Задачи, тесты

Почему провода рвутся на морозе

Морозная зима доставляет много хлопот. Если в 50-х гг. такой была буквально каждая, то в нынешнее время многие горожане обходятся без зимних шапок, полушубков, а валенки в диковину. Это не беда, жаль только, что вместе с уходом морозных зим подзабылись и физические знания. Включая телевизор или радио, многие нынче слышат авторитетные рассуждения о том, что магниты на морозе перестают «магнитить», а медные провода рвутся из-за ослабления прочности меди при охлаждении.

Признаём, что данные по зависимости многих свойств от температуры входят далеко не во все справочники. Однако уже из общих представлений о строении вещества можно сказать, что изменение физической температуры на 5–10% вдали от фазовых или агрегатных переходов не может привести к серьёзным последствиям. Например, большинство ферромагнетиков теряет свои уникальные магнитные свойства при температурах около +400…1000 °С (точка Кюри). Что касается прочности, то, заглянув в соответствующий справочник, можно убедиться, что с уменьшением температуры она только возрастает [1]. Однако факты налицо: провода действительно лопаются на морозе. В чём же дело? Рассмотрим два конкретных примера.

• Провод, натянутый между двумя опорами, расположенными на расстоянии 50 м друг от друга, при температуре воздуха –30 °С провисает на 20 см. Как изменится глубина провисания, когда на улице потеплеет до 0 °С? Во сколько раз уменьшится при этом натяжение провода? Форму «провисания» считать для удобства треугольной^*. Коэффициент линейного расширения материала провода 17 · 10^–6 град^–1.

Решение. 1. Если при температуре 0 °С длина равна L₀, то при охлаждении до температуры –30 °С, длина изменится на ∆L_t = = L₀αt. Так, если на морозе провод имеет длину 25 м, то при нагревании до нуля его удлинение составит ∆L_t = 25 · 30 · 17 · 10^–6 ≈1,27 см.

Получим соотношение, связывающее провисание h с расстоянием между опорами L и удлинением ∆L (для оценки учтём лишь основные слагаемые):

(L + ∆L)² = L² + h² 2L · ∆L ≈ h².

По этой формуле получаем, что на морозе половина висящего провода удлинена на 1 мм относительно 25 м, а при удлинении на 1,27 см при повышении температуры глубина провисания станет около 80 см.

Если провод подвергается нагрузке F, хотя бы от собственного веса, то его натяжение определится по правилу разложения сил:

Отсюда получаем, что отношение натяжений провода при указанных температурах

Замечание. Поскольку фундаменты опор устанавливаются ниже глубины промерзания почвы (для предотвращения вспучивания), то изменением расстояния между опорами естественно пренебречь. Вычисления можно проводить без использования правил приближённых вычислений, но более точные вычисления здесь ничем не оправданы.

А теперь поставим задачу чуть иначе.

• Провод, натянутый между двумя опорами, расположенными на расстоянии 50 м друг от друга, при температуре воздуха 0 °С провисает на 20 см. Как изменится провисание, когда на улице похолодает до –30 °С? Во сколько раз увеличится при этом натяжение провода?

Решение. Воспользовавшись проделанными оценками, знаем: провисание 20 см означает, что провод длиннее расстояния между опорами всего на 2 мм. Уменьшение длины провода при охлаждении до температуры –30 °С оказывается примерно 2,6 см, т.е. провод должен неминуемо порваться. Если такое не происходит повсеместно, то это означает, что медь перед разрушением подвергается значительной пластической деформации: необратимо вытягивается, насколько возможно.

Таким образом, для предотвращения разрыва провода необходимо заблаговременно увеличить его провисание перед наступлением холодов, а затем, при установлении тёплой погоды, снова натянуть провода. Еще недавно на троллейбусных столбах можно было увидеть устройства для регулирования натяжения – в виде системы блоков и гирлянды висящих грузов.

Литература

1. Физические величины. Справочник. Сост. А.П.Бабичев и др.: Под ред. И.С.Григорьева, Е.З.Мейлихова. – М.: Энергоатомиздат, 1991.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике (для инженеров и учащихся ВТУЗов). – М.: Наука, 1980 (или любое другое издание).

---

^* Строго говоря, стационарная форма описывается кривой, которая называется гиперболическим косинусом, или цепной линией (см., например, [2]). Это усложняет расчёт, но порядок величин остаётся тем же.