Задачи, тесты

Ответ, казалось бы, верный. Но...

Пример 1. Изменится ли уровень океана, когда растает айсберг?

Решение. Условие плавания льда: mg = ρ_мв gV_п, где ρ_мв – плотность морской воды, V_п – объём погружённой части льдины.

Масса льда и масса полученной из него пресной воды равна mg = ρ_пвgV_в, где ρ_пв – плотность пресной воды, V_в – объём воды, полученной из льда.

Отсюда следует: ρ_мв gV_п =ρ_пв gV_в ⇒ V_в = V_пρ_мв/ρ_пв, т.е. объём полученной воды больше объёма погружённой части льдины. Вся пресная вода окажется сверху морской, при этом уровень воды в сосуде повысится.

Ответ, казалось бы, готов. Но не тут-то было! В географическом ежегоднике «Земля и люди» (М.: Мысль, 1974) находим: «Советской антарктической экспедицией в 1964–1965 гг. были обнаружены в Антарктике айсберги-гиганты, образовавшиеся в результате грандиозных обломов шельфовых ледников Эймери и Западного. Так, длина отколовшейся части ледника Эймери была 175 км, а ширина – до 75 км, площадь же его достигала 12 тыс. кв. км».

Толщина шельфового ледника относительно невелика. Например, толщина ледника Росса колеблется от 183 м у ледяного барьера переднего его края до 1300 м в обращённой к суше части. Опираясь на эти данные, смоделируем плоский гигантский айсберг площадью 12 000 км² и толщиной 1000 м. Объём такой льдины 12 000 км³. Каждый кубометр ледяной глыбы даст 25 л воды на повышение уровня океана. Объём океана увеличится на ∆V = 3 · 10¹¹ м³ пресной воды. При площади поверхности Мирового океана 361 · 10⁶ км² повышение его уровня от таяния гигантского, намеренно нами увеличенного в объёме ледника составило бы 0,8 мм.

Измерить такое «повышение» уровня Мирового океана, учитывая и другие явления, невозможно. На этом основании можно сказать: «Уровень воды в океане от таяния айсберга не повысится», а можно, учитывая сам факт увеличения объёма пресной воды по сравнению с объёмом погружённой части айсберга: «Уровень воды в океане от таяния айсберга повысится».

Пример 2. Для объяснения того факта, что радиоприёмник «не работает» в горных пещерах, были приведены два утверждения: А) электромагнитные волны отражаются от горных склонов; Б) электромагнитные волны поглощаются горными породами. Какое из утверждений указывает основную причину?

Проводимость осадочных пород в поверхностном слое земной коры σ ≈ 10^-3 – 10^-2 Ом^-1м^-1. В этих средах радиоволна практически затухает на расстоянии порядка длины волны. Кроме того, для сред с большой проводимостью коэффициент поглощения увеличивается с увеличением частоты. В таком случае в пещере могут приниматься только длинно- и средневолновый диапазоны. Но в земной коре есть породы, обладающие малой проводимостью и, следовательно, малыми потерями (каменная соль, поташ, граниты, гнейсы, базальты). В пещерах, образовавшихся в таких породах, будут приниматься все диапазоны, причём на дальности до нескольких десятков километров.

Отражение радиоволн также зависит и от проводимости земной поверхности, и от длины волны, и от многих других факторов.

Дать точный ответ в общем случае невозможно.

Пример 3. Способность длинных радиоволн распространяться на расстояния, значительно превышающие зону прямой видимости, связана с: А) отражением электромагнитных волн; Б) преломлением электромагнитных волн; В) поляризацией электромагнитных волн; Г) дифракцией электромагнитных волн. Какой ответ правильный?

Радиоволны могут достигать пункта приёма: а) распространяясь по прямолинейным траекториям; б)  огибая выпуклую поверхность Земли; в) отражаясь от ионосферы и т.д. Способы распространения радиоволн зависят от длины волны, от освещённости земной атмосферы Солнцем и от ряда других факторов. Какова роль дифракции в распространении радиоволн? Известно, что дифракция заметно проявляется лишь тогда, когда размеры препятствия соизмеримы с длиной волны или меньше её. Размер выпуклости Земли можно охарактеризовать высотой шарового сегмента h, отсекаемого плоскостью, которая проходит через хорду, соединяющую точки расположения приёмника и передатчика. Практически только километровые и более длинные волны могут проникать глубоко в область тени. Они распространяются на расстояние 300–400 км. Распространение радиоволн до 3000 км происходит уже как за счёт дифракции, так и за счёт отражения. Длинные и сверхдлинные волны отражаются от нижней границы ионосферы, которая является «стенкой» сферического радиоволновода. Второй стенкой служит земная поверхность, но электропроводность разных её участков различна. На расстояния более 3000 км волны распространяются только за счёт отражения.

Зная это, можно ли выбрать только один из предложенных ответов?

Пример 4. 1 моль идеального газа переводят из состояния 1 в состояние 2. Определите изменение температуры газа при этом переходе.

Решение. Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева для обоих состояний: p₁V₁ = νRT₁; p₂V₂ = νRT₂.

Из этих уравнений следует, что

Однако, представив ряд изотерм, обнаруживаем, что температура сначала увеличивается до некоторого максимума, а только потом уменьшается до 361 К. Очевидно, наибольшее изменение температуры больше 241 К.

Найдём наибольшую температуру. Уравнение прямой 1–2 имеет вид: р = b – aV. Подставив числовые данные для состояний 1 и 2, найдём: a = 2 · 10⁵ Па/м³, b = 7 · 10⁴ Па. Воспользуемся уравнением Клапейрона–Менделеева и свяжем объём с температурой: νRT = bV – aV². Исследуем эту функцию на максимум методом производной, получим: p_к = 35 кПа, – и найдём, что

Наибольшее изменение температуры, таким образом, равно –376 К.

Ответы разные, причём каждый из них верен при соответствующей формулировке вопроса.

Пример 5. Где необходимо сделать отверстие в стенке бака высотой Н, чтобы дальность струи была максимальной?

Решение. Положение отверстия зададим относительно дна бака и обозначим буквой h. Дальность струи зависит от скорости её вытекания и от времени падения воды с высоты (h + d), где d – высота подставки:

L = υt; h + d = gt²/2.

По закону сохранения полной механической энергии:

Исследовав уравнение на максимум методом производной, получим наибольшую дальность при d = H–2h. При d < H наибольшую дальность имеет струя, вытекающая из отверстия, расположенного выше уровня дна бака на h = (H – d)/2, при d > H – вытекающая из отверстия, расположенного на уровне дна бака.

Таким образом, формулируя вопрос, необходимо учитывать также высоту подставки d.

Пример 6. Мальчик равномерно вращает камень, привязанный к верёвке длиной l = 0,5 м, в вертикальной плоскости с частотой n = 3,0 об/с. На какую высоту взлетит камень, если верёвка оборвётся в момент, когда скорость камня направлена вертикально вверх?

Решение. Выражение «мальчик равномерно вращает камень... с частотой…» означает, что угловая скорость постоянна, и линейная скорость камня при его вращении не изменяется по модулю. Приняв за нулевой уровень отсчёта высот уровень точки отрыва камня, находим:

При сделанном предположении получилось простое решение. Но...

Попробуем представить себе привязанный к верёвке камень, вращающийся в вертикальной плоскости. Легко заставить его делать 3 оборота в секунду, но нельзя заставить его двигаться при этом с постоянной по модулю линейной скоростью. На нисходящем участке траектории потенциальная энергия превращается в кинетическую, но рука мальчика этим превращением управлять не может, если камень на верёвке, т.е. «равномерное вращение камня» невозможно.

Нужна другая формулировка условия задачи:

Мальчик вращает камень, привязанный к верёвке длиной l = 0,5 м, в вертикальной плоскости. В нижней точке траектории скорость камня υ_н = 9,4 м/с. На какую высоту взлетит камень, если верёвка оборвётся в момент, когда скорость камня направлена вертикально вверх? (Скорость в нижней точке траектории рассчитана для случая, как если бы камень «равномерно вращался» с угловой скоростью 3 об/с.)

Решение. Примем за нулевой уровень отсчёта высот и потенциальной энергии уровень нижней точки окружности и, применив закон сохранения полной механической энергии, найдём скорость в точке отрыва:

Теперь найдём высоту подъёма оторвавшегося камня относительно нижней точки окружности:

Пример 7. Тело массой m = 1 кг совершает свободные колебания вдоль горизонтальной оси Х. Его скорость изменяется по закону

По какому закону изменяется кинетическая энергия колеблющегося тела?

Варианты ответов:

Всё верно, но т.к. графически представить такой результат невозможно, то хороший ученик обязательно понизит степень синуса. Он получит, что кинетическая энергия колеблющегося тела зависит от времени по закону косинуса, с частотой, в два раза большей частоты изменения скорости:

Но такого результата в предложенных вариантах решения нет.

Пример 8. На рисунке (стандартный рисунок – здесь не приводится. – Ред.) приведена демонстрация опыта по проверке правила Ленца. Опыт проводится со сплошным кольцом, а не разрезанным, потому что:

А) сплошное кольцо сделано из стали, а разрезанное кольцо – из алюминия;

Б) в сплошном кольце не возникает вихревое электрическое поле, а в разрезанном возникает;

В) в сплошном кольце возникает индукционный ток, а в разрезанном – нет;

Г) в сплошном кольце возникает ЭДС индукции, а в разрезанном – нет.

Правильным ответом указан ответ В. Но при этом подразумевается, что в опыте используется слабо намагниченный школьный полосовой магнит. При использовании сильного магнита индукционный ток возникнет и в разрезанном кольце – коромысло из колец в опыте по проверке правила Ленца всегда реагирует на движение сильного магнита.

Пример 9. В один из сообщающихся сосудов налита вода, в другой – масло плотностью ρ_м = 0,8 г/cм³, не смешивающееся с водой. На какое расстояние сместится граница раздела жидкостей по горизонтальной трубке, если давление воздуха над маслом возрастёт на Δp = 0,1 мм рт.ст., а давление над водой уменьшится на эту же величину? Площадь поперечного сечения сосудов S = 10 cм², площадь поперечного сечения соединяющей трубки S′= 1 cм².

Решение. Проведём границу раздела жидкостей в соединительной трубке... и возникают варианты.

9.1. Жидкости разделены подвижным поршеньком. Условие равновесия:

– в исходном состоянии: ρ_мgH = ρ_мgh,

– в новом состоянии: ρ_мgH′ + Δp = ρ_мgh′ – Δp.

Учтём также, что Sx = S′x′, где х – смещение уровней (опускание уровня масла и подъём уровня воды), х′ – смещение границы раздела.

9.2. Жидкости не разделены подвижным поршеньком. Для равновесия необходимо, чтобы на любом из уровней, расположенных ниже уровня bb, давления оказались одинаковыми. Пусть на уровне bb это условие выполняется. На более низком уровне dd давления уже не будут одинаковыми, т.к. при одинаковых высотах столбиков жидкости bd, разделяющих эти уровни, прибавки давления будут разными из-за разной плотности жидкостей. Условие равновесия не выполняется, значит, граница раздела жидкостей не может находиться в соединительной трубке.

Если граница раздела уже задана на уровне bb, то при увеличении давления над маслом на Δp увеличится давление масла на этом уровне, и оно по верхней части соединительной трубки перетечёт в правое колено, всплывёт в воде и образует столбик поверх неё (см. «Физика-ПС», № 46/04, с. 4). Уровень bb – предельно низкий, на котором может находиться граница раздела жидкостей, – при этом выполняется условие равновесия (1).

При доливании масла в левое колено оно будет прорываться сквозь воду и располагаться поверх неё. При этом граница раздела не сдвигается! Разность уровней воды не изменяется, оставаясь равной h.

При доливании воды в правое колено граница раздела в левом колене поднимается, и условие равновесия (1) выполняется относительно новой границы.

Какой вариант решения выбрать ученику?