Абитуриенту

МГУ им. Ломоносова: факультет наук о материалах - 2008

В соответствии с правилами приёма в МГУ им. М.В.Ломоносова абитуриенты ФНМ в 2008 г. сдавали на выбор экзамен по физике или химии. Экзамен по физике традиционно проводился в письменной форме и длился 4 часа, в течение которых нужно было решить восемь задач. Ниже приводится задание по физике.

1 К вертикальной железной стенке холодильника прилепили постоянный магнит массой m. Чтобы двигать магнит равномерно поступательно вниз, к нему нужно приложить силу, модуль которой равен F₁. Найдите модуль силы, которую нужно приложить к магниту, чтобы двигать его поступательно горизонтально с ускорением а.

Решение

По условию задачи, для равномерного поступательного движения магнита вертикально вниз к нему нужно приложить направленную вертикально вниз силу, модуль которой равен F₁. Будем считать, что холодильник покоится относительно Земли, а система отсчёта, связанная с Землёй, является инерциальной. Поскольку на магнит кроме приложенной силы действуют ещё сила тяжести и сила сухого трения, то, согласно второму закону Ньютона, модуль силы трения магнита о стенку должен быть равен F_тр = F₁ + mg, где m – масса магнита, g – модуль ускорения свободного падения. Считая, что модуль силы сухого трения магнита о стенку не зависит от направления его движения, на основании второго закона Ньютона можно утверждать, что для поступательного движения магнита с ускорением а в горизонтальном направлении искомая сила должна иметь направленную вертикально вверх составляющую, модуль которой равен mg, и горизонтальную составляющую, модуль которой равен F_тр + ma. Поэтому модуль искомой силы равен

2 Вокруг Земли по круговым орбитам, лежащим в одной плоскости, движутся два спутника. Модуль скорости первого спутника равен υ₁ = 7,6 км/с, второго υ₂ = 7,8 км/с. Найдите минимальное расстояние между этими спутниками. Радиус Земли считать равным R₃ = 6,4 · 10³ км, а модуль ускорения свободного падения на полюсе Земли g = 9,8 м/с².

Решение

Будем считать, что на спутники действуют только силы их гравитационного притяжения к Земле, а система отсчёта, связанная с центром Земли и достаточно удаленными от неё звездами – геоцентрическая система отсчёта, – является инерциальной. По условию задачи, спутники движутся вокруг Земли по круговым орбитам. Поскольку модуль центростремительного ускорения спутника, движущегося по круговой орбите радиусом R со скоростью υ, равен υ²/R, то на него при выполнении сделанных предположений, согласно второму закону Ньютона, должна действовать сила гравитационного притяжения, направленная к центру Земли и равная по модулю mυ²/R, где m – масса спутника. Согласно закону всемирного тяготения модуль силы гравитационного притяжения спутника Землёй равен GmM/R², где G – гравитационная постоянная, М – масса Земли. Вспоминая, что модуль ускорения свободного падения на полюсе Земли g = GM/R₃² докажите самостоятельно, что модуль скорости спутника Следовательно, скорости заданных спутников должны удовлетворять соотношению υ₁² / υ₂² = R₂ / R₁. Ясно, что минимальное расстояние между спутниками равно разности радиусов их орбит. Поэтому искомое расстояние при выполнении сделанных предположений равно

3 На гладком горизонтальном столе покоится клин массой M. Шероховатая наклонная поверхность клина плавно сопрягается с горизонтальной поверхностью стола. По столу в направлении клина со скоростью υ скользит маленькая шайба массой m. Шайба, попав на клин, поднимается по его наклонной поверхности на максимальную высоту h над столом, меньше, чем высота клина. При этом траектория шайбы лежит в вертикальной плоскости, перпендикулярной ребру клина и проходящей через его центр масс. Найдите количество теплоты Q, которое выделилось при этом. Влиянием воздуха пренебречь.

Решение

Поскольку траектория шайбы лежит в вертикальной плоскости, перпендикулярной ребру клина и проходящей через его центр масс, а сам клин находится на гладкой горизонтальной плоскости, клин за счёт взаимодействия с шайбой будет двигаться поступательно. В тот момент, когда шайба оказывается на максимальной высоте над столом, её скорость относительно клина станет равной нулю. Пусть скорость клина относительно стола в этот момент становится равной u. Будем считать систему отсчёта, неподвижную относительно стола, инерциальной. Кроме того, будем полагать, что на клин и шайбу в горизонтальном направлении не действуют какие-либо другие тела. Тогда на основании закона сохранения импульса можно утверждать, что горизонтальная составляющая суммарного импульса этих тел должна оставаться неизменной, т.е. должно выполняться соотношение mυ = (m + M)u. Следовательно, в момент остановки шайбы относительно клина их скорость относительно стола должна стать равной

По условию задачи, поверхность клина, по которой движется шайба, является шероховатой. Следовательно, между этими телами действуют силы сухого трения скольжения, за счёт действия которых при движении шайбы по клину эти тела нагреваются. Обозначим количество выделившейся теплоты к моменту подъёма шайбы на максимальную высоту Q. Тогда, согласно закону изменения механической энергии системы клин – шайба – Земля, количество выделившейся теплоты Q должно удовлетворять соотношению

0,5mυ² = 0,5(m + M)u² + mgh + Q,

где g – модуль ускорения свободного падения. Очевидно, что это соотношение будет справедливым только при Q ≥ 0. Подставляя в это соотношение ранее найденную скорость движения клина и шайбы в момент её подъёма на максимальную высоту, находим искомое количество выделившейся теплоты:

Подчеркнём, что полученный ответ верен, если

Если же это неравенство неверно, условие задачи противоречиво, и задача не имеет решения.

4 На гладкой горизонтальной плоскости лежит маленький шарик массой m. К диаметрально противоположным точкам шарика прикреплены две одинаковые лёгкие пружины жёсткостью k каждая. Другие концы пружин прикреплены к неподвижным относительно плоскости точкам А и В. При этом пружины не деформированы, а их оси лежат на горизонтальной прямой АВ, проходящей через центр шарика. Шарик смещают по плоскости так, чтобы угол между осью каждой из пружин и прямой АВ стал равным α. После этого шарик отпускают без начальной скорости, и он начинает двигаться с ускорением, модуль которого равен а₀. Найдите модуль максимальной скорости шарика в последующие моменты времени.

Решение

Как и при решении предыдущей задачи, будем считать плоскость, на которой лежит шарик, неподвижной относительно инерциальной системы отсчёта. Поскольку плоскость гладкая и горизонтальная, то действие на шарик силы тяжести компенсируется силой реакции со стороны плоскости. По условию задачи, необходимо определить модуль максимальной скорости шарика после его отпускания. Следовательно, действием на шарик сил сопротивления со стороны воздуха нужно пренебречь и считать, что ускорение шарика после отпускания происходит только под действием сил упругости пружин.

Пусть удлинение каждой из пружин в момент отпускания шарика равно ΔL. Поскольку прикреплённые к шарику пружины, по условию задачи, деформированы одинаковым образом, суммарная сила их действия на шарик в момент отпускания направлена перпендикулярно прямой АВ к положению равновесия шарика и равна по модулю 2kΔLsinα. При выполнении сделанных предположений, согласно второму закону Ньютона, в момент отпускания шарика должно иметь место равенство

mа₀ = 2kΔLsinα,

а потому ΔL = mа₀ /(2ksinα).

По условию задачи, в тот момент, когда центр шарика окажется на прямой АВ, пружины не будут деформированы, а механическая энергия системы шарик–пружины будет равна кинетической энергии шарика, т.к. массой пружин следует пренебречь. Пусть в момент отпускания шарика механическая энергия указанной системы определяется только потенциальной энергией упруго деформированных пружин. Следовательно, при выполнении сделанных предположений, согласно закону сохранения механической энергии, должно иметь место равенство

где υ_m – модуль максимальной скорости шарика. Подставляя в это выражение ранее найденное удлинение пружин, находим модуль максимально возможной скорости шарика:

Продолжение следует