Задачи, тесты

Расчёт разветвлённых цепей постоянного тока с помощью правил Кирхгофа

Предлагаемая работа является примером практического применения систем линейных алгебраических уравнений, так что контроль за решением этой системы может взять на себя учитель математики, что позволит ему повторить с учащимися данный раздел алгебры и лишний раз показать, что математика – не оторванная от жизни наука. Учитель физики при подготовке индивидуальных домашних заданий может использовать программу «Открытая физика» ч. 2 (модель 1.5 «Цепи постоянного тока»). Эта модель позволяет учителю сконструировать набор индивидуальных домашних заданий различной сложности с учётом подготовленности каждого ученика и в течение нескольких секунд получить значения токов, которые необходимо найти ученику, что значительно облегчит проверку домашних заданий (для этого в ветвях, в которых определяются токи, надо поставить амперметры).

Элементы теории. Правила Кирхгофа позволяют значительно упростить расчёт сложных электрических цепей с неоднородными участками. В разветвлённых цепях можно выделить узловые точки (узлы), в которых сходятся не менее трёх проводников, рис. 1. Токи, втекающие в узел, считают положительными; вытекающие из узла – отрицательными.

Первое правило Кирхгофа следует из закона сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в любом узле разветвлённой цепи, равна нулю: I₁ + I₂ + I₃ + ... + I_n = 0.

В любой разветвлённой цепи всегда можно выделить несколько замкнутых путей, состоящих из однородных и неоднородных участков, которые называются контурами. На рис. 2 представлен простой пример разветвлённой цепи с двумя узлами, в которых сходятся одинаковые токи, так что независимым является только один. Соответственно в цепи можно выделить три контура. Из них только два независимы, т.к. третий не содержит новых участков.

Второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений (произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвлённой цепи постоянного тока на силу тока на этом участке) равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура.

Покажем применение второго правила Кирхгофа на примере разветвлённой электрической цепи, изображённой на рис. 2, где НО – выбранное направление обхода. C учётом правила знаков (рис. 3):

для контура абдг:

I₁R₁ + I₂R₂ = –₁ –₂;

для контура бвед:

–I₂R₂ + I₃R₃ = ₂ + ₃;

для узла б:

–I₁ + I₂ + I₃ = 0.

Первое и второе правила Кирхгофа, записанные для всех независимых узлов и контуров разветвлённой цепи, дают в совокупности необходимое и достаточное число алгебраических уравнений для расчёта значений напряжений и сил токов.

Правила Кирхгофа сводят расчёт разветвлённой электрической цепи к решению системы линейных алгебраических уравнений. Если в результате решения сила тока на каком-то участке оказывается отрицательной, то это означает, что ток на этом участке идёт в направлении, противоположном выбранному положительному направлению.

Задание на расчётную работу

1. Нарисовать схему, аналогичную представленной на рис. 2, с параметрами: R₁ = 2,3 Ом, R₂ = 6,3 Ом, R₃ =1,8 Ом; ₁ = 5,7 В, ₂ = –4,5 В, ₃ = 2,7 В.
2. Выбрать контуры и направления их обхода.
3. Обозначить токи в ветвях.
4. Составить систему уравнений.
5. Определить токи.
6. Проверить баланс мощностей.

Пример выполнения

1–3. Схемы аналогичны представленным на рис. 1–3.

4. Система уравнений:

2,3 · I₁ + 6,3 · I₂ + 0 · I₃= –5,7 – 4,5,

0 · I₁– 6,3 · I₂ + 1,8 · I₃ = 4,5 + 2,7,

–I₁ + I₂ + I₃ = 0.

5. Находим значения токов, для чего полученную систему линейных алгебраических уравнений решаем методом Гаусса – одним из наиболее универсальных и эффективных методов, состоящим в последовательном исключении неизвестных из уравнений исходной системы. Сначала с помощью первого уравнения исключаем x₁ из всех последующих уравнений системы, затем, используя второе уравнение, исключаем x₂ из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным x_n. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода. Из последнего уравнения системы находим x_n. Подставляя его в предпоследнее уравнение, получим x_n–1. Обратной подстановкой последовательно находим x_n-1, x_n-2, …, x₁.

(Подробный ход решения здесь опущен. Его можно посмотреть в рубрике «Дополнительные материалы» к № 6/2009 на сайте газеты. – Ред.)

Решая систему, получаем токи в ветвях: I₁ = –1,24 А; I₂ =–1,16 А; I₃ = –0,08 А. Знак «–» говорит о том, что направление тока противоположно выбранному.

6. Проверяем баланс мощностей. Найдём мощность, выделяемую на резисторах R₁, R₂, R₃ в виде теплоты:

P₁ = 2,3 · 1,24² + 6,3 · 1,16² + 1,8 · 0,08² = 12,025 Вт.

Найдём мощность, выделяемую источниками тока в результате работы сторонних сил:

P₂ = 5,7 · 1,24 + 4,5 · 1,16 – 0,08 · 2,7 = 12,072 Вт.

Для третьего источника тока мощность отрицательная, т.к. I₃ направлен против ЭДС.

Хорошее совпадение P₁ и P₂ говорит о том, что расчёты выполнены правильно.

Рисуем электрическую схему в окончательном виде.

Ещё один урок М.М.Юмашева, Т.Ю.Смирновой из той же серии – «Расчёт комплексных сопротивлений в электрических цепях переменного тока» – представлен на сайте газеты в рубрике «Дополнительные материалы» к № 6/2009. – Ред.