Задачи, тесты

Общий метод решения задач из разных разделов

Любой учитель, долгое время работающий в профильном классе, в конце концов приходит к двум выводам:

• невозможно разобрать на уроках все интересные задачи из методической копилки учителя, тем более что их всё больше и больше. Значит, нужно осваивать на примере ключевых задач общие методы и приёмы решения, обучая ребят не количеством, а качеством подобранных задач;

• ребёнок не может долго помнить приём решения, если его не повторять время от времени. И вот тут оказывается очень продуктивным подбирать задачи, имеющие тот же алгоритм, или приём решения, что и в предыдущей теме, даже если темы не связаны. Тогда ученика не пугает бесконечное количество задач.

Необходимо отметить, что если предлагаемый метод не будет закреплён в следующих темах, то, как бы хорошо он ни был усвоен, большинство учащихся его забывает. Неоднократное возвращение к знакомому методу происходит иногда очень неожиданно. Приводим пример решения известной задачи в теме «Механика» и использование этого алгоритма в других, казалось бы, не связанных темах.

 

Тема «Механика»

• Из резинового жгута длиной L и массой m изготовлено кольцо. Это кольцо вращается с угловой скоростью ω в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Определите силу натяжения, возникающую в кольце.

Метод решения этой задачи специфичен потому, что каждый элемент жгута при вращении имеет своё направление центростремительного ускорения, а значит, сила, действующая на каждый элемент, меняет своё направление от элемента к элементу. К тому же ученики помнят, что закон Гука применяется при упругих растяжениях прямолинейного стержня. Поэтому метод заключается в разбиении кольца на бесконечное количество малых элементов, которые практически прямолинейны в силу малости их размеров, и применении второго закона Ньютона отдельно для каждого элемента:

• Кольцо массой m изготовлено из проволоки, которая обрывается при силе натяжения Т₀. Кольцо помещают на идеально гладкий конус. При каком минимальном плоском угле конуса φ кольцо не разорвётся?

При решении этой задачи необходимо рассмотреть условие покоя малого элемента на гладкой наклонной плоскости, но алгоритм решения аналогичен.

Рассмотрим условие покоя малого элемента кольца:

N_i + m_ig + T_{упр.рез} = 0.

Силу результирующего натяжения T_{упр.рез} находим, как в предыдущей задаче:

• Жёсткость резинового жгута длиной L и массой m равна k. Кольцо, изготовленное из жгута, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через центр кольца. Оцените, при какой угловой скорости вращения кольца ω радиус его будет равен R.

Решение аналогично предыдущей, однако требуется вспомнить закон Гука

 

Тема «Электростатика»

• Тонкое проволочное кольцо радиусом R несёт электрический заряд q. В центре кольца расположен одноимённый с q заряд Q, причём Q ≫ q. Определите силу Т, растягивающую кольцо.

Решение. Условие равновесия элемента кольца:

 

Тема «Электромагнетизм»

• Тонкое металлическое кольцо радиусом R помещается в однородное магнитное поле индукцией В так, что плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитного поля. Определите силу упругости Т, возникающую внутри кольца при пропускании по нему тока силой I.

 

Тема «Механические колебания»

• Тонкое кольцо радиуса R совершает осесимметричные колебания. Определите период колебаний Т кольца. Кольцо изготовлено из материала плотностью ρ, имеющего модуль упругости Е.

R – R₀ = х – смещение элемента кольца вдоль радиуса при колебании относительно положения равновесия, причём a_x < 0 при х = 0, то:

 

Тема «Движение в вязкой среде»

• Тело массой m, имеющее начальную скорость υ₀, попадает в вязкую среду, сила сопротивления движению тела которой пропорциональна его скорости: F = αυ, где α – известный коэффициент. Определите путь, пройденный телом до остановки.

Для решения этой задачи на движение тела под действием переменной силы требуется освоение особой методики: пользоваться законами равноускоренного движения для определения пройденного пути нельзя. Алгоритм решения вновь сводится к тому, чтобы разбить всё время движения на бесконечно малые интервалы времени и рассмотреть движение отдельно на каждом таком интервале.

Для кинематических величин используем определение мгновенной скорости и мгновенного ускорения:

F_мгн = mа_мгн; –αυ_мгн = mа_мгн.

Но поскольку

Просуммировав эти уравнения по всем интервалам времени, получаем: αs = mυ₀. И окончательно:

 

Тема «Электромагнитная индукция»

• По горизонтальным параллельным рельсам, расстояние между которыми равно d, может скользить без трения перемычка массой m. Рельсы соединены резистором сопротивлением R и помещены в вертикальное однородное магнитное поле индукцией В. Перемычке сообщают скорость υ₀. Найдите путь s, пройденный перемычкой до остановки.

Cитуация аналогична рассмотренным. Зная, что изменение магнитного потока через замкнутый контур приведёт к возникновению индукционного тока, а значит, к возникновению силы Ампера, действующей на перемычку, запишем: но _инд = В · υ · d, поэтому окончательно получаем т.е. опять движение тела под действием силы, зависящей от скорости, – переменной силы, как и в предыдущей задаче. Учитываем, что сила Ампера направлена, в соответствии с правилом Ленца, против направления движения перемычки, и применяем приём для расчёта тормозного пути из предыдущей задачи:

 

Тема «Движение заряженной частицы в магнитном поле»

• Вязкая жидкость помещена в однородное магнитное поле индукцией В. Частица массой m и зарядом q влетает в жидкость со скоростью υ₀ перпендикулярно вектору В. Вязкая среда действует на частицу с силой сопротивления, пропорциональной скорости частицы υ: F_сопр = –kυ. Определите модуль перемещения частицы от момента попадания в среду до полной остановки.

В этой задаче на частицу действуют даже две переменные силы, пропорциональные скорости: сила сопротивления F_сопр и сила Лоренца F_Лор, причём эти силы взаимно перпендикулярны. Метод решения задачи тот же.

F_сопр = –kυ ⇒ F_сопр⇅ υ;

F_Лор = qυ × B ⇒ F_Лор ⊥ υ ⇒ F_Лор ⊥F_сопр.

Рассмотрим элемент движения частицы (векторное сложение):

(F_сопр + F_Лор)Δt_i = Δp_i ⇒ –kυΔt_i + qυΔt_i × B = Δp_i.

Подобный треугольник векторов образуют соответствующие векторы в течение всего времени движения частицы, поэтому, суммируя эти равенства, получим для перемещения s в точку остановки:

–ks + qs × B = – mυ₀.

По теореме Пифагора, для векторного треугольника k²s² + q²s²B² = m²υ₀². Отсюда находим модуль перемещения:

Таких «перекрёстных» задач, решать которые можно одним и тем же методом, можно найти немало, и это помогает учителю. В статье использовались тексты задач, предложенных на конкурсных испытаниях при поступлении в МГТУ им. Н.Э.Баумана и МФТИ.