Образовательные ресурсы

Математические модели физических процессов

Пояснительная записка

Математику называют языком физики. Эти дисциплины всегда были тесно связаны и взаимно обогащали друг друга идеями и методами. Раньше из обширного математического аппарата физики применяли в основном аналитические и полуаналитические методы и приёмы. Теперь всё чаще обращаются к математическому моделированию.

Современный курс математики построен на идеях множества, функции, геометрических преобразований, охватывающих различные виды симметрии.

Школьники изучают производные элементарных функций, интегралы и дифференциальные уравнения. Математика даёт физике вычислительный аппарат.

Абстрактные математические уравнения и формулы имеют реальное воплощение в физических процессах, помогают учащимся осознать единство материального мира. Изучение физических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами, к исследованию хода процесса в зависимости от параметра. Поэтому навыки решения задач с параметрами, знание их особенностей нужны специалистам в любой области деятельности.

Целью данного курса является более глубокое усвоение учебного материала по курсу «Алгебра и начала анализа-10–11» с опорой на физические понятия.

Основные задачи курса

1. Развитие предметных компетентностей: углубление знаний по математике, предусматривающее развитие устойчивого интереса учащихся к предмету; развитие навыков перевода различных задач на язык математического моделирования, представление моделирования как способа познания.

2. Развитие социально-личностных компетентностей: ознакомление с переходом от физических явлений и связей между ними к их математическому выражению, и наоборот; обеспечение социализации личности выпускника путём подготовки к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.

3. Развитие общекультурной компетентности: представление математики как части общечеловеческой культуры; понимание значимости математики для общественного прогресса.

Элективный курс предназначен для выпускников 11-го класса информационно-технологического профиля, рассчитан на 34 ч. Изучение курса способствует процессу самоопределения учащихся, помогает им адекватно оценить свои математические способности, обеспечивая системное включение в процесс самостоятельного построения знаний.

Содержание курса

1. Элементарные математические функции, их свойства, графики. Построение графиков функций с модулем. Композиция функций. Преобразования функций: растяжение, сжатие, сдвиг.

2. Элементарные математические функции как модели физических процессов: а) линейная функция как модель движения с постоянной скоростью; б) квадратичная функция как модель равноускоренного движения, модель свободного падения, модель движения по окружности; в) тригонометрическая функция как модель колебательного процесса.

3. Задачи с параметрами. Параметр и переменная в алгебраических выражениях. Формулы элементарных функций. Зависимость свойств элементарных функций и расположения их графиков в системе координат от параметров, входящих в формулы. Исследование квадратного трёхчлена. Аналитические приёмы решения задач с параметрами. Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем. Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем, параметр и свойства решений. Графические приёмы решения задач с параметрами: введение системы координат (х; а); параллельный перенос, поворот.

4. Применение производной при решении задач с физическим содержанием. Производная как мгновенная скорость. Правила дифференцирования. Показательная и логарифмическая функции. Вос­становление пути по скорости. Интеграл. Радиоактивный распад. Дифференциальное уравнение у′= ky. Вытекание воды. Дифференциальное уравнение y′= f(x). Атмосферное давление. Задача о трении намотанного каната. Ускорение как производная от скорости. Реактивное движение. Движение в силовом поле. Колебания.

Отбор содержания основан на принципах научности, доступности, преемственности, практической направленности.

Формы контроля

Обучающие самостоятельные работы, которые позволят оценить уровень усвоения вопросов курса.

Формой итогового контроля может стать курсовая работа, собеседование или тестовая работа.

Формы работы: лекции, собеседования по изученному материалу, самостоятельное изучение материала, практикумы, исследовательские работы, решение задач. Защита курсовых работ. 

Темы курсовых работ: • Формула Циолковского • Графическое решение уравнений и неравенств с параметрами • Задача о падении в воздухе с учётом сопротивления • Задача Кеплера • Исследование свойств функции с помощью производной • Гармонические колебания • Тригонометрические уравнения с параметрами • Графики изопроцессов.

Тематическое планирование

№	Содержание	Часы
1. Элементарные математические функции, их свойства, графики. 2. Элементарные функции как модели физических процессов (13 ч)
1	Линейная функция. Кусочно-линейная функция. Взаимное расположение графиков линейных функций	1
2	Движение тела с постоянной скоростью	1
3	Квадратичная функция у=аx2 + bx + c	1
4	Прямолинейное неравномерное движение. Свободное падение тел	1
5	Движение по окружности	1
6	Функции, содержащие знак модуля; чётная и нечётная функции. Симметрия	1
7	Построение графиков тригонометрических функций. График гармонического колебания	1
8	Исследование зависимости координаты от времени движения при прямолинейном ускоренном движении	1
9	Движение тела под действием силы тяжести (по вертикали, под углом к горизонту)	1
10	Обратные тригонометрические функции. Свойства. График	1
11	Колебательные движения. Математический и пружинный маятники	1
12	Функция у = [x], у = {х}. Преобразования функций	1
13	Консультация учащихся по выбранным темам курсовых работ	1
3. Задачи с параметрами (8 ч)
14	Параметр. Зависимость свойств элементарных функций от параметров	1
15	Квадратный трёхчлен	1
16	Параметр и решение уравнений, неравенств, их систем	1
17	Параметр и количество решений уравнений, неравенств, их систем	1
18	Параметр и свойства решений уравнений, неравенств, их систем	1
19	Графические методы решения задач с параметрами	1
20	Применение свойств функций при решении уравнений с параметрами	1
21	Решение уравнений и неравенств с параметром, содержащим модуль	1
4. Применение производной при решении задач с физическим содержанием (13 ч)
22	Производная как мгновенная скорость. Правила дифференцирования	1
23	Показательная и логарифмическая функции	1
24	Восстановление пути по скорости. Интеграл	1
25	Радиоактивный распад. Дифференциальное уравнение у′= ky	2
26	Вытекание воды. Дифференциальное уравнение у′= f(x)	2
27	Атмосферное давление	1
28	Задача о трении намотанного каната	1
29	Реактивное движение	1
30	Движение в силовом поле. Колебания	1
31	Защита курсовых работ	2
Итого:		34

 

Литература для учащихся

1. Лукашик В.И., Иванова Е.В. Сборник задач по физике для 7–9 кл. общеобразовательных учреждений. 20-е изд. – М.: Просвещение, 2006.
2. Математика. Задачи М.И.Сканави с решениями:  Сост.: Марач С.М., Полуносик П.В. – Минск: Изд. В.М.Скакун, 1997.
3. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа-10–11. – М.: Мнемозина, 2000–2007.
4. Пак Г.К. Задачи с параметрами: Сер. «Математика для абитуриента»: Учебное пособие. – Владивосток: Изд. Дальневосточного университета, 2000.
5. Шубин М.А. Математический анализ для решения физических задач: Сер. «Библиотека „Математическое просвещение”». – М.: МЦНМО, 2003.

 

Литература для учителя

1. Алгебра и начала анализа для 9–10 классов: Под ред. А.Н.Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986.
2. Иванов А.И. О взаимосвязи школьных курсов физики и математики при изучении величин. – Физика в школе, 1997, № 7.
3. Стандарт среднего (общего) образования по математике, 2004.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Пример 1. Скорость движения. Найдите скорость равномерно ускоренного движения в произвольный момент t и в момент t = 2 с, если зависимость пути от времени выражается формулой s = gt² /2 [1, с. 65].

Решение. В момент t имеем s = gt² /2 в момент t + ∆t:

Таким образом, скорость в любой момент времени t равна υ = gt. При t = 2 c имеем υ (2 c) = g · 2 c = 19, 6 (м/с).

Пример 2. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач

Задача. Дальность R = OA полёта ядра (в пустоте), выпущенного с начальной скоростью υ₀ из орудия, наклонённого под углом φ к горизонту, определяется формулой

(g – ускорение силы тяжести). Определите угол φ, при котором дальность R будет наибольшей при данной начальной скорости υ₀ [1, с. 159].

Решение. Величина R представляет собой функцию переменного угла φ. Исследуем эту функцию на максимум на отрезке 0 ≤ φ ≤ π/2:

Следовательно, при φ = π/4 дальность полёта R имеет максимум:

Значения функции R на концах отрезка [0; π/2]:

Таким образом, найденный максимум и есть искомое наибольшее значение R.

Пример 3. Задача, приводящая к дифференциальному уравнению. Пусть под действием земного притяжения материальная точка P падает по вертикальной прямой, которую мы примем за ось Y системы координат с началом на поверхности Земли. Для нахождения закона движения точки P мы должны выразить её ординату у как функцию от времени t. Зная, что ускорение вообще равно и что в данном случае ускорение силы тяжести g ≈ 981 см/с² и направлено вниз, получаем: Это обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Его легко решить, т.е. интегрировать, а именно:

В общем решении дифференциального уравнения содержатся две произвольные константы: С₁ и С₂. Полагая t = 0, получим:

Итак, С₁ есть начальная скорость точки Р, а С₂ – начальное её положение. Общее решение дифференциального уравнения можно теперь представить так:

где y₀ и υ₀ являются начальными условиями, позволяющими найти частное решение.

 

Литература

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 1. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX–X кл.: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.

Елена Анатольевна Пикуль – учитель математики высшей квалификационной категории, окончила Кабардино-Балкарский государственный университет в 1986 г., педагогический стаж 20 лет. Преподавала математику в средних школах г. Нальчика, на Дальнем Востоке, в г. Аксае Ростовской области. Педагогическое кредо: «Хвалю громко, а порицаю тихо».