Задачи, тесты

Заметки об изучении кинематики

Самое сложное – это объяснить самые простые вещи.

В этих весьма разнородных заметках мы остановимся на тех моментах, которые вызывают наибольшие затруднения у учеников и недостаточно подробно (или нечётко) изложены в учебниках.

С какими трудностями сталкивается ученик, приступив к изучению кинематики? Конечно, с заметными математическими трудностями. Во-первых, мгновенные значения кинематических величин (скорости, ускорения) вводятся при помощи предельного перехода (а в курсе математики эти вопросы разбираются позднее). Во-вторых, это работа с векторами.

Представляется правильным не обрушивать на ученика все сложности сразу и разбить изучение кинематики на две части: движение по заданной траектории (не обязательно прямолинейной), где векторы не нужны, и, условно говоря, движение в пространстве, где во главу угла поставлена работа с векторами. После этого необходимо уточнить некоторые тонкие моменты (например, объяснить, что средняя – путевая – скорость не равна среднему значению вектора скорости).

И всё-таки главная трудность не в математике. Увы, в курсе 7–8-го классов наши ученики приходят к мысли, что задача по физике сводится просто к подстановке чисел в известную формулу. Этому способствует рекомендуемая методистами схема записи решения: «Дано», «Расчётные формулы», «Вычисления». Ученики не понимают, что задачи, полностью укладывающиеся в такую схему, – это всего лишь технические упражнения. Они начинают считать, что это и есть суть физики. И когда при изучении кинематики оказывается, что уравнения, описывающие движение, должны составляться самостоятельно (хотя их общий вид заранее известен), у учеников возникает состояние, близкое к шоку.

Начнём с совсем простых моментов в традиционном материале, в которых тем не менее ученики часто путаются. Речь пойдёт о движении точки по заданной траектории (не обязательно прямолинейной).

При равномерном движении координата точки меняется со временем по закону:

s(t) = s₀ + υ_s(t – t₀).       (1)

Обозначения общепринятые, подчеркнём лишь, что s – это координата, а путь придётся обозначать как-нибудь иначе, например, S. Как они связаны? В рассматриваемом случае модуль изменения координаты за какой-то промежуток времени это и есть путь: S =|s₂ – s₁|. Индекс «s» в (1) и ниже означает проекцию вектора на направление траектории. Удобно называть эти формулы уравнениями движения, предупредив учеников, что это – «домашняя» (необщепринятая) терминология. Приходится неоднократно напоминать ученикам, что для записи уравнений движения в конкретной задаче надо предварительно выбрать систему отсчёта, выбрать на траектории положительное направление и точку, от которой отсчитывается координата, а также момент времени, от которого отсчитывается время. Надо подчеркивать, что у разных учеников, решающих одну задачу, уравнения могут иметь разный вид. Только в самых простых задачах этот этап проходит автоматически.

А вот диалог, который я слышу каждый год.

Учитель. Что такое s в уравнении (1)?

Ученик. Путь.

Учитель. Нет! Совсем не путь!

Ученик. Ну… это… координата.

Учитель. Молодец! А что такое t в уравнении (1)?

Ученик. Время!

Учитель. Время – это философская категория, атрибут материи. Что же такое t в уравнении (1)?

Ученик. Ну-у… момент времени.

Учитель. Какой момент времени?

Ученик. Э-э… Ну…

(Крики из класса.) Любой! Любой!

Ученик. Любой!

Учитель. Ну, слава богу. А что такое t₀?

Ученик (уверенно). Начальный момент времени.

Учитель. Опять вы за своё!

Поясню позицию учителя. t – это переменная, это любой момент времени (конечно, из того промежутка времени, в течение которого продолжалось движение). Не стоит так обозначать промежутки времени. И всегда очень полезно какие-то выделенные моменты времени обозначать иначе, например, T, τ или t′ (и использовать различные индексы). Вот пример грамотных обозначений (из другой области): мы начинаем самостоятельную работу в момент времени t₁ = 12 ч 05 мин, ученики должны сдать тетради в момент времени t₂ = 12 ч 35 мин, продолжительность работы ∆t = 30 мин. Использование для промежутков времени обозначения t (увы, часто встречающееся в разных учебниках) в дальнейшем неизбежно приведёт к трудностям при определении мгновенных значений величин, которые вводятся путём предельного перехода.

Как материал, связанный с уравнением (1), изложен в учебниках? Обычно уравнение (1) представлено в учебниках в усечённом виде, где положено t₀ = 0. Увы, такая запись основного уравнения очень неудобна в задачах о движении двух (или большего числа) тел по одной траектории (см. ниже).

Теперь о t₀. Очень распространено мнение, что t₀ – начальный момент времени. Действительно, во многих задачах это так. Но в других задачах t₀ может быть и конечным моментом времени, и промежуточным. Правильный ответ: t₀ – это тот момент времени, в который координата равна s₀. Боюсь, что это простое утверждение будет неожиданным для читателя, поэтому обсудим ситуацию подробно на конкретном примере.

Пусть речь идёт о движении поездов между Москвой и Петербургом (Пб). Пусть экспресс «Высокая луна» (поезд № 1) отходит из Пб в 11 ч вечера, его скорость 100 км/ч. Про экспресс «Полярная звезда» (поезд № 2) известно, что он прибывает в Пб в 8 ч утра (следующих суток), движется он со скоростью 80 км/ч. Товарный поезд «Рабочая лошадь» (поезд № 3), следующий из Москвы в Пб со скоростью 60 км/ч, в 4 ч ночи прошёл рабочий посёлок Светлый Путь, находящийся на расстоянии 400 км от Пб.

На этих данных можно поставить множество различных задач. Все решения (если не искать специальных, искусственных решений ad hoc) будут опираться на уравнения движения этих поездов. Выпишем их.

Будем отсчитывать координату от Пб в направлении Москвы, время – от полуночи (ни в каких обоснованиях такой наш выбор не нуждается). Ясно, что мы знаем координату первого поезда в момент времени –1 ч, и она равна s₀⁽¹⁾ = 0. Иногда приходится слышать от учеников: «Но время же не может быть отрицательным!» Может. Это всего лишь значит, что событие произошло до того момента времени, в который мы положили t = 0 (и все об этом знают на примере исторической хронологии). Для второго поезда мы знаем координату s₀⁽²⁾ = 0 в конечный (!) момент времени t₀⁽²⁾ = 8 ч. Для товарного поезда мы знаем координату s₀⁽³⁾ = 400 км в момент времени t₀⁽³⁾ = 4 ч. Этот момент времени, конечно, никак нельзя назвать «начальным». (Авторы, называющие s₀ и t₀ начальными условиями, переносят в школьный курс механики терминологию из курса дифференциальных уравнений, но школьников такая терминология только собьёт с толку.)

Теперь всё готово, чтобы выписать уравнения движения всех этих поездов. Выпишем их в практическом виде:

s₁(t) = 100(t + 1);       (2)

s₂(t) = – 80(t – 8);       (3)

s₃(t) = 400 – 60(t– 4).       (4)

Конечно, все эти уравнения справедливы лишь при 0 ≤ s ≤ s_М, где s_М – координата Москвы.

Для равноускоренного движения имеем:

υ_s(t) = υ_s0 + a_s;       (5)

s(t) = s₀ + υ_st + a_st²/2.       (6)

Почему t₀ отсутствует в уравнениях (5), (6)? Просто эти уравнения записаны в предположении, что t₀ = 0. В таком виде их и стоит запоминать. Но необходимо (как и выше) иметь в виду, что и в весьма простой задаче, где, например, два тела начинают падать в разные моменты времени, нам уже не удастся записать для каждого тела уравнения движения в виде (5) и (6). Для какого-то тела придётся в этих уравнениях заменить t на t – t₀. Кроме того, в случае равноускоренного движения, конечно, нельзя думать, что путь s =|s₂ – s₁|.

Чтобы решить задачу на равноускоренное движение, можно для каждого тела записать уравнения (5), (6) (или одно из них) и решить полученную систему уравнений. Но в некоторых задачах удобно обратиться сразу к другим уравнениям. Хорошо известное уравнение

υ₂² - υ₁² = 2 a_s (s₂- s₁)       (7)

легко выводится из (5), (6). Если точка двигалась по траектории в положительном направлении (не меняла направление движения), то в некоторых задачах удобно воспользоваться соотношением

(υ₁ + υ₂) (t₂ - t₁) = 2(s₂- s₁)       (8)

Оно выражает тот простой факт, что для равноускоренного движения средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей на каком-то участке (это совершенно очевидно из рассмотрения графика υ(t) и формулы для площади трапеции).

Опыт показывает, что на заключительных занятиях по кинематике (при «обобщающем повторении», как учат нас говорить методисты) очень полезным оказывается обсуждение следующих вопросов.

Речь идёт о движении точки по плоскости по заданной криволинейной траектории. Как обычно, проецируем векторы на два взаимно перпендикулярных направления. В одном случае – на оси декартовой системы координат (i и j – единичные векторы вдоль осей x и y соответственно), в другом случае – на касательную к траектории и на нормаль к ней (τ и n – единичные векторы по этим направлениям). Надо дать качественные ответы на вопросы:

– что показывают проекции скорости υ_x? υ_y? υ_n? υ_τ?

– что показывают проекции ускорения a_x? a_y? a_n? a_τ?

Обсуждение. С первым вопросом дело обстоит очень просто: υ_x (или υ_y) показывает, сколь быстро меняется координата х (или y) точки. Но в следующем вопросе уже содержится ловушка: υ_x показывает, сколь быстро меняется координата s, отсчитываемая вдоль траектории. Но υ_n ничего не показывает! Вектор скорости в любой точке направлен по касательной к траектории, т.е. υ_n тождественно равна 0.

Пойдём дальше: a_x, a_y показывают, сколь быстро меняются соответствующие проекции скорости. Ясно, что a_τ показывает, сколь быстро меняются проекция скорости υ_τ. Проекция a_n показывает, сколь быстро меняется скорость точки по направлению.

Почему такая несимметрия в ответах? Потому, что единичные векторы τ и n при движение по кривой сами меняются со временем по направлению.

При повторении в профильном 11-м классе уже можно записать все ответы на математическом языке:

В последнем равенстве, как обычно, предполагается, что нормаль направлена в сторону выпуклости траектории.

Замечания ниже представляют собой реакцию на утверждения школьных учебников – как старых, так и самых новейших. Приведём весьма характерную цитату. Рассматривая график зависимости координаты (авторы почему-то упорно избегают этого термина) от времени, авторы пишут: «Тангенс угла наклона α этого графика к оси времени численно равен скорости движения». Но можно ли говорить о тангенсе угла там, где никакого определённого угла нет? Значение угла на графике зависит от масштаба по осям! К тому же тангенс – безразмерная величина, а нас интересует значение размерной физической величины. Можно говорить лишь о «тангенсе» (в кавычках!), только подробно объяснив всю условность этого выражения (по сути дела, это физический жаргон).

Более аккуратные авторы пишут, что скорость – это угловой коэффициент касательной.

Используется такая словесная конструкция: какая-то физическая величина А численно равна какой-то другой физической величине В. В научной физической литературе такие формулировки мне не встречались. Две физические величины одной размерности могут быть равны друг другу (с какой-то точностью), а могут быть не равны, ничего третьего не дано. Но что значит «численно равны»? Может быть, 5 м численно равны 5 кг?! (Немного уточню последние утверждения. Про так называемые практические формулы, в которых уже подставлены значения мировых постоянных и тех величин, которые остаются постоянными в данной задаче, действительно можно сказать, что в них правая часть численно равна левой. Но это, конечно, не имеет отношения к приведённой выше цитате.)

В новейшем учебнике для углублённого изучения (впрочем, выдержавшем уже большое количество переизданий) есть удивительнейшие картинки, где векторы раскладываются на какие-то палочки. Никаких комментариев в тексте нет, и остаётся только догадываться, что авторы имели в виду (может быть, это вообще проделка типографии?). А может быть, авторы пытаются таким образом пояснить, что такое проекции. Надо сказать прямо: никаких палочек в векторной алгебре нет. Вектор раскладывается на составляющие векторы (компоненты вектора). Можно сказать, что величины этих составляющих с соответствующими знаками и есть проекции вектора на оси (и объяснить правило знаков). А можно, если ученики уже знают, что такое скалярное произведение, определить проекции вектора a на оси координат следующим образом: a_x = (аi), a_y = (аj) и т.д. И вообще удастся избежать многих недоразумений, если с самого начала приучать учеников к чёткости формулировок. Не стоит говорить «скорость»! Есть вектор скорости, модуль (или величина) скорости, составляющая (или компонента) вектора скорости вдоль какой-то оси (тоже вектор!) и проекция вектора скорости на ось.

Метод физики – это метод моделей (впрочем, и многие другие науки пользуются этим методом). И первая модель, с которой мы сталкиваемся при изучении механики, – это, конечно, материальная точка. Так обычно звучит термин во всех школьных учебниках. Даже страшно на него посягать. И всё же…

Зачем мы говорим в кинематике, что точка материальная? Ведь такие характеристики материального тела, как масса, энергия, импульс, в кинематике выведены из рассмотрения. Кто-то может сказать, что к термину (как, например, к имени) нельзя придираться – как договорились (как назвали ребёнка), пусть так и будет. И всё же…

Есть такие объекты, в применении к которым этот термин звучит уж слишком странно. «Вы, что же, считаете, что есть нематериальные объекты?» – спросят меня. Ну конечно! Именно это я и хочу сказать. Есть вполне реальные нематериальные объекты, и они каждому хорошо известны. Не читайте дальше – сначала попробуйте догадаться. Имейте в виду, что автор вполне серьёзен и ни на НЛО, ни на привидения не намекает.

Вот представьте себе: летит самолёт, а по земле бежит его тень. Можно ли описывать движение этой тени, используя обычный аппарат кинематики? Ну, конечно, можно. Но тень не является материальным телом, на неё не действуют силы, у неё вообще нет массы, энергии, импульса. То же можно сказать о световом пятне («зайчике»), которое создаёт луч прожектора или лазера на экране. Луч – это поток фотонов, но зайчик-то, бегущий по экрану, не состоит из фотонов. Аналогично можно рассматривать движение точки пересечения лезвий ножниц. Это классические примеры.

Применяя в кинематике термин материальная точка, мы можем попасть впросак. Например, перечисленные выше объекты очень интересны в том отношении, что они могут двигаться с любыми скоростями, даже со сверхсветовыми, – материальное же тело, напомним, не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света с. Очень интересные вопросы возникают при наблюдении таких объектов.

Итак, повторю, в термине «материальная точка» первое слово совершенно не нужно, более того – неуместно (другое дело – в динамике, но о динамике мы здесь не говорим).

Теперь обратимся к принципиальным моментам.

Когда-то мне очень нравилось чьё-то высказывание о том, что кинематика – это-де математика, куда добавлено понятие времени. Так нравилось, что я цитировал его ученикам. Ну, действительно, думал я, ведь в кинематике нет никаких свойств реальных тел, нет никаких физических законов, а есть только чисто математические следствия из определений скорости и ускорения, например, уравнения (1), (5), (6).

Теперь я понимаю, что по большому счёту был глубоко неправ. Кинематика в своих основах имеет дело с самыми принципиальными вещами – со свойствами пространства-времени. Классическая механика (и её часть – «школьная» кинематика) основана на определённых (ньютоновских) представлениях о свойствах пространства-времени. Ни из какой логики или математики эти представления не следуют. Сколь бы естественными они нам ни казались, надо иметь в виду, что эти представления опираются лишь на наш совокупный (весьма ограниченный в пространственно-временных масштабах) опыт, и их придётся пересмотреть, если мы обратимся к условиям, далёким от этого опыта.

В любом учебнике можно найти такой примерно текст. Перемещение (скорость, ускорение…) – вектор, и, следовательно, они (перемещения, скорости, ускорения…) складываются по правилу параллелограмма. Логика эта абсолютна неправильна. Более того, все об этом знают, по крайней мере на одном примере (а одного отрицательного примера, конечно, вполне достаточно, чтобы перечеркнуть принцип), но почему-то забывают. Пример этот из специальной теории относительности, где скорости – векторы, но, конечно, они не складываются по правилу параллелограмма. Иначе, взяв два вектора величиной 200 000 км/с, мы при сложении их могли бы получить скорость около 400 000 км/с!

А сложение ускорений по правилу параллелограмма (аналогичному правилу сложения скоростей) не имеет места даже в классической механике (кроме случая поступательного движения систем отсчёта).

И дело не в каких-то там свойствах векторов, скалярные физические величины тоже могут складываться совсем не так, как числа в арифметике. Дело в специфике двух разных наук – физики и математики. Дело в том, что именно мы назовём в физике сложением конкретных физических величин. Дело в том, как именно устроен окружающий нас мир. Математика не может этого знать заранее. Но это – тема большого серьёзного разговора. А здесь ограничимся этими беглыми замечаниями.

И последнее. В школьном курсе кинематика часто выглядит лишь как предисловие к «настоящей» физике, которая начинается с динамики. Но это не так. Интереснейшие физические эффекты, имеющие весьма важные практические применения (например, эффект Доплера, эффект Вавилова–Черенкова) имеют, по сути, чисто кинематическую природу.