Задачи, тесты

Логическая цепь развития творческой мысли

Десятиклассникам особенно трудно даются задачи по электростатике. Рассмотрим решение продуктивных задач по этой теме на законы сохранения. Они крайне редко встречаются в школьном курсе физики, однако предлагаются на вступительных экзаменах во многих вузах. Эти задачи позволяют наиболее глубоко осмыслить законы сохранения, понять их и научиться применять в различных разделах курса физики. В случае конкретных предложенных ниже задач законы сохранения комбинированные, т.е. кинетическая энергия, как правило, задаётся выражением, знакомым по курсу механики, а потенциальная энергия взаимодействия – электрическая. Задачи нестандартные, практически проверить их содержание невозможно. Остаётся только абстрактно представить, логически поразмыслить и теоретически вычислить неизвестные параметры, что способствует глубокому и прочному усвоению теории фундаментальных законов сохранения.

Проследим за ходом развития творческой мысли в процессе решения этих задач. Для решения задачи 4 необходимо разобрать первые три: при решении задач 1 и 2 мы пользуемся законами сохранения полной энергии и импульса системы. При решении задачи 2 учащиеся обычно допускают ошибку, думая, что неподвижный электрон так и остаётся неподвижным. Вот на этот факт следует обратить особое внимание. В задаче 3 можно обобщить законы сохранения для любых заряженных частиц, с разными зарядами, массами и скоростями. Для анализа её содержания, а тем более для решения, разобрать решение задачи 2 просто необходимо. Если в этой задаче один из электронов был вначале неподвижен, то в задаче 3 частицы движутся навстречу друг другу с разными скоростями, к тому же их массы и заряды разные. Вот этот момент для учащихся сложен. Уравнения они написать могут, но важно отчётливо осознать, что запись текстового условия в форме математических соотношений должна исчерпывать информацию, содержащуюся в условии. Это является ключевым моментом решения. В задаче 3 в какой-то момент одна из частиц останавливается и начинает двигаться в обратную сторону, далее ситуация такая же, как в задаче 2. Вот мы с учащимися и поднялись ещё на одну ступеньку.

Задача 4 напоминает задачу 1, но появляется угол, под которым движутся электроны. Если при решении задачи 1 мы пришли к выводу, что электроны в момент наибольшего сближения остановятся, то в задаче 4 этого не происходит, траектория движения электронов совсем другая. Оказывается, в момент наибольшего сближения векторы скоростей электронов становятся равными и параллельными. Данный момент тоже вызывает трудности.

В задаче 5 совсем иная ситуация: движение заряженного шарика в потенциальном поле заряженного кольца с использованием закона сохранения полной энергии. Решение задачи 6 после разбора решения задачи 5 особых затруднений не вызывает. Возникает интерес рассмотреть движение электрона в потенциальном поле заряженного шара. В задаче 7 ситуация обратная, уже с изменением внутренней энергии металлического шара.

Если учащиеся усвоили всё это на уроке, то смогут сориентироваться и дома. Можно предложить самим сочинить и решить задачи такого же направления.

Задача 1. Два электрона из бесконечности вылетают навстречу друг другу с начальной скоростью υ₀. На какое минимальное расстояние они могут сблизиться? Масса электрона m, заряд е. Влиянием силы тяжести пренебречь.

Решение. [Электроны под действием сил электростатического отталкивания будут двигаться по прямой, теряя скорость. Суммарный импульс системы двух электронов сохраняется, т.к., по условию, внешние силы на эту систему не действуют. В начальный момент времени, в состоянии 1, p = mυ₀ + (– mυ₀) = 0, поэтому импульс системы электронов равен нулю в любой момент времени, в том числе и в состоянии 2 – в момент наибольшего сближения. Это означает, что в состоянии 2 скорости обоих электронов равны нулю. – Ред.]

Используем теперь закон сохранения энергии. В состоянии 1 система обладает только кинетической энергией, т.к. потенциальная энергия взаимодействия электронов равна нулю:

В состоянии 2 система обладает только потенциальной энергией взаимодействия зарядов, т.к. в этом состоянии скорость электронов равна нулю: где d – наименьшее расстояние между электронами.

Из закона сохранения энергии W₁ = W₂ имеем:

Задача 2. Два электрона находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга. Первый покоится, второй начинает движение вдоль соединяющей их прямой навстречу первому с начальной скоростью υ₀. На какое минимальное расстояние они могут приблизиться друг к другу? Масса электрона m, заряд е. Влиянием силы тяжести пренебречь.

Решение. Это решение тоже основано на использовании законов сохранения импульса и энергии. [Под действием сил электростатического отталкивания первый электрон выйдет из состояния покоя и начнёт двигаться по той же прямой, что и второй электрон, постепенно набирая скорость. Второй электрон будет двигаться вслед за первым, постепенно теряя скорость. Расстояние между электронами будет уменьшаться до тех пор, пока скорости электронов не сравняются. обозначим скорости электронов в момент наибольшего сближения через u. – Ред.]

Рассмотрим состояния системы 1 и 2.

В общем случае импульс системы двух частиц, имеющих разные массы и движущихся первоначально с разными скоростями:

– в состоянии 1: p₁ = m₁υ₁ + m₂υ₂;

– в состоянии 2: p₂ = (m₁+ m₂)u.

По закону сохранения импульса:

p₁ = p₂ ⇒ m₁υ₁ + m₂υ₂ = (m₁+ m₂)u.

В нашем случае υ₁ = 0, m₁= m₂ = m, υ₂ = υ₀.

Пусть ось X направлена вдоль траектории движения электронов. Напишем закон сохранения импульса в проекциях на ось X: mυ₀ = mu + mu = 2mu.

В состоянии 1 полная энергия системы электронов равна кинетической энергии второго электрона, т.к. первый покоится, а потенциальная энергия взаимодействия электронов равна нулю:

В состоянии 2 полная энергия системы электронов равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Из закона сохранения энергии W₁ = W₂ имеем:

Составим систему уравнений:

Из первого уравнения находим u = υ₀/2 и подставляем во второе уравнение:

Задача 3. Из бесконечности навстречу друг другу с начальными скоростями υ₁ и υ₂ летят две заряженные частицы массами m₁ и m₂ с одноимёнными зарядами Q₁ и Q₂ соответственно. Определите минимальное расстояние, на которое сблизятся частицы. Влиянием силы тяжести пренебречь.

Решение. [Под действием сил электростатического отталкивания частицы будут двигаться по прямой навстречу друг другу, теряя скорость. В некоторый момент времени та частица, у которой модуль первоначального импульса меньше, остановится и начнёт двигаться в обратную сторону, «убегая» от другой частицы и набирая при этом скорость. Расстояние между частицами будет продолжать уменьшаться до момента, пока скорости частиц не сравняются. – Ред.]

Опять рассмотрим два состояния системы: 1 – когда частицы удалены на бесконечно большое расстояние; 2 – в момент наибольшего сближения, когда они имеют одинаковые по модулю и направлению скорости u.

Импульс системы:

– в состоянии 1: p₁ = m₁υ₁ + m₂υ₂;

– в состоянии 2: p₂ = (m₁+ m₂)u.

По закону сохранения импульса:

p₁ = p₂ ⇒ m₁υ₁ + m₂υ₂ = (m₁+ m₂)u.

В состоянии 1 полная энергия системы частиц равна кинетической энергии их движения, т.к. потенциальная энергия взаимодействия зарядов равна нулю:

В состоянии 2 полная энергия системы частиц равна сумме кинетической энергии движения и потенциальной энергии взаимодействия зарядов где d – наименьшее сближение.

Из закона сохранения энергии W₁ = W₂ имеем:

Пусть ось X направлена вдоль траектории движения частиц. Напишем закон сохранения импульса в проекциях на ось X: m₁υ₁ - m₂υ₂ = (m₁+ m₂)u.

Теперь получили систему уравнений:

Выразим из первого уравнения и подставим во второе:

Теперь выразим наименьшее расстояние между частицами в процессе их движения:

Задача 4. Из бесконечности под углом α к линии, соединяющей электроны, с начальной скоростью υ₀ летят два электрона. Определите минимальное расстояние, на которое могут сблизиться электроны. Масса электронa m, заряд e. Влиянием силы тяжести пренебречь.

Решение. [Под действием сил электростатического отталкивания, действующих по прямой, соединяющей электроны, будут уменьшаться по модулю проекции скоростей электронов на эту прямую. В какой-то момент времени, когда электроны окажутся на минимальном расстоянии друг от друга, векторы их скоростей будут одинаковы и параллельны. Используем законы сохранения импульса и энергии. – Ред.] Рассмотрим два состояния системы: 1 – частицы удалены на бесконечно большое расстояние; 2 – частицы максимально сблизились, векторы их скоростей параллельны и равны u.

Выполним рисунок, направив ось Y по скорости u:

Импульс системы:

– в состоянии 1: p₁ = m₁υ₀₁ + m₂υ₀₂;

– в состоянии 2: p₂ = mu + mu.

В проекциях на ось Y:

p₁ = mυ₀sinα + mυ₀sinα = 2 mυ₀sinα;

p₂ = mu + mu = 2mu.

По закону сохранения импульса:

p₁ = p₂ ⇒ 2mυ₀sinα = 2mu ⇒ υ₀sinα = u.

Напишем закон сохранения энергии: W₁ = W₂.

В состоянии 1 полная механическая энергия системы равна кинетической энергии движения электронов, т.к. потенциальная энергия их взаимодействия равна нулю: W_k1 = mυ₀²/2 + mυ₀²/2 = mυ₀².

В состоянии 2 полная энергия складывается из кинетической энергии движения зарядов и потенциальной энергии взаимодействия зарядов где d – наибольшее сближение. Отсюда

Путём несложных преобразований получаем:

Задача 5. На тонком кольце радиуса R равномерно распределён заряд Q. Какова должна быть наименьшая скорость υ, которую необходимо сообщить находящемуся в центре кольца маленькому шарику массой m с зарядом q, чтобы он мог удалиться от кольца в бесконечность?

Решение. Если бы шарик и кольцо имели одноимённые заряды, то при сообщении шарику бесконечно малой скорости (чтобы вывести его из положения неустойчивого равновесия) он бы удалился на бесконечность. Поэтому будем предполагать, что кольцо имеет заряд положительный (+Q), а шарик – отрицательный (–q).

Гравитационное поле в данной задаче не учитываем, а рассматриваем движение шарика в потенциальном поле кольца. Для перемещения шарика из точки O (потенциальная энергия W_p1, кинетическая W_k1) в бесконечность (W_p2 = 0, W_k2 = 0) воспользуемся законом сохранения полной энергии: W_p1 + W_k1 = W_p2 + W_k2.

Потенциальная энергия шарика в начальном положении W_p1 = –qφ₀, где φ₀ – потенциал поля в точке O, кинетическая W_k1 = mυ₀²/2. Из закона сохранения энергии получим:

Найдём потенциал поля в точке О, для чего воспользуемся принципом суперпозиции. Разобьём кольцо на столь малые отрезки ∆l, чтобы заряд q_i, находящийся на i-м отрезке, можно было считать точечным. Этот заряд создаёт в точке О потенциал а полный заряд Q создаст потенциал, равный алгебраической сумме потенциалов, созданных каждым зарядом q_i:

Полученное значение потенциала подставим в выражение для закона сохранения энергии и после несложных преобразований получим:

Задача 6. Потенциал заряженного шара φ₀ = 300 B. При какой наименьшей скорости υ₀ у поверхности шара электрон улетит от шара на бесконечное расстояние? Заряд электрона e = –1,6 ∙ 10^–19 Кл, масса m = 9,1 ∙ 10^–31 кг.

Воспользуемся законом сохранения энергии, учитывая изменение потенциальной энергии системы шар–электрон в поле кулоновских сил и пренебрегая изменением потенциальной энергии электрона в поле силы тяжести. Электрон отлетает от поверхности шара с начальной скоростью υ₀. Потенциал поверхности шара равен φ₀, потенциал точки в бесконечности, где электрон останавливается, φ = 0. Запишем закон сохранения энергии:

∆W_k + ∆W_p = 0 ⇒W_k2 – W_k1 + W_p2 – W_p1 = 0,

где W_k2 и W_k1 – соответственно конечная и начальная кинетические энергии электрона, W_p2 и W_p1 – его конечная и начальная потенциальные энергии, причём W_p1 = eφ₀= –|e|φ₀. После подстановки соответствующих выражений в последнее уравнение получим:

или, подставив числовые значения: υ₀ = 1,07 · 10⁷ м/с.

Задача 7. Электроны, обладающие на бесконечности скоростью υ, падают на металлический шар радиуса R. На сколько градусов повысится температура шара через достаточно большое время, если теплоёмкость шара с?

Решение. Из закона сохранения энергии следует, что электроны будут достигать поверхности шара до тех пор, пока будет выполняться условие где φ = kq/R – потенциал шара, q – его заряд, e – заряд электрона. Количество электронов, достигших шара к моменту насыщения, когда равно N = q/e.

Запишем закон сохранения энергии: W₁ = W₂ + Q, где – энергия электронов, достигших шара, – энергия электрического поля шара, Q = сΔT – количество теплоты, полученное шаром, ΔT – повышение его температуры. Перепишем это выражение в виде:

Итак, мы получили систему уравнений:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 8. Положительный заряд q находится в центре кольца радиуса R, имеющего заряд +Q (неустойчивое положение равновесия). Масса заряда m, масса кольца M = 10m. Заряд незначительно смещается вдоль оси, перпендикулярной плоскости кольца, и система приходит в движение. Определите скорость точечного заряда на большом удалении от кольца.

Задача 9. Какую минимальную массу m должен иметь заряженный шарик, падающий с высоты h с нулевой начальной скоростью, чтобы пролететь посередине между двумя заряженными неподвижными шариками, расстояние между которыми равно L? Заряды всех шариков одинаковы и равны Q, электрическая постоянная равна ε₀.

Задача 10. Маленький шарик массой m, имеющий заряд Q₁, скользит без трения с высоты h по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α. В вершине прямого угла, образованного высотой и горизонтом, находится неподвижный точечный заряд Q₂. Определите скорость υ шарика у основания наклонной плоскости.

Задача 11. От поверхности металлического шара массой M и радиуса R, имеющего заряд Q, отрывается одноимённо заряженный точечный заряд q массой m. Определите скорость точечного заряда на большом удалении от шара.

Задача 12. Однородное электрическое поле создаётся бесконечно большой пластиной, заряженной c поверхностной плотностью заряда σ = 1 ∙ 10^–6 кл/м². Частица массой m = 1 ∙ 10^–19 кг и зарядом +Q = 1 ∙ 10^–12 Кл, находившаяся на расстоянии d₁= 10 мм от пластины, получила скорость υ = 1 ∙ 10⁵ м/с. На какое минимальное расстояние d₂ частица может приблизиться к плоскости? Электрическая постоянная ε₀= 8,85 ∙ 10^–12 Ф/м.

Как известно, самые надёжные и глубокие знания – знания, добытые собственным трудом. Переход к обязательному ЕГЭ по физике просто обязывает каждого ученика профильного класса научиться решать задачи любой сложности, особенно раздела С, где необходимо расписать решение задач по всем правилам.

Десятилетняя практика работы в гимназических профильных классах показывает, что правильный подбор, накопление и решение продуктивных задач по всем разделам физики в значительной мере способствуют глубокому пониманию и применению фундаментальных законов физики, помогают снять психологический барьер, самостоятельно решить нестандартную сложную задачу, т.к. учащиеся смогут найти в ней знакомые, ранее разобранные ситуации, что в значительной мере ускоряет творческий процесс познания и активной деятельности.

Школьникам такие задачи нравятся. Они начинают искать элемент новизны в каждой последующей, сами составляют подобные и более сложные задачи, активно развивая творческие способности. Набор подобных задач нарастающей сложности позволяет активно работать и слабым, и сильным ученикам: каждый работает в зоне ближайшего или актуального развития, т.е. с опережением класса.

Таких учебных занятий у нас пока не так много: как правило, одно-двухчасовое по теме. Но и это позволяет вести электронную картотеку, что очень удобно, – учащиеся сами могут проверить правильность решения, найти и исправить ошибки, а после занятий индивидуально за компьютером проследить логику мышления и построения решения. Задачи для самостоятельного решения могут включаться в зачёт.

 

Литература

1. Дмитриев С.Н. Сборник задач для поступающих в вузы. – М.: МГТУ им Н.Э.Баумана, 2007.
2. Гринченко Б.И. Как решать задачи по физике. М.: НПО «Мир и семья», 1998.
3. Каменецкий С.Е. Методика решения задач по физике в средней школе. – М.: просвещение, 1974.
4. Комиссаров В.Н. Физика-10: Методические рекомендации по решению задач. – М.: Образование, 2006.
5. Лебедева И.Ю. Единый государственный экзамен. – М.: Просвещение, 2008.
6. Орлов В.А., Никифоров Г.Г. Тематические и итоговые контрольные работы для подготовки к ЕГЭ. – М.: Просвещение, 2006.
7. Славов А.В., Спивак В.С., Цуканов В.В. Сборник задач по физике. – М.: Инженер, 2008.
8. Хабибуллин К.Я. Обучение методам решения нестандартных задач. – Школьные технологии, 2004, № 3.

Александр Иванович Вергасов – учитель физики высшей квалификационной категории, окончил МГПИ в 1973 г., педагогический стаж работы 35 лет (из них 25 лет в МОУ гимназия № 2, г. Раменское), ветеран труда, почётный работник общего образования. Победитель всероссийского конкурса в рамках ПНПО «Лучшие учителя России-2007». Педагогическое кредо: «Обеспечить оптимальные условия развития каждого ученика, не прозевать таланты». Учащиеся физматклассов регулярно побеждают на районных и областных олимпиадах по физике и абсолютно все поступают в технические вузы страны.