Абитуриенту

МАИ: региональная олимпиада-2007

Продолжение. См. № 11, 17/08

1. Корабль идёт прямым курсом вдоль берега на расстоянии L = 3 км от него со скоростью v. Когда расстояние между кораблём и пристанью (вдоль берега) стало равным s = 4 км, ему вдогонку посылают катер, идущий со скоростью u = 2v, который, двигаясь прямолинейно, догоняет корабль. Под каким углом a к берегу шёл катер?
Решение
Выберем систему отсчёта, связанную с Землёй, как показано на рисунке. Условием встречи катера и корабля является равенство их координат в некоторый момент времени:
Запишем законы движения катера:и корабля:
Учитывая, что, по условию задачи, u = 2v, получаем:
Исключая из системы уравнений время t, имеем:или
Выражая  из тригонометрического тождества приходим к квадратному уравнению
Решение этого уравнения имеет вид 
Подставим числовые значения:
 – не подходит по физическому смыслу.
Окончательно получаем


2. Однородный брусок массой m = 1 кг и длиной L = 10 см лежит на горизонтальной поверхности. Брусок прикреплён к вертикальной стене лёгкой пружиной жёсткостью k = 100 Н/м. Когда пружина не деформирована, брусок расположен так, что справа от него поверхность шероховатая с коэффициентом трения
µ = 0,6, а слева – гладкая, причём сам брусок лежит на гладкой поверхности. Брусок смещают влево, сжимая пружину, и отпускают. Какова должна быть деформация пружины, чтобы брусок наехал на шероховатый участок на половину своей длины?

Рассмотрим два положения бруска, как показано на рисунке:
1 – в момент, когда брусок отпускают, 2 – в момент остановки бруска.  
Запишем закон сохранения энергии для этих положений, учитывая, что кинетическая энергия бруска в обоих случаях равна нулю:
По условию задачи, деформация пружины в конечном состоянии    
Найдём работу силы трения.
Сила трения скольжения записывается в виде
. Когда брусок въезжает на шероховатую поверхность, сила реакции опоры на ту часть бруска, что находится на шероховатой поверхности, меняется по линейному закону:
где х – часть бруска, находящаяся на шероховатой поверхности, m′ – масса этой части бруска.
Следовательно, сила трения бруска о поверхность также меняется по линейному закону (до того момента, пока весь брусок не окажется на шероховатой поверхности):и принимает значения от  (при х = 0) до (при х = L/2).Среднее значение силы трения равно
Работа этой силы 
Подставляя (2) и (3) в закон сохранения энергии (1), получаем
Из этого уравнения находим начальную деформацию пружины:

3. На наклонной плоскости с углом наклона α = 30° покоится небольшое тело массой m = 0,5 кг. Определите величину силы трения, действующей на тело.

Решение
По условию, тело покоится, следовательно, формулу для силы трения скольжения применять нельзя.
Величину силы трения можно определить из второго закона Ньютона в проекции на ось OХ:
Получаем 

4. В сосуде под поршнем находится влажный воздух при температуре t = 100°С и давлении . Перемещая поршень, воздух изотермически сжали в 1,5 раза. При этом часть пара сконденсировалась, а давление в сосуде оказалось равным Найдите относительную влажность воздуха перед сжатием.

Дано:
Решение
Влажный воздух есть смесь паров воды и «сухого» воздуха. Следовательно, давление влажного воздуха в начальном состоянии     
Давление пара выразим через относительную влажность воздуха. По определению, 
Давление насыщенных паров воды при температуре t = 100 °C равно  Следовательно, и  (4)
В конечном состоянии, по условию задачи, часть пара конденсируется, тогда давление паров воды в конечном состоянии
Давление влажного воздуха в конечном состоянии можно аналогично формуле (1) представить в виде(5)
Воздух в сосуде сжимают изотермически. Запишем уравнения состояния идеального газа для «сухого» воздуха в начале и конце процесса сжатия:
Следовательно,  (6)
Выражая давления воздуха из уравнений (4) и (5):
и подставляя в выражение (6), получаем:
Отсюда находим искомую величину относительной влажности воздуха перед сжатием:

Продолжение следует