Абитуриенту

МГУ-2009: Покори Воробьёвы Горы

Задачи по физике

В поисках талантливой молодёжи Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова совместно с газетой «Московский комсомолец» с 2005 г. проводят акцию «Покори Воробьёвы горы!». Для этого газета «Московский комсомолец» и сайт МГУ (www.msu.ru) в октябре–ноябре публикуют условия заданий по математике и физике. Желающие поступить на естественные факультеты и принять участие в конкурсе должны прислать не позднее 31 января решения в редакцию газеты «МК» по электронной или обычной почте. По результатам проверки выявляются победители заочного тура, которые приглашаются для очных испытаний либо в МГУ, либо в один из региональных центров. Приглашённые на очные туры должны выполнить в течение одного дня задания по математике и другим профилирующим для выбранного факультета дисциплинам.

Следует отметить, что задания заочного тура – повышенной сложности, поскольку конкурсанты имеют достаточно много времени (не менее 2 месяцев) для их выполнения, могут консультироваться и пользоваться любой литературой. Кроме самих решений следует сформулировать дополнительные предположения, при которых полученное решение верно, а при использовании того или иного закона не только сформулировать этот закон, но и обосновать его применение. Поэтому в предлагаемых ниже решениях мы уделили этим вопросам особое внимание.

Задания очного тура по физике значительно проще – два теоретических вопроса и две задачи. На выполнение задания по физике отводится один час. Письменные работы проверяются членами жюри, по результатам выявляются победители, которым предоставляется право без сдачи каких-либо дополнительных экзаменов стать студентами выбранных факультетов. Более подробно об условиях проведения заочного и очного туров акции «Покори Воробьёвы горы!» можно узнать на сайте МГУ (www.msu.ru).

Заочный тур

1 Жёлоб с гладкими твёрдыми стенками имеет прямоугольное сечение, размеры которого указаны на рисунке, причём правая стенка жёлоба существенно выше левой. С края левого бортика в направлении правой стенки жёлоба бросают мячик, который после упругих ударов о дно и стенки жёлоба выпрыгивает обратно. Начальная скорость мячика υ₀ = 1,4 м/с. Под какими углами к горизонтали нужно бросить мячик, чтобы он, покинув жёлоб, попал в исходную точку и испытал при этом не более двух соударений? При расчётах положите H = 0,4 м, L = 0,3 м. Ускорение свободного падения примите равным g = 9,8 м/с². Размером мячика можно пренебречь.

Решение

Поскольку максимальная дальность полёта мячика меньше, чем удвоенная ширина жёлоба 2L = 0,6 м, вылет шарика из жёлоба сразу после удара о вертикальную стенку при данных из условия задачи невозможен. Следовательно, минимально возможное число соударений мячика со стенкой и дном жёлоба перед вылетом из него равно двум. Для упрощения анализа движения мячика в жёлобе воспользуемся известным приёмом, согласно которому траектория мячика после упругого удара о вертикальную стенку может быть представлена как зеркальное (относительно стенки) отражение воображаемого участка траектории, по которому летел бы мячик после стенки в её отсутствие.

На рис. а эти участки изображены штриховыми линиями. Там в качестве примера представлены две траектории мячика, удовлетворяющие условию задачи. Двигаясь по каждой из этих траекторий, мячик по одному разу ударяется о дно и стенку жёлоба, причём на траектории 3 эти соударения происходят в бесконечно близких точках. Горизонтальное перемещение мячика за время движения составляет 2L; в конечной точке траектории он поднимается над дном жёлоба на высоту H. Для описания движения мячика воспользуемся системой координат XOY с началом в левом нижнем углу жёлоба. Координаты и проекции скорости мячика описываются кинематическими уравнениями:

Рассмотрим вначале движение мячика по траектории 1. При упругом ударе о дно горизонтальная проекция скорости мячика не меняется, вертикальная проекция меняет знак на противоположный, оставаясь прежней по модулю. Из уравнения для вертикальной проекции скорости находим время t₁ от начала движения мячика до момента падения на дно жёлоба и время t₂ от момента удара о дно жёлоба до подъёма на исходную высоту H:

где – вертикальная проекция скорости мячика в момент удара о дно жёлоба. Горизонтальное перемещение мячика за время полёта равно 2L. Отсюда получаем уравнение относительно угла α:

Вводя новую переменную ξ = sin²α, преобразуем это уравнение к виду:

Корни этого уравнения равны ξ^(1,2) = –1,5 ± 2. Имеет смысл положительный корень ξ⁽¹⁾ = 0,5. Следовательно, sin α= ± /2 и α₁ = 45°; α₂ = –45°. Траектория 2, соответствующая углу бросания α₂ = –45°, является зеркальным относительно вертикальной стенки отражением траектории 1. При движении по траектории 3 мячик попадает в угол, образованный дном и правой стенкой жёлоба, испытывая с ними соударения в двух бесконечно близких точках. Движение мячика после соударений происходит по той же траектории в обратном направлении. Для определения угла α₃, соответствующего этой траектории, воспользуемся уравнением, описывающим участок траектории от точки бросания до угла жёлоба:

Подставляя в него x = L, y = 0, получаем квадратное уравнение относительно tg α, а именно:

Корни этого уравнения имеют вид:

tg α₃ ≈ 1,772; tg α₄ ≈ –0,439; α₃ ≈ 60° 34′; α₄ ≈ –23° 42′.

Ответ. Углы, под которыми нужно бросать мячик, равны: α₁ = 45°; α₂ = –45°; α₃ = 60° 34′; α₄ ≈ –23° 42′. Траектории мячика, соответствующие этим углам, изображены на рис. б.

 

2 Изучив законы идеального газа, ученик решил разработать газовый термометр собственной конструкции, предназначенный для измерения комнатной температуры. По его проекту нужно расположить рядом два одинаковых цилиндрических сосуда, содержащие под поршнями гелий. При этом количество гелия в левом сосуде должно составлять ν₁ = 1 моль, а в правом ν₂ = 3 моля. Массы поршней следует подобрать таким образом, чтобы при температуре t₀ = 0 °C оба поршня находились в равновесии на одной и той же высоте H = 27,3 см над дном сосудов. С помощью шарниров и стержней нужно соединить поршни с коромыслом длиной L = 5 см, способным свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через его середину. Продолжением коромысла должна являться лёгкая стрелка длиной l = 2,5 см, позволяющая отсчитывать угол его поворота на специальной шкале. Объясните принцип действия разработанного учеником термометра. Почему ученик предложил использовать в качестве рабочего тела гелий? Считая угол поворота стрелки малым, а измеряемую температуру – не превышающей комнатную, найдите, на каком расстоянии Δx друг от друга нужно нанести деления на шкале, чтобы цена деления составляла один градус Цельсия.

Решение

Пусть m₁ и m₂ – массы поршней, S – площадь каждого из них, p₀ – атмосферное давление. Из условий равновесия поршней в начальном состоянии (при температуре t₀ = 0 °C) находим давления гелия в сосудах: p₁ = p₀ + m₁g/S, p₂ = p₀ + m₂g/S, откуда p₂ – p₁ = (m₂ – m₁)g/S. Уравнения начального состояния гелия в сосудах имеют вид: p₁HS = ν₁RT₀, p₂HS = ν₂RT₀. При температуре T > T₀ на каждый из поршней начнёт действовать также сила упругости F со стороны коромысла. Условия равновесия поршней в этом случае примут вид:

p₁′ = p₀ + m₁g/S + F/S; p₂′ = p₀ + m₂g/S + F/S,

откуда p₂′ – p₁′ = (m₂ – m₁)g/S, т.е. разность давлений гелия в сосудах не изменится. Уравнения состояния гелия при температуре T будут иметь вид: p₁′(H – h)S = ν₁RT; p₂′(H + h)S = ν₂RT, где h – перемещение каждого из поршней. Приравнивая разность давлений гелия при температурах T₀ и T, получаем соотношение:

Полагая h ≪ H и пренебрегая h² по сравнению с H², находим приближённо

Учтём далее, что угол поворота коромысла φ ≈ sin φ = 2h/L. Следовательно,

где t – измеряемая температура по шкале Цельсия. При комнатной температуре можно пренебречь в знаменателе получившегося выражения слагаемым t по сравнению со слагаемым 273 °C. Поэтому связь между углом поворота коромысла Δφ и изменением температуры Δt имеет вид:

Учитывая, что и полагая Δt = 1 °C, получаем ответ: Δx = 1 мм.

Продолжение следует