А.А.КНЯЗЕВ knf@sgu.ru,
Максим АГУРЕЕВ (ученик 11-го класса),
ЛПН, г. Саратов

Игрушка «китайская утка» как динамическая система

(Представляемая работа была выполнена самостоятельно учеником при постановке задачи, обсуждении модели и поддержке преподавателя физики и доложена на всероссийской школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых-2007» (см. № 9/2007). Объект исследования – готовое изделие китайского производства.)

Физическое описание и оценки

Игрушка «Китайская утка» (одно из современных названий «птичка Хоттабыча») работает так. Головку утки смачивают водой, ставят игрушку перед стаканом с водой вертикально и лёгким толчком приводят в колебательное движение. Утка начинает раскачиваться, затем замирает и через некоторое время клюёт в стакан и «пьёт» воду! Затем откидывается назад и вновь начинает раскачиваться. Так может продолжаться более суток, до тех пор пока вода в стакане не испарится ниже уровня клюва. Игрушка работает устойчиво при температуре воздуха выше примерно 25 °С.

Конструктивно – это стеклянная трубка с двумя колбами на концах, укреплённая на оси вращения вблизи середины, так что в исходном состоянии система раскачивается как физический маятник с частотой одно-два колебания в секунду. Нижняя колба тяжёлая – она заполнена раствором метиленхлорида, который кипит при температуре 40 °C (иногда используют эфир). Верхняя колба снаружи покрыта поглощающей воду губкой и вначале пуста.

Если окружающий воздух тёплый, метиленхлорид буквально на глазах начинает заливать верхнюю колбу. Центр масс при этом поднимается, и отяжелевшая голова утки падает «клювом» в стакан с водой. При этом уровень метиленхлорида стремительно понижается, и цикл повторяется с периодом около минуты.

Для описания движения маятника наиболее удобно использовать модель параметрических колебаний. Для простоты представим колеблющееся тело в виде тонкой невесомой трубки с жидкостью, в которой и сосредоточена вся масса маятника. Формула для момента инерции относительно центра трубки (использована теорема Штейнера):

Учитывая, что перепишем её в виде

Запишем уравнение вращательного движения физического маятника:

             (1)

Видно, что величина является квадратом угловой частоты малых колебаний маятника. Подставив сюда значение J, получим:

Характерно, что (см. график зависимости частоты колебаний от длины столбика жидкости) частота колебаний маятника проходит через максимум, соответствующий моменту времени, когда жидкость поднялась до точки опоры маятника, а затем уменьшается до замирания перед опрокидыванием. Оба этих эффекта наблюдаются при работе игрушки. Однако анализ формулы периода малых колебаний всё-таки неполно описывает работу модели, поскольку колебания тела игрушки немалые и система нелинейная.

Длина заполненного участка трубки, м

Зависимости периода и частоты малых колебаний маятника от текущей длины столбика жидкости

Численное моделирование

Для описания точного поведения модели во времени мы решили нелинейное уравнение движения с медленно меняющимся коэффициентом (1) численно – методом Эйлера. Программирование и графическое отображение результатов осуществлено в среде Delphy. На последнем рисунке приведены результаты расчёта зависимости угла отклонения и пульсаций угловой скорости от времени. Во всех расчётах использовались следующие, близкие к реальным, значения для параметров системы: длина трубки l = 15 см; начальное отклонение ₀ = 30°; начальная высота жидкости в трубке x₀ = 4 см. Зависимость координаты уровня жидкости от времени учитывалась по закону
x = x₀(1 + t), где значение – временного коэффициента линейного расширения – было экспериментально определено нами как 5 с^–1. Как видим, результаты численного моделирования описываемой нелинейной системы вполне удовлетворительны и верно отображают ход реального явления.

Динамика маятника

Максим Агуреев, ныне студент Саратовского госуниверситета