку по течению реки и стал догонять уплывающий ящик; ещё через полчаса выловил его на расстоянии двух километров ниже моста по течению реки. Какова скорость течения реки?

Решение. Ясно, что нужно просто внимательно прочитать условие задачи. За час ящик проплыл 2 км, следовательно, скорость течения реки 2 км/ч.

Следующая задача хорошо известна, она встречается в книге «Живая математика» Я.И.Перельмана [1].

• Задача 2. Охотник, войдя в лес, видит на дереве белку. Белка выглядывает из-за ствола, смотрит на охотника, а сама охотнику не показывается. Охотник начинает медленно обходить дерево вокруг. Белка, цепляясь коготками за кору дерева, перемещается по стволу так, что всё время, выглядывая из-за ствола, смотрит на охотника, но свою спинку и хвостик охотнику не показывает. Охотник три раза обошёл вокруг дерева, сколько раз он обошёл вокруг белки?

Решение. Решая задачи подобного типа (а именно такие задачи появляются на олимпиадах 7–8-го классов), нужно чётко понимать, что в задачу нельзя добавлять «от себя» ни одного слова, поскольку при этом мы невольно производим подмену условия. Обратим внимание на то, что из условия задачи нельзя понять, что означает фраза «обойти вокруг белки». Эта задача допускает два варианта подхода.

Если мы будем считать, что «обойти вокруг белки», – это увидеть спинку белки, то охотник не обошёл вокруг белки ни разу. Если же «обойти вокруг белки» – обойти вокруг того места, где сидит белка (дерево), то охотник обошёл вокруг белки три раза. Полный ответ на вопрос, поставленный в задаче, состоит в разборе двух рассмотренных вариантов.

Рассмотрим задачу статики.

• Задача 3. На упругой нерастяжимой нити висит шарик массой m, имеющий заряд q. Где нужно расположить шарик, имеющий заряд Q, чтобы натяжение нити уменьшилось в три раза?

Решение. Ясно, что при отсутствии кулоновской силы натяжение нити Т по величине равно силе тяжести mg. Кажется, что сила натяжения нити уменьшится, если сила Кулона F будет направлена вертикально вверх. Её можно найти из соотношения T₁ + F – mg = 0 (это видно из рисунка).

T₁ = 1/3 mg ; F = mg - 1/3mg = 2/3mg.

Сила Кулона где R – расстояние от заряда q до заряда Q, k – постоянная Кулона. При этом в случае, если заряды q и Q одноимённы, заряд Q нужно расположить под зарядом q, а в случае, если они разноимённы, – на нити подвеса. Расстояние до заряда Q находится из соотношения

Примечание. Это «правильное» решение требует дополнительного обоснования. Не совсем понятно, почему заряд Q не может находиться в стороне от вертикали. Предположим, что это возможно. Покажем приложенные к заряду на нити силы на рисунке. Сила натяжения T₁, равная по модулю 1/3mg, сила тяжести mg и сила Кулона F должны в сумме давать нуль: F + mg + T₁ = 0. В проекции на ось Y:

T₁cosα – mg = 0; · cosα – mg = 0,

откуда cosα = 3, что не может быть, поскольку |cosα| ≤ 1.

Теперь при решении задачи совершенно строго показано, что заряд Q должен быть расположен на одной вертикали с нитью подвеса. (К сожалению, доказано нестрого. Судя по рисунку, автор расположил заряд Q на одной высоте с шариком m. Это лишь частный случай. – Ред.)

Рассмотрим несколько несложных задач кинематики точки. Обратим внимание на то, что в многочисленных тестах часто используются величины, не относящиеся к системе СИ, причём переходить к системным единицам не всегда целесообразно.

• Задача 4. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии 30 см от начального положения шарик побывал дважды: через 1 с и через 3 с после начала движения. Найдите максимальное расстояние, на которое шарик смог откатиться вверх. Считать движение шарика прямолинейным и равноускоренным.

Решение. Обратим внимание на то, что трение в задаче не упоминается. В реальности шарик, вкатываясь на наклонную плоскость, замедляет своё движение, двигаясь до верхней точки 2 с, останавливается, а потом катится вниз по наклонной плоскости. Ясно, что при движении вверх и вниз шарик проходит расстояние от начала наклонной плоскости (точка А) до верхней точки (точка О) и обратно за одно и то же время. Воспользуемся обратимостью движения.

Рассмотрим движение шарика сверху вниз. В точке О шарик начинает движение без начальной скорости и проходит расстояние ОВ = s за 1 c, а расстояние ОА = s + 30 за 2 с, имея одно и то же ускорение а.

Запишем два уравнения движения для отрезков ОВ и ОА (в тестах нет смысла подробно расписывать решение):

Исключая из них а (например, разделив второе уравнение на первое), получаем s = 10 cм. Окончательно ОА = s + 30 = 40 (см).

Примечание. Выбор противоположного направления движения (снизу вверх) приводит к необходимости учитывать начальную скорость, с которой шарик вкатывается на наклонную плоскость. Решение простой задачи при этом сильно усложняется.

• Задача 5. Мяч бросили с начальной скоростью 20 м/с под углом 60° к горизонту. На какой высоте скорость мяча будет направлена под углом 45° к горизонту? Ускорение свободного падения g считать равным 10 м/с.

Решение (1-й способ). Будем считать, что мяч в момент броска находится в начале координат (x₀ = 0; y₀ = 0) и имеет проекции скорости υ_0x = υ₀cos60°; υ_0y = υ₀sin60°. Ясно, что горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной, поскольку за счёт вертикально направленного ускорения свободного падения будет изменяться только вертикальная составляющая скорости:

υ_x = υ_0x  = υ₀cos60°  = 10;

υ_y = υ_0y – gt = υ₀sin60° – gt = 10– 10t.

Из условия задачи следует, что требуется найти высоту, на которой горизонтальная и вертикальная составляющие скорости равны, т.е. справедливы соотношения υ_x = υ_y = 10; 10 = 10– 10t, откуда находим момент времени t =- 1, когда мяч находится на заданной высоте.

Далее определим саму высоту, записав уравнение движения мяча вдоль вертикали в этот момент:

Примечание (2-й способ). Хорошо известная формула связи скоростей, ускорения движения точки и дуговой координаты υ² - υ₀² = 2a_τs является следствием теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки, и формулой кинематики может считаться с большой натяжкой.

Для рассмотренной задачи эта формула даёт решение с учётом постоянства горизонтальной составляющей скорости, следовательно, и равенства проходимых по горизонтали расстояний за равные промежутки времени, а также равенства составляющих скорости в искомой точке:

Без подробных комментариев второй способ решения не может считаться обоснованным.

Обратим внимание на некорректность некоторых обоснований при использовании законов сохранения и общих теорем механики.

• Задача 6. Снаряд массой 25 кг, имеющий скорость 300 км/ч, находясь в верхней точке траектории, разрывается на две части. Часть массой 15 кг после взрыва летит по направлению полёта снаряда со скоростью 400 км/ч. Определите скорость второй части снаряда в момент взрыва.

Решение. Достаточно часто в решебниках встречается ремарка: «Будем считать систему замкнутой, тогда…» Но, по условию задачи, система замкнутой не является: и на снаряд, и на оба осколка действуют нескомпенсированные силы тяжести, являющиеся внешними! При этом закон сохранения импульса выполняется, только причина сохранения объясняется по-другому.

Примечание. Импульс системы сохраняется при равенстве нулю правой части уравнения закона изменения импульса системы. При постоянстве внешних сил в нашей задаче изменение импульса системы происходит за время t: (mυ₁ + mυ₂) – mυ = F_внешt, где F_внеш = mg – равнодействующая всех действующих внешних сил – сила тяжести, действующая на снаряд или оба осколка.

Закон сохранения импульса выполняется либо в замкнутой системе (F_внеш = 0, не действуют внешние силы), либо при кратковременном ударе, взрыве (t = 0).

В нашем случае закон сохранения импульса mυ = mυ₁ + mυ₂ в проекциях на горизонтальную ось даёт при направлении векторов скорости осколков вдоль оси, совпадающей по направлению с вектором скорости снаряда в момент взрыва: 25 · 300 = 15 · 400 + 10υ₂; υ₂ = 150 км/ч (по направлению движения снаряда).

Рассмотрим задачу динамики, две части которой принципиально отличаются.

• Задача 7. На горизонтальной плоскости лежат связанные тела массами m и 2m. Коэффициент трения между каждым из тел и плоскостью равен f. Какую силу нужно приложить к телу меньшей массы, чтобы оба тела сдвинулись с места? Рассмотрите случаи, когда тела связаны нерастяжимой нитью и пружиной.

Решение 1. Рассмотрим случай, когда два тела связаны нерастяжимой нитью.

Этот тривиальный случай (длина нити не изменяется, следовательно, система тел вместе с нитью может рассматриваться в данной задаче как единое недеформируемое целое) рассматривается в статике при рассмотрении равновесия при наличии трения. Ясно, что силы тяжести mg и 2mg и нормальные реакции N₁ и N₂, приложенные к каждому из тел, перпендикулярны линии действия силы F и влияют только на величины сил трения: F₁= fmg и F₂ = 2fmg (силы трения F₁ и F₂, очевидно, должны быть направлены в сторону, противоположную направлению силы F). Силы натяжения нити T₁ и T₂, приложенные к двум телам и направленные вдоль нити, являются внутренними для системы тел, и при нерастяжимости нити друг друга компенсируют.

Тогда при величине силы F > 3fmg оба тела одновременно будут сдвинуты с места.

Решение 2. Случай, когда два тела связаны между собой пружиной жёсткостью k, качественно отличается от ранее рассмотренного случая с нитью. Обратим внимание на то, что сначала, увеличивая величину силы F, мы сдвигаем с места тело массой m (при этом сила упругости возрастает пропорционально удлинению пружины), а только при равенстве силы упругости силе трения, действующей на тело массой 2m, большее тело будет сдвинуто с места и выполнится условие, поставленное в задаче.

Итак, если F_упр > F_тр2, то

2fmg < kx, (1)

и тело массой 2m будет сдвинуто с места.

Поскольку сила упругости не является постоянной, рассмотрим, какую работу совершат все приложенные к телу массой m силы при растяжении пружины на величину х. Такой подход при малом х в классической механике называется методом возможных перемещений.

Итак (с учётом направления векторов сил), работа внешней силы должна быть равна сумме работ силы трения и силы упругости: Поскольку х ≠ 0, получаем а с учётом соотношения (1) F > 2fmg.

Примечание 1. В решении подобных задач встречается «усреднение» силы упругости, изменяющейся от 0 до значения kx, как kx/2, при этом подгонка под ответ при помощи усреднения никак не обосновывается.

Примечание 2. Мы получили почти парадоксальный результат. Вспомним, сколько раз мы видели пружины в сцепках между вагонами на железнодорожных вокзалах!

Задачи на движение встречаются и в школьном курсе математики. Эти задачи (особенно в разделе «Производная») требуют очень внимательного отношения. Для примера рассмотрим задание № 5 варианта 96 из [2, изд-е 3-е]. Не секрет, что учителя математики обращаются при решении таких задач за помощью к физикам и не всегда получают квалифицированный ответ [3].

• Задача 8. Тело движется по прямой так, что расстояние до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону s = 0,5t² – 3t + 4 (м), где t – время движения в секундах. Найдите минимальное расстояние, на которое тело приблизится к точке А.

Решение. Ясно, что речь идёт о движении точки, а не тела, поскольку имеющее размеры тело не может двигаться по прямой. Простим эту некорректность математикам. Попытаемся решить задачу как классическую задачу «на экстремум»:

s′= t – 3 ⇒ s′= 0 ⇒ t = 3.

Далее: s (3) = –0,5 м. «Расстояние» отрицательно, что противоречит физическому смыслу понятия «расстояние».

Ясно, что, когда тело находится в точке А, расстояние между точкой и телом минимально (равно 0). Решение квадратного уравнения 0,5t² – 3t + 4 = 0 даёт моменты времени 2 с и 4 с.

Примечание 1. Несложно проверить, что в интервале времени от 2 до 4 с «расстояние» отрицательно. Задача имеет реальный физический смысл только первые 2 (!) секунды движения. Данное задание во всех знакомых мне решебниках выполнено с ошибками: или берётся модуль полученного расстояния, или указывается, что расстояние равно нулю при t = 2 и t = 4 (мне пришлось держать в руках более десятка «опусов»).

Напомню, что расстояние есть функция неотрицательная, непрерывная. Дадим иллюстрацию к рассмотренной задаче.

Функция s терпит разрыв – становится отрицательной при 2 < t < 4!

В 5-м издании Г.В.Дорофеев исправил ошибку условия: s = 0,5t² – 3t + 8 (м). При таких условиях задача решается как экстремальная и получается ответ 3,5 м.

Примечание 2. Обратим внимание на то, что, по условию задачи, не требуется указать момент времени, когда искомое расстояние минимально. Отвечая именно на поставленный вопрос (без указания моментов времени), мы избегаем лишних ошибок.

Достаточно часто в задачах по механике понятия «перемещение», «расстояние» и «координата» путаются [4]. Обратим внимание при решении следующей задачи на то, что при движении по прямой пройденный путь и перемещение совпадают только в том случае, когда вектор скорости не изменяет направления!

• Задача 9. Точка движется по прямой так, что её координата изменяется по закону x = t² – 4t + 10 (м), где t – время движения в секундах. Для момента времени t = 5 c найдите координату точки. Найдите перемещение точки, совершённое за первые 5 с движения, и расстояние, пройденное за это время.

Решение. Координата точки при t = 5 c равна x(5) = 25 – 20 + 10 = 15 м.

Начальная координата точки при t₀ = 0 c равна х(0) = 10 м.

Перемещение найдём как разность конечной и начальной координат точки: х = х(5) – х(0) = 15 – 10 = 5 м.

Найдём закон изменения скорости со временем: υ = x′= 2t – 4 м/с. Это можно сделать и без использования производной, записав в явном виде закон движения по прямой как x =x₀ + υ₀t + at²/2 = 10 – 4t + t² ⇒ υ = υ₀ + at = –4 + 2t.

Очевидно, что первые 2 с точка движется в сторону, противоположную направлению оси X (υ < 0), останавливается (υ (2) = 0 м/с), а потом движется в направлении, совпадающем с направлением координатной оси.

Найдём координату остановки (поворота):

х(2) = 4 – 8 + 10 = 6 м.

В первые 2 с был пройден путь |х(2) – х(0)| = 4 м при уменьшении координаты точки. В последующие 3 с был пройден путь |х(5) – х(2)| = 9 м. За 5 с пройдено расстояние s = 4 + 9 = 13 м.

 

Литература

1. Перельман Я.И. Живая математика. – М.: Учпедгиз, 1953.
2. Дорофеев Г.В. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс. Изд. 3-е. – М.: Дрофа, 2002.
3. Севрюков П.Ф. Задачи на движение: простые и не очень. – Математика в школе, 2008, № 10.
4. Севрюков П.Ф. О некоторых понятиях и определениях школьного курса механики. – «Физика-ПС», 2008, № 19.