Главная страница «Первого сентября» • Главная страница журнала «Физика» • Содержание №23/2008

Конкурс "Я иду на урок"

И. Н. Дубова,
СОШ № 2, г. Гагарин, Смоленская обл.

Корпускулярно-­волновой дуализм

Урок на трудную тему. 11­й класс

Учитель. К уроку вы готовили материал § 90 [1], т.е. изучали свойства фотона, волновые свойства электрона, решали задачи. Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте закрепимся на завоёванных позициях. Вот перед вами часть шпаргалки одного ученика (в увеличенном виде, конечно).

Свет

 Электрон, нейтрон

1. Интерференция

1. Интерференция

2. Дифракция

2. Дифракция

3. Дисперсия

 3. Волновая характеристика:

4. Поляризация

 4. Частицы локализованы в пространстве

5.  ,

 

5. Корпускулярные характеристики: m, p, E

6. Волна непрерывна

  

7. I ~ E02; I0 ~ B02

  

8. Волновые характеристики:

  

9. Фотоэффект, эффект Комптона: свет – поток фотонов. Поток дискретен, прерывен

  

10. Корпускулярные характеристики:

  

 Ученики 1­го ряда изложат вслух мысли, рождённые первым столбиком, 2­го ряда – вторым, а ученики 3­го ряда, выслушают всех и сделают заключение.

Учащиеся. Интерференция, дифракция, поляризация, дисперсия объясняются наличием волновых свойств у света. Например, интерференционную картину можно объяснить сложением волн с учётом разности хода. Интенсивность волн I ~ E2,
I ~  B2. Уравнение волны для электрической и магнитных составляющих – ... (см. табл.). Волновыми характеристиками света являются амплитуда, частота, длина волны, фаза, период. Волна непрерывна.

В фотоэффекте, Комптон-­эффекте и других явлениях проявляются корпускулярные свойства света. Световая частица, электрон, протон, нейтрон локализованы в пространстве, характеризуются импульсом, энергией. При их прохождении через кристалл на экране образуется дифракционная картина. Потому все эти частицы имеют ещё волновую характеристику – длину волны. Таким образом, материя обладает двойственностью свойств.

Учитель. Вот теперь я вас спрошу: что было не совсем ясно в домашнем задании, какие возникли вопросы?

Учащиеся. Что колеблется в волне де Бройля? Как сочетать протяжённость волн с конечным размером частиц? Где запрятаны волновые свойства классических частиц?

Учитель. На эти и, возможно, новые вопросы постараемся найти ответ. Поэтому тема сегодняшнего урока «Корпускулярно­волновой дуализм». Слушая, не только вникайте в суть, но и старайтесь 2–3 предложения из каждого ответа записать. Специально выделяю на это время.

Волна де Бройля не похожа на материальную волну. В звуковой волне колеблются молекулы среды. В электромагнитной волне колеблются напряжённость электрического поля и индукция магнитного поля. Но в обоих случаях волну образуют колебания материальных объектов. Волна де Бройля – волна вероятности, описывающая поведение микрообъекта, она не материальна. В свободном состоянии поведение микрообъекта описывается плоской монохроматической волной де Бройля. В общем случае движение частицы в силовом поле описывается волновой функцией (r, t), называемой пси-­функцией. Это функция координат и времени. Она подчиняется уравнению Шрёдингера, играющему в квантовой механике такую же роль, какую играют законы Ньютона в классической физике.

Отбор решений идёт так, что 
имеет смысл плотности вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства, а величина  dV
– cмысл абсолютной вероятности обнаружения частицы в объёме dv. Функция  не наблюдается, а  – величина, связанная с вероятностью обнаружения объекта, – наблюдается [2].

Переведём дух, подкрепимся. Для тех, кто не знал или забыл, что такое вероятность события. Пусть в коробке карамель: смородина – С, малина – М, вишня – В. Соответственно 60, 30, 10 штук. Всего 100 штук. Вероятность события вытаскивания смородиновой карамели 60/100 = 6/10, малиновой – 3/10, вишнёвой – 1/10 (6/10 +  3/10 + 1/10 = 1 – вероятность события вытащить хоть какую-­нибудь конфету). Хорошо перемешаем, а после каждого вытаскивания и съедания конфеты я восстанавливаю первоначальную картину. Кладовщиком, ведущим учёт расходов, будет Сидоров. Из 30 вытащенных конфет должно быть теоретически С –18, М – 9, В – 3. Вытаскивание конфетки определённого сорта – случайное событие. Но подсчитанная заранее вероятность отражает реальную картину распределения конфет. Хотя возможны и флуктуации, т.е. отклонения, которые тем меньше (в относительной шкале), чем больше событий. (Проводится «эксперимент».)

Вернёмся к микрочастицам. Их особенностью является случайный характер движения. Поэтому если известна вероятность обнаружения частицы в какой­то точке, легко объяснить и интерференцию частиц, как объясняли раньше (см. шпаргалку).

Учащиеся. Надо сложить амплитуды волновых функций.

Учитель. А квадрат суммарной амплитуды даст наблюдаемую интерференционную картину, т.к. связан с интенсивностью распределения (см. шпаргалку). Так что получается интерференция без волн [3]!

Как разрешить напрашивающийся вопрос о разнице в объяснении интерференции световых волн и вероятностных? В одном случае за неё отвечают материальные волны, а в другом – воображаемые. Физики объясняют это так: световые частицы, фотоны, принадлежат к группе частиц бозонов, способным накапливаться в одном состоянии. При достаточно большом числе они образуют световую волну. Её характеристики совпадают с соответствующими характеристиками волновой функции фотона (они одинаковы). Классическая волна – это коллективный эффект. Для электронов, которые принадлежат к фермионам и способны заселять состояние лишь поодиночке, коллективный эффект невозможен [3]. Продолжим рассуждение: если это так, то интерференцию света можно объяснить наличием волновой функции у фотонов. Да, оказывается, это так. Увеличивая время экспозиции, можно на экране получить интерференционную картину при сколь угодно малой интенсивности светового пучка, когда через отверстие проходят отдельные фотоны. Таким образом, в основе волновых свойств частиц лежит вероятностный характер поведения микрообъектов [4].

Впервые о корпускулярно-­волновом дуализме заявил Эйнштейн. Используя законы излучения абсолютно чёрного тела и методы статистической физики, он получил значение флуктуаций светового давления и плотности энергии, пропорциональные друг другу. Формулы содержат сумму двух членов: первый, квантовый, соответствовал представлениям о свете как о потоке дискретных частиц – фотонов, второй – волновой, был связан с электромагнитной волной. Существенно, что только сумма этих двух членов даёт правильное значение флуктуаций энергии и светового давления. Когда регистрируются результаты воздействия мощных (по меркам микромира) световых потоков в течение сравнительно больших промежутков времени, то наблюдается волновая картина. В потоке воды можно не учитывать молекулярный состав воды. Но если рассматривать взаимодействие на межатомном уровне, то дискретная структура проявляется.

Такая же картина и у классических частиц. Пока идёт взаимодействие на межмолекулярном уровне, т.е. волна де Бройля сравнима с характерными размерами, – квантовые эффекты существенны, нет – спокойно описывайте поведение объекта законами классической физики, не учитывая вероятностных проявлений [5].

Итак, противоречия разрешены. Природа рассматриваемых объектов такова, что для них (фотонов, нейтронов и др.) нельзя придумать ситуацию, где одновременно проявлялись бы и корпускулярные, и волновые свойства. Нельзя и не нужно представлять электрон или фотон и частицей, и волной одновременно. Под корпускулярно-­волновым дуализмом мы будем понимать то, что микрообъекты обладают потенциальной возможностью проявлять либо волновые, либо корпускулярные свойства, но никогда не проявляют их одновременно. Эти свойства дополняют друг друга, и только их сочетание даёт полное представление об объекте. Исторически сложилось так, что свет и электроны изучались в классическом варианте, и только по мере изучения материи оказалось, что они не так просты. Границы проявления вероятностного поведения микрообъектов не  очерчены чётко, так что можно привести примеры вторжения квантовых эффектов в область, кажущуюся абсолютно классической (сверхпроводимость, сверхтекучесть) [6].

Вернёмся к началу урока. Помните, были вопросы? Интересно, добавите ли вы теперь к тому единственному предложению о связи волновых и корпускулярных свойств микрообъектов ещё что­то? (Ученики, используя записи, воспроизводят основные идеи изложенного на уроке.)

А теперь проверим, как теория претворяется в решении задач.

Задача 1

Не                                                Не

t = 27 °С                                     Т = 0,01 К

р = 105 Па                                  = 0,15 г/см3

Газ                                               Жидкость

Какое описание – классическое или квантовое – применимо для описания атомов гелия в представленных случаях?

Решение. Можно ожидать, что квантовые эффекты будут играть роль, если длина волны де Бройля больше среднего расстояния между атомами. В противоположном случае годится классическое описание. Содержимое баллона с классических позиций – это некоторое количество «бильярдных шаров», непрерывно сталкивающихся друг с другом, тогда как с точки зрения квантовой механики это совокупность взаимодействующих волн.

 

Межмолекулярное расстояние найдём из известной формулы 

Для газа легко получить:

 (Применение формулы оправдано, т.к. мы рассматриваем состояние газа как предельное.)

Задача 2. Параллельный поток электронов, ускоренных разностью потенциалов U = 25 В, падает на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми d = 50 мкм. Определите расстояние между соседними максимумами дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии D = 100 см от щелей.

Решение. Образование дифракционной картины объясняется наличием волновых свойств у электронов. Длина волны де Бройля    Из закона сохранения энергии следует:

Условие наблюдения максимумов:

C учётом малости углов:

 

Подставляя сюда выражение для получаем:

Задача 3. Пучок света имеет вид конуса с углом раствора 10–4 рад мощностью 3 мВт и длиной волны  630 нм. На каком максимальном расстоянии R можно видеть свет, если глаз способен «регистрировать» поток фононов не менее 100 фотонов в секунду? Диаметр зрачка d = 0,5 см.

Решение. Будем рассматривать световой поток как поток фотонов энергией hn = hc/l. Вычислим число фотонов N, испуcкаемых источником мощностью Р? за время t:

Отношение числа фотонов, прошедших через зрачок и через основание заданного в условии конуса высотой R, равно отношению их площадей: т.е.

 

Задача 4. Найдите длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если скорость электронов, подлетающих к антикатоду трубки, v = 0,85с.

Решение. Будем считать, что энергия электрона при торможении переходит в энергию фотона, т.е. идёт взаимодействие на уровне частиц:

 

Домашнее задание. На основе услышанного и записанного в тетради, решённых задач и дополнительной литературы подготовьте сообщение о корпускулярно-­волновом дуализме и решите задачи.

• Параллельный поток электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью шириной
b = 1 мкм. Определите скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние D = 50 см, ширина центрального максимума ? x = 0,36 мм.

• Точечный изотропный источник испускает свет длиной волны ? = 589 нм. Мощность источника
P = 10 Вт. Найдите  среднюю плотность потока фотонов на расстоянии 2 м от источника (число фотонов, пролетающих за 1 с через 1 м2 площади).

 Решения

• Условие 1-­го минимума на щели: bsin = деБр.

Так как мал, то  

Тогда   

 

Литература

  1. Мякишев Г.Я.,  Буховцев Б.Б. Физика­11. – М.: Просвещение, 2004.
  2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. – М.: Наука,  1986, т. V, с. 117.
  3. Тарасов Л.В. Современная физика в средней школе. – М.: Просвещение, 2001, с. 142.
  4. Тарасов Л.В. Мир, построенный на вероятности. – М.: Просвещение, 1984, с. 129.
  5. Пинский А.А. Физика­11. – М.: Просвещение, 2000, с. 266.
  6. Бутиков Е.И. и др.  Физика. Т. 3: Строение и свойства вещества. – М.–СПб, 2001, с. 66.

Задачи взяты из сборников:

  1. Взоров Н.Н и др. Сборник задач по общей физике. – М.: Наука, 1968.
  2. Вихман Э. Квантовая физика, т. 4. – М.: Наука, 1974, с. 218.
  3. Делеков А.П., Третьяков О.Н. Физика. – М.: Высшая школа, 2001.
  4. Кириллов В.М. Решение задач по физике. – М., 2006.
  5. Пономарёв Л.И. Под знаком кванта. – М.: Советская Россия, 1984.