МГУ-2008: Вступительные испытания по физике на факультет наук о материалах

Окончание. См. № 1/09

5. Два предварительно разряженных конденсатора соединили последовательно с источником, ЭДС которого ЭДС = 110 В, а внутреннее сопротивление r = 1 кОм. Ёмкость первого конденсатора C₁ = 100 пФ, второго – C₂ = 200 пФ. Через достаточно большое время конденсаторы отключили от источника и к их свободным выводам подключили незаряженный конденсатор C₃ = 300 пФ. Какое напряжение U установится между пластинами этого конденсатора?

Решение

Будем решать задачу, пренебрегая токами утечки в конденсаторах. Тогда можно утверждать, что после длительного подключения конденсаторов к источнику разность потенциалов между выводами этих конденсаторов должна установиться равной ЭДС этого источника. По условию задачи, конденсаторы C₁ и C₂ были соединены последовательно, а потому при зарядке этих конденсаторов через каждый из них протёк одинаковый заряд q. Вспоминая связь между ёмкостью конденсатора, его зарядом и напряжением между его пластинами, можно утверждать, что ЭДС = q/C₁ + q/C₂. Следовательно, q = ЭДС C₁C₂/(C₁ + C₂).

После отключения конденсаторов C₁ и C₂ от источника и подключения к ним конденсатора C₃ в результате перезарядки через каждый из конденсаторов должен протечь такой заряд Δq, чтобы напряжение U между выводами конденсатора C₃ стало равным напряжению между выводами конденсаторов C₁ и C₂, подключёнными к пластинам конденсатора C₃. Следовательно, искомое установившееся напряжение U должно быть таким, что U = Δq/C₃ = (q – Δq)/C₂ + (q – Δq)/C₁. Исключая из этих соотношений заряд Δq, получаем, что после окончания перезарядки конденсаторов установившееся напряжение между пластинами конденсатора C₃ станет равным

6. Между двумя параллельными металлическими пластинами со скоростью u протекает проводящая жидкость. Удельное сопротивление жидкости равно ρ. Расстояние между пластинами равно h и много меньше размеров пластин. Площадь каждой пластины равна S. Между пластинами создано однородное магнитное поле, вектор индукции которого B параллелен плоскости пластин и перпендикулярен u. К пластинам подключён резистор сопротивлением R. Найдите мощность, выделяющуюся на этом резисторе.

Решение

На носители электрического заряда, движущиеся с проводящей жидкостью, действует магнитная составляющая силы Лоренца, направленная перпендикулярно пластинам. Из-за этого на одной из пластин возникает избыточный положительный, а на другой – избыточный отрицательный заряды. Эти заряды создают в пространстве между пластинами электрическое поле, которое можно считать однородным, поскольку расстояние между пластинами малó по сравнению с их размерами. При установившемся течении жидкости действие магнитной и электрической составляющих силы Лоренца взаимно компенсируется. Вспоминая выражения для указанных составляющих силы Лоренца, можно утверждать, что модуль напряжённости существующего при установившемся течении проводящей жидкости электрического поля Е равен uB. Поэтому между пластинами устанавливается разность потенциалов Δφ = uBh. Поскольку сопротивление жидкости между пластинами равно r = ρh/S, то через резистор, подключённый к этим пластинам, согласно закону Ома, течёт ток I = Δφ/(r + R), и на нём выделяется мощность N = I²R. Решая совместно приведённые соотношения, находим, что на резисторе выделяется мощность формула2 Отметим, что описанная в условии задачи система иллюстрирует собой принцип действия магнитогидродинамического генератора.