МАИ-2007: Региональная олимпиада

Дано:

p = 69 кПа,

n = 10²⁵ м^–3.

Решение

Записав основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов p = nkT, получим

Дано:

Q = 60 кДж,

V = const.

Решение

Запишем первый закон термодинамики: Q = ΔU + A. В изохорном процессе работа газа A = 0.

Следовательно, ΔU = Q = 60 кДж.

Дано:

S = 100 см²,

F = 5,43 · 10^–4 Н,

|q₂|/|q₁| = n = 1,5.

Решение

Каждая из заряженных пластин находится в электростатическом поле, созданном другой пластиной. Следовательно, величину силы, действующей,

например, на первую пластину, можно записать в виде

F₁ = |q₁|E₂, (1)

где E₂ – напряжённость поля, созданного второй пластиной. Заметим, что, по третьему закону Ньютона, величины сил, действующих на каждую из пластин, одинаковы: F₁ = F₂ = F.

Напряжённость электрического поля, созданного в воздухе бесконечной заряженной пластиной, выражается формулой
где |σ₂| = |q₂|/S – поверхностная плотность заряда второй пластины. Следовательно,

Подставляя этот результат в формулу (1) для силы, получаем

Учитывая, что, по условию задачи, |q₂| = n|q₁|, находим откуда

Заряд второй пластины: q₂ = –1,5q₁ = ±12 · 10^-9 Кл.

Дано:

Δt = 1 мин,

j = 20 А/дм²,

k = 0,25 мг/Кл,

ρ = 7800 кг/м³.

Решение

Согласно закону Фарадея, масса вещества, выделившегося с поверхности детали в процессе электролиза, определяется по формуле m = kq, где q – заряд, прошедший

через электролитическую ванну за время Δt, равный q = iΔt. Силу тока i выразим через его плотность: i = jS, где S – площадь поверхности детали.

Тогда закон Фарадея принимает вид m = kjSΔt.

Массу выделившегося вещества определим через его плотность ρ и объём V = SΔh, и получим m = ρSΔh.

Закон Фарадея представляется теперь равенством ρSΔh = kjSΔt, откуда находим толщину удалённого с поверхности детали слоя

Дано:

I = 2,5 А,

R = 2 Ом,

R′/R = k = 5.

Решение

При последовательном соединении двух проводников общее сопротивление участка цепи равно R₀ = R + R′ = R +kR = R(k + 1). Падение напряжения на этом участке U = IR₀ = IR(k + 1) = 2,5 · 2 · (5 + 1) = 30 В.

Дано:

В ↑↑ n,

Ф₁ = Ф₂.

Решение

Магнитный поток через поверхность, охватываемую контуром, определяется формулой Ф = ΔScosα, где S – площадь этой поверхности, α – угол между силовыми линиями магнитного поля и нормалью к плоскости контура.

Пусть L – сторона квадрата. Тогда в первом случае S₁ = L². Когда квадрат деформируют в кольцо, периметры этих фигур остаются одинаковыми. Следовательно, 4L = 2πr.

Отсюда определяем радиус кольца и площадь S₂:

По условию задачи, в первом случае угол между силовыми линиями поля и нормалью к контуру α₁ = 0, во втором случае он равен искомому углу поворота контура α₂ = Δφ.

Записываем магнитные потоки в первом и втором случаях:

Ф₁ = BL²;

Приравнивая эти величины, получаем

откуда Δφ = arccos(π/4) = 38,2°.

Дано:

∆t = 30 с

Решение

Перемещение точки определяется как разность конечного и начального значений её координаты:
∆х = x_к – x_н = 150 – 50 = 100 м.

Дано:

L₁ = L₂,

h₁ = h₂.

Решение

Так как удар шаров, по условию задачи, абсолютно упругий, то при ударе сохраняются импульс и механическая энергия системы.

Запишем законы сохранения энергии и импульса для двух положений системы: непосредственно перед ударом шаров (1) и сразу после удара (2):

Запишем уравнение (2) в проекции на ось Х:

mυ₁ = – mυ₃ + Mυ₂ (3)

и получим систему уравнений:

Разделим первое уравнение системы на второе:

υ₁ – υ₃ = υ₂. (4)

Связь скоростей υ₂ и υ₃ с высотами подъёма шаров находим, записав законы сохранения энергии для каждого из шаров после удара для положений (2, 3) и (2,3′):

По условию, h₁ = h₂, следовательно,

υ₂ = υ₃. (5)

Тогда выражение (4) принимает вид

υ₁ = 2υ₂. (6)

Подставляя (5) и (6) в закон сохранения импульса (3), получаем искомое отношение масс шаров:

m · 2υ₂ = –mυ₂ + Mυ₂; 3m = M; M/m = 3.