Задачи, тесты

Что такое энергия связи нуклона в ядре?

В одном из пособий по подготовке к ЕГЭ есть задание, где учащимся предлагается по известным значениям удельной энергии связи ядер определить, из какого ядра труднее выбить нейтрон. Разберёмся в этой непростой ситуации детально.

Определения энергии связи ядра Е и удельной энергии связи Е_уд будем считать известными. Напомним только, что энергия связи ядра – величина положительная и лишь знаком отличается от внутренней энергии ядра. А к определению энергии связи нуклона в ядре Е_p или Е_n (для протона и нейтрона соответственно) отнесёмся очень серьёзно. Итак, энергия связи нуклона в ядре – это минимальная энергия, которую необходимо затратить, чтобы отделить этот нуклон от ядра. Мы увидим, что эта величина может очень существенно отличаться от удельной энергии связи ядра Е_уд.

Можно сказать, что нуклоны лежат на дне потенциальной ямы, и внешнее воздействие должно их оттуда «вытащить». И никуда нам не деться от образа самой простой ямы, где лежат какие-то камешки, которые мы вытаскиваем рукой. Очень полезная аналогия. Но любая аналогия имеет свои пределы и за этими пределами может привести к совершенно неправильным выводам. Для наших рассуждений очень важно, что при вытаскивании камешков рукой из ямки сама ямка-то не изменяется, и для вытаскивания следующего камешка надо совершить ту же самую работу.

Поэтому для камешка в ямке энергия связи равна по величине потенциальной энергии mgh (и, конечно, равна Е_уд, если кому-то придёт в голову вводить такую терминологию для этой системы).

Но с нуклонами в ядре всё не так. И здесь намного более полезной окажется аналогия с другой механической системой – шариками, лежащими на резиновой плёнке и прогибающими её. Важно, что в этом случае потенциальная яма создаётся самими шариками.

Потенциальная энергия шарика, лежащего в углублении, равна по величине mgh. Но «энергия связи» шарика не равна mgh! Энергией связи (повторим), конечно, надо называть минимальную энергию, которую необходимо затратить, чтобы перевести систему из состояния 1 в состояние 2. Видно, что в нашем примере эта величина заметно меньше mgh (можно для наглядности пояснить, что при вынимании шарика из лунки часть работы будет совершена силами упругости плёнки).

Теперь вернёмся к нуклонам в ядре. Всё дело в том, что в этом случае потенциальная яма обусловлена самими взаимодействующими нуклонами. Поэтому при удалении нуклона из ядра оставшиеся нуклоны образуют уже совсем другое ядро, у них уже совсем другая удельная энергия связи. Энергия связи нуклона и есть (по определению!) разность энергии связи исходного ядра и энергии связи образовавшегося ядра (ведь энергия свободного нуклона равна нулю).

Теперь понятно и то, что энергии связи протона Е_p и нейтрона Е_n в ядре – в принципе различные величины. Ведь при их удалении из исходного ядра образуются разные ядра.

Никаких знаний, выходящих за пределы школьного курса, нам, чтобы детально разобраться в этих вопросах, не понадобится. Мы только запишем закон сохранения энергии для этих процессов и обратимся к данным об энергии связи ядер.

Пусть Е(А, Z) – энергия связи ядра . Ясно, что при отщеплении от ядра протона образуется ядро , а при отщеплении нейтрона – ядро .

Теперь мы можем записать, что в ядре энергия связи протона равна Е_p = Е(А, Z) – E(A–1, Z–1), а энергия связи нейтрона Е_n = Е(А, Z) – E(A–1, Z).

Вспомним, что «примеры важнее правил», и дальнейшие рассуждения проведём на конкретных примерах. Приведём данные для самых лёгких ядер.

Ядро
Еуд, МэВ/нукл	1,11	2,57	7,07	5,33	5,61
Е, МэВ	2,22	7,71	28,28	31,98	39,27

Ситуация с дейтроном ясна без всяких расчётов: удаление протона (или нейтрона) – это и есть расщепление ядра на составлявшие его нуклоны, значит, надо затратить 2,22 МэВ, т.е. в два раза больше, чем Е_уд. Этот пример особенно важен из-за его простоты.

При отщеплении нейтрона от ядра мы получим ядро , т.е. энергия связи ядра уменьшится на

Е_n = 39,27 – 31,98 = 7,29 МэВ.

Это и есть та энергия, которую надо затратить, чтобы оторвать нейтрон от ядра , т.е. энергия связи нейтрона в этом ядре.

Для отщепления нейтрона от ядра получим Е_n = 28,28 – 7,71 = 20,57 МэВ. Заметьте, что эта энергия превышает Е_уд почти в три раза! Покопавшись в литературе, можно установить, что это наибольшая энергия связи нуклона в ядре.

Энергия связи нуклона в ядре может быть и заметно меньше, чем Е_уд. Минимальная энергия связи нейтрона у ядра , она равна 1,67 МэВ.

Итак, резюмируем. Энергия связи нуклона в ядре не определяется удельной энергией связи этого ядра и может отличаться от этой величины в несколько раз в любую сторону.

Покинув школьный курс, спросим: от чего же зависит энергия связи нуклона? Увы, наш ответ будет весьма уклончивым: от деталей взаимодействия нуклонов разных типов друг с другом. В частности, оказывается, что нуклоны одного типа могут «спариваться». Поэтому энергия связи какого-то нуклона в ядре в значительной степени зависит от чётности числа его «сородичей» (протонов или нейтронов) в ядре. Обратите внимание на то, что в предыдущих примерах максимального значения Е_n достигала для чётного нейтрона и минимального – для нечётного.

Этот эффект проявляется и в величине удельной энергии связи. В любом учебнике приведена кривая зависимости удельной энергии связи нуклона от массового числа. Если бы мы посмотрели на эту кривую «под микроскопом», то увидели бы, как «выпрыгивают» над плавной кривой точки, соответствующие чётно-чётным ядрам (т.е. ядрам, которые содержат чётные числа и протонов, и нейтронов).

Теперь задумаемся над другим вопросом: какую энергию надо затратить, чтобы отделить от ядра α-частицу? Иначе говоря, какова «энергия связи α-частицы в исходном ядре» Е_α? Наши рассуждения будут очень похожи на приведённые выше. В исходном состоянии мы имеем ядро , в конечном состоянии – α-частицу и ядро . Запишем закон сохранения энергии:

Е(А, Z) = E(A–4, Z–2) + E(4, 2) + Е_α.

Здесь Е_α – энергия, которую необходимо затратить, чтобы перевести систему из исходного состояния в конечное, т.е. интересующая нас величина.

Итак, энергия связи α-частицы в ядре Е_α = Е(А, Z) - E(A–4, Z–2) - E(4, 2) Сосчитаем эту величину для исходного ядра (все данные есть в таблице). Мы получим, что Е_α> 0, как и должно быть для связанного состояния. Этот результат показывает нам, что для ядра α-распад невозможен. К аналогичному результату мы придём для всех ядер с А < 140. Наоборот, при А > 140 α-распад энергетически возможен (но у некоторых тяжёлых ядер он не наблюдается, потому что превалируют другие типы распада).