Задачи, тесты

Энергетический метод решения задач статики

В динамике применение энергетических соображений часто упрощает решение задач. Гораздо менее известно, что это имеет место и в статике. В задачах на определение параметров равновесия физической системы используем тот факт, что в состоянии равновесия система обладает наименьшей потенциальной энергией. Упрощение расчётов достигается за счёт того, что оперировать со скалярной энергией легче, чем с векторными силами. Нахождение минимума энергии всегда возможно с помощью производной, однако в ряде случаев рациональнее применить соображения элементарной математики. Переходим к рассмотрению конкретных задач.

Задача 1. Из однородной тонкой проволоки длиной 12 см согнули прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Он подвешен за прямой угол на вбитый в стену гвоздь. Трением в точке подвеса можно пренебречь. Какой угол с вертикалью α образует меньший катет?

Решение. Пусть масса 1 cм проволоки равна m. Нам удобно, направив ось ординат вверх, вниз отсчитывать «глубину» как высоту со знаком «минус». Начало координат совпадает с вершиной прямого угла C. Находим потенциальную энергию треугольника как сумму потенциальных энергий всех его сторон, считая очевидным, что центр масс стороны лежит в её середине. Учитываем тривиальный геометрический факт: медиана СD = 1/2 AB = 5/2 см. Тогда потенциальная энергия ∆ABC равна:

Окончательно вычисляем энергию W:

Преобразуем выражение 3 sinα + 2 cosα по известной школьной тригонометрической формуле

Минимальное значение энергии достигается при откуда сразу вытекает, что и

Числовое значение искомой величины α ≈ 56,3°.

 

Задача 2. Из проволоки изготовлена рама в форме прямоугольного треугольника с острым углом 30° и помещена в вертикальной плоскости так, как показано на рисунке. По проволоке без трения скользят связанные нитью два груза массами m₁ = 0,1 кг и m₂ = 0,3 кг. Чему равен угол α в положении равновесия?

Решение. Пусть длина нити l, тогда CD = l cosα и CF = l sinα. Пусть AC = b, тогда BC = Обозначим высоту груза m₁ через DE = h₁, а высоту груза m₂ через FG = h₂.

Потенциальная энергия системы грузов W = m₁gh₁+  + m₂gh₂ = m₁g(h₁ + 3h₂), что легко преобразуется, учитывая выражения для h₁ и h₂, к такому виду:

В силу упомянутого в задаче 2 тригонометрического преобразования:

Очевидно, что минимальное значение энергии что достигается при

Числовое значение искомой величины α ≈ 79,1°.

 

Задача 3. По кольцу могут свободно перемещаться три шарика, один из которых несёт заряд +q₁, а два других – по +q₂ каждый. Чему равно отношение зарядов q₁/q₂, если при равновесии дуга между зарядами q₂ составляет 60°?

Решение. Пусть радиус кольца R, его центр находится в точке O. Нам удобнее задаться вопросом: при каком угле α (∠AOC = α) будет равновесие зарядов? Легко видеть, что

Тогда стороны треугольнка ABC выразятся так: и (равнобедренность ∆ABC следует из равенства зарядов в вершинах A и C).

Потенциальная электростатическая энергия системы трёх зарядов равна сумме энергий их парных взаимодействий: что легко преобразуется к

В формуле (1) величина – коэффициент из закона Кулона. Физически ясно, что 0 < α < 180°.

Из формулы (1) следует, что W → ∞ при α → 0 и

При исследовании функции W(α) не обойтись без дифференцирования её по переменной α:

А теперь вспомним, что α = 60°! Это и даст числовой результат:

Так как q₁≫q₂, то физически ясно, что при α → 180° равновесия быть не может. Это подтверждает и сравнение величин:

Несмотря на калькуляторный расчёт, вторая величина, несомненно, больше первой. Следовательно, уравнение W′ = 0 дало нам минимум энергии, а значит, и положение равновесия.

 

Задача 4. Четыре маленьких шарика соединены тонкими непроводящими нитями так, что в натянутом состоянии они образуют ромб. Чему равен острый угол между нитями, если шарики, находящиеся в противоположных вершинах ромба, имеют заряды, Q, Q и q, q, причём q < Q?

Решение. Пусть сторона ромба равна l, искомый острый угол равен α. Тогда меньшая диагональ ромба равна , а бóльшая –. Потенциальная энергия электростатического взаимодействия системы четырёх зарядов равна сумме энергий их парных взаимодействий:

Очевидно, что 0 < α < 90°, а также, что W → ∞ при α → 0 и при α → 90°. 

Дифференцируем функцию (2) по переменной α:

Физически (и логически!) ясно, что при α → 90° равновесия быть не может. Следовательно, уравнение W′= 0 дало искомый угол.

Задача 5. Небольшой шарик массой m и зарядом q висит на нерастяжимой изолирующей нити длиной l. В месте его исходного расположения закрепляют такой же шарик. На какой угол α отклонится нить?

Решение. Полная потенциальная энергия (механическая и электростатическая) данной системы

где обозначения величин ясны из рисунка. Геометрически очевидно, что h = l – lcosα и

С учётом последнего формула (3) преобразуется:

В формуле (4) 0 < α ≤ 180°.

Дифференцируем функцию W по α:

Применив формулу решаем уравнение W′= 0: