Задачи, тесты

Экстремальные физические задачи

Экстремальные задачи по физике практически отсутствуют в задачниках для 9–11-го классов и мало известны большинству учащихся, поэтому школьники с интересом к ним относятся. Решение экстремальных задач с физическим содержанием способствует углублению межпредметных связей физики и математики. Эти задачи физически интересны, они есть во всех разделах курса. Приступить к решению экстремальных задач можно на факультативных занятиях в 9-м классе и продолжить их решение в последующие годы. В 10–11-м классах решаем задачи как с применением производной, так и методами элементарной математики. В 9-м классе возможно применить только элементарные методы, при этом часто нужны сообразительность и изобретательность, тогда экстремальные задачи будут для учащихся творческими и полезными при подготовке к олимпиадам. Рассмотрим ряд математических приёмов элементарного решения экстремальных задач по физике.

Задача 1. Выделение квадрата двучлена из квадратичной функции

Учащимся хорошо известна формула

Тогда функция y = ax² + bx + c принимает экстремальные значения при x = -b/2а именно:

не существует – при a > 0;

не существует – при a < 0.

Задача 2. Тело брошено со скоростью υ₀ под углом α к горизонту. Найдите наибольшую высоту его подъёма.

Решение. Ординату тела преобразуем так:

Задача 3 (задача Гюйгенса). Три совершенно упругих шара массами m₁, m₂ и m₃ находятся на одной прямой в покое. Потом шар m₁ ударяет шар m₂ с известной скоростью υ₁. Какова должна быть масса m₂ второго шара, чтобы после его удара о шар m₃ скорость последнего была наибольшей?

Решение. Применив законы сохранения энергии и импульса к удару первого шара о второй и второго о третий, получим откуда

Задача 4. Под каким углом к горизонту надо бросить тело с башни высотой H, чтобы оно упало как можно дальше от основания башни? Чему равна наибольшая дальность полёта L_max? Начальная скорость тела υ₀.

Решение. В выбранной системе координат уравнения движения тела

Исключив из уравнений (1) время t, получим уравнение траектории:

Ясно, что x = L при y = 0, тогда из уравнения (2) получим квадратное уравнение относительно tg α:

где υ_п – скорость падения тела на Землю. Так как tg α < 1, то α₀ < 45°.

Задача 5. Имеется множество наклонных плоскостей с одинаковыми основаниями, равными b, но разной высоты. При какой высоте h время t соскальзывания тела по наклонной плоскости без трения будет наименьшим?

Решение. При равноускоренном движении где a = g sin α – ускорение тела, – длина наклонной плоскости.

Следовательно, при sin 2α = 1, т.е. при α = 45°, т.е. при h = b.

Данный приём полезен и при изучении теории. В учебнике физики выведена формула дальности полёта тела, брошенного со скоростью υ₀ под углом α к горизонту:

Без доказательства сообщается, что наибольшая дальность полёта будет при α = 45°.

Повторяя механику в 11-м классе, запишем формулу (3) в виде при sin 2α = 1, т.е. α = 45°.

Задача 6. Тело массой m движется равномерно по горизонтальной поверхности под действием силы F. Коэффициент трения равен µ. При каком значении угла α сила F имеет наименьший модуль? Чему он равен?

Решение. На тело действуют четыре силы: сила F, сила тяжести mg, сила нормальной реакции поверхности N и сила трения F_тр. Под действием этих сил тело движется равномерно и прямолинейно. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси X и Y:

Заменим действие сил N и F_тр действием одной силы реакции опоры R. Поскольку тело движется равномерно, векторная сумма всех сил равна нулю, т.е. силы mg, R, и F образуют замкнутый треугольник. Модуль силы R зависит от направления силы F, но направление силы R неизменно и определяется только коэффициентом трения:

С изменением направления силы F изменяется её модуль и модуль силы R. На рисунке изображены два треугольника, определяемые соотношениями:

mg + R₁ + F₁ = 0,

mg + F₂ + F₂ = 0.

Из рисунка видно, что сила F будет наименьшей по модулю в том случае, если она перпендикулярна к линии действия силы R. Очевидно, что при этом угол её наклона к горизонту α = β = arctg μ. Следовательно,

Задача 7. Положительный заряд q равномерно распределён по тонкому проволочному кольцу радиусом R. Найдите точки на оси кольца, в которых напряжённость электрического поля имеет наибольшее значение, и определите его.

Решение. Очевидно, что на оси кольца существуют две симметричные относительно центра О точки, в которых модуль напряжённости электрического поля E имеет именно наибольшее значение. Действительно, из соображений симметрии, в центре кольца E = 0. Если взять точку, у которой h ≫ R, то кольцо можно рассматривать как точечный заряд, напряжённость поля которого при h → ∞. Значит, существует такое h, при котором напряжённость поля наибольшая. Избегая дифференцировать иррациональную функцию от h, примем за независимую переменную угол α, тогда Находим производную и экстремум: Е:

Следовательно,

Задача 8. Какую наибольшую полезную мощность тока P_max может обеспечить источник с ЭДС и внутренним сопротивлением r?

Решение 1.

Значит, максимум мощности Сравнивая с законом Ома видим, что этот максимум достигается при R = r.

Решение 2. Рассмотрим равенство P = I – r I² как квадратное уравнение относительно I: r · I² – I + P = 0, откуда

Следовательно,

Решение 3.

Решение 5. При решении с помощью производной за независимую переменную проще выбрать ток I, а не внешнее сопротивление R.

 

Задачи для самостоятельной работы

Задачи даны только с ответами, т.к. решения займут слишком много места. Этого вполне достаточно, чтобы сориентироваться. Более трудные задачи отмечены звёздочкой. Они предназначены для индивидуальной работы с сильными учащимися, а также при различных формах углублённого изучения физики.

I. Механика

1. Из пункта A, находящегося в лесу в 5 км от прямолинейной дороги, пешеходу нужно попасть в пункт B, расположенный на этой дороге в 13 км от пункта A. По дороге пешеход может двигаться с максимальной скоростью 5 км/ч, а по лесу – с максимальной скоростью 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход сможет добраться из пункта A в пункт В?

Ответ. 3 ч 44 мин.

2. Человек находится на расстоянии L от прямолинейной дороги, по которой движется автомобиль со скоростью u. Под каким углом L к перпендикуляру к дороге нужно бежать к дороге, чтобы выбежать на неё впереди автомобиля как можно дальше от него? Скорость человека υ.

Ответ. L = arcsin υ/u

3. Верхняя точка трамплина находится на высоте H над землёй, а на высоте h трамплин обрывается горизонтальной площадкой. Какой должна быть высота h при заданной высоте H, чтобы лыжник, съехав с трамплина, мог пролететь наибольшее расстояние s_max (считая по горизонтали)? Определите s_max. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ. s_max = H при h = H/2.

4. Сосуд цилиндрической формы наполнен водой до высоты H. На какой высоте h нужно проделать в сосуде малое отверстие, чтобы вода била из него как можно дальше? Какой наибольшей дальности по горизонтали s_max достигнет струя?

Ответ. s_max = H при h = H/2.

5. Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние L, а затем тормозится с ускорением a. При какой скорости частицы время движения от её вылета до остановки будет наименьшим?

Ответ.

6*. При какой наименьшей начальной скорости камня, брошенного с поверхности Земли, можно попасть в цель, находящуюся на расстоянии l по горизонтали и на высоте h по вертикали?

Ответ.

7*. Какую минимальную скорость должен иметь камень, брошенный мальчиком, чтобы он перелетел дом высотой H и длиной l, если бросок совершается с высоты h и бросать можно с любого места?

Ответ.

8*. Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R. При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины?

Ответ.

9*. Тело бросают под углом α к наклонной плоскости, которая образует с горизонтом угол β. Начальная скорость тела равна υ₀. При каком значении угла α расстояние L от точки бросания до точки падения тела на плоскость максимально и чему оно равно?

Ответ.

10*. Решите предыдущую задачу, если α – угол между наклонной плоскостью и вектором скорости в конце спуска.

Ответ.

11. Дождевая капля, начальная масса которой равна m₀, а начальная скорость равна нулю, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что её масса уменьшается по закону m = m₀ – kt. Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?

Ответ.

12*. Метеорологическая ракета массой M, запущенная вертикально стартовым ускорителем с начальной скоростью υ₀, имеет двигатель, способный в течение времени τ развивать силу тяги F. В какой момент времени должен начать работу двигатель, чтобы ракета достигла наибольшей высоты? Какова эта высота? Считать, что масса ракеты не меняется и ускорение свободного падения g постоянно.

Ответ.

13*. В полусферу радиусом R опускают без начальной скорости материальную точку. Коэффициент трения между точкой и полусферой равен µ. Какова наибольшая скорость материальной точки при её движении в полусфере?

Ответ.

14*. Корабль приводится в движение водомётным двигателем, выбрасывающим с кормы струю воды со скоростью u. Ежесекундно выбрасывается масса воды m, которая берётся из реки. При каком значении скорости корабля υ КПД (η) двигателя максимален? Силой трения и сопротивлением воды пренебречь.

Ответ. η_max = 0,5 при υ = u/2.

15. К висящей лёгкой пружинке жёсткостью k подвешен шарик массой m. Вначале пружина не растянута. Затем шарик отпускают. Какой максимальной скорости достигнет шарик при своём движении? Каково максимальное растяжение пружины?

Ответ.

16. Ось вращения рычага совпадает с одним из его концов. В точке, отстоящей на расстоянии a от оси вращения, подвешен груз весом P. Масса единицы длины рычага τ. Какова должна быть длина рычага, чтобы груз P уравновешивался наименьшей силой?

Ответ.

17*. На каком расстоянии d от центра масс однородного стержня длиной l должна быть расположена точка подвеса, чтобы циклическая частота колебаний стержня была максимальной? Чему равна максимальная частота ω_max?

Ответ.

Ещё 22 экстремальные задачи для самостоятельного решения по темам «Механика», «Термодинамика и МКТ», «Электродинамика», «Оптика» помещены в рубрике «Дополнительные материалы» к № 11.