Задачи, тесты

Физика и математика града

Прошлый июль (2008 г.) выдался в Рязанской области суровым: ливни, грозы и даже град. Автору повезло 18 июля примерно в 18 ч успеть укрыться от града на близкой к Рязани железнодорожной станции «208-й километр». Форма града была близка к сферической, диаметр примерно 1 см. Шёл он три минуты. Приехав домой, перечитал в известном в начале XX в. учебнике физики Константина Дмитриевича Краевича о граде.

Этот текст заслуживает цитирования: «Если в мощном восходящем движении столба воздуха ожижение водяного пара наступает уже при температуре выше нуля, то образовавшиеся капельки уносятся выше, в те слои, где господствуют отрицательные температуры; там они, оставаясь жидкими, охлаждаются ниже нуля, т.е. переохлаждаются. Если в таком состоянии капельки переохлаждённой воды встретят носящиеся в воздухе ледяные кристаллы, то сразу наступает замерзание, и образовавшийся ледяной шарик при падении вниз среди переохлаждённых капель быстро облепляется льдом, увеличивается в своём объёме и достигает поверхности земли в виде куска льда часто неправильной формы. Осадки такого вида называются градом.

Градины обыкновенно бывают величиною с кедровый орех, а иногда с голубиное, и даже с куриное яйцо; они имеют неправильную форму. Средина градины часто состоит из снежного ядра, покрытого ледяною прочною оболочкою. Граду часто предшествует проливной дождь, обычно град сопровождается сильными грозами. Он обыкновенно бывает среди лета и чаще днём, нежели ночью. Выпадение града продолжается несколько минут, редко четверть часа. Этот вид осадков производит сильные опустошения, уничтожает хлебные посевы, и если крупен, то бывает гибелен даже для людей и животных».

Наблюдал своими глазами: люди, попавшие под мелкий град, не пострадали. Интересно подтвердить физическим расчётом опасность крупного града для человеческой жизни. Вычисления, следующие ниже, будут по понятным причинам оценочными. Однако числовые безразмерные коэффициенты мы убирать не станем: никакие соображения не требуют этого.

Сначала определим установившуюся скорость падения сферической градины радиусом R. В режиме установившейся скорости υ сила сопротивления воздуха F равна силе тяжести, действующей на градину:

F = mg. (1)

Сила сопротивления что известно

из теории. Здесь C ≈ 0,2 – безразмерный коэффициент для шара, – средняя плотность воздуха (град падает с высоты в несколько километров), S = πR² – площадь большого круга. Масса градины

(2)

где ρ_л = 900 кг/м³ – плотность льда. Из формул (1) и (2) имеем уравнение откуда

(3)

Если положить среднюю плотность воздуха = (1/2)ρ_в , где ρ_л = 1,29 кг/м³ – плотность воздуха у

земной поверхности, то это будет заниженная оценка. Всё же град падает с высоты, где плотность отлична от нуля. Лучше положить = (3/4)ρ_в , тогда из формулы (3) имеем

(4)

Для дальнейшего нам надо быть уверенным, что скорость градины действительно практически устанавливается, т.е. сопротивление воздуха играет существенную роль при её падении. Легко видеть, что критерий этого таков:

(5)

где H – высота падения. Из формул (4) и (5) имеем

(6)

Условие (6) в числах для наблюдавшегося мелкого града (R = 0,5 см) выглядит так: H31 м, – что заведомо выполняется. Для крупного града (R = 2,5 см) получим H155 м, что можно считать верным с достаточной точностью.

Из формул (2) и (4) находим кинетическую энергию градины перед её ударом о землю:

(7)

Формула (7) показывает очень сильную зависимость энергии градины от её радиуса.

Известно, что уровень энергии, достаточный для причинения человеку смертельных повреждений,

W₀ = 80 Дж. Из формулы (7) находим радиус опасной для жизни градины:

Итак, теория подтверждает жизненную практику: крупный град опасен. К тому же градин падает много. Так что под любой град лучше не попадать!