М.Г.ГАВРИЛОВ

Задачи XL олимпиады ННЦ – XI открытой олимпиады Центральной России по астрономии и физике космоса-2008

(Авторы задач и решений: М.Г.Гаврилов, А.В.Лапинов, Н.Е.Шатовская – под общей редакцией М.Г.Гаврилова.)

Решения (условия задач см. в № 11/08 и на сайте олимпиады www.issp.ac.ru/iao/nsc/ )

1. Московское время опережает всемирное на 3 ч зимой и на 4 ч летом. Следовательно, местное астрономическое время совпадает с московским на меридиане 45° в.д. зимой и на меридиане 60° – летом, и опережает его восточнее этих меридианов. Поскольку Нижегородская область лежит приблизительно (определяем по карте с точностью до четверти градуса) между 41° 45' и 47° 45' восточной долготы, то в период, когда действует летнее время, нигде на её территории местный полдень не наступает раньше 12 : 00 по московскому времени. А вот в период, когда действует зимнее время, на значительной территории – восточнее 45° (это примерно треть площади области к востоку от линии Варнавино–Макарьево–Починки) – полдень по местному времени наступает раньше, чем часы жителей покажут 12 : 00.

2. С Cеверного полюса Земли видна только северная небесная полусфера. Солнечные затмения видны с Cеверного полюса, если Солнце находится над горизонтом, т.е. в период полярного дня. Это период от весеннего равноденствия до осеннего (на самом деле за счёт рефракции он примерно на две недели дольше, но на ответ в нашей задаче это не влияет). Таким образом, солнечное затмение 7 февраля с Cеверного полюса не было видно (оно наблюдалось в Антарктиде). Будет ли видно затмение 1 августа, только из этих соображений мы определить не можем, нужны более точные данные о нём. С уверенностью можно сказать лишь то, что в то время, когда это затмение будет видно где-либо на Земле, само Солнце будет видно с Северного полюса. Утверждение, что затмение 1 августа будет видно с Северного полюса, в принципе, верно, но, чтобы его сделать, надо помнить данные из астрономического календаря.

Лунные затмения происходят, если в фазе полнолуния Луна оказывается на эклиптике и попадает внутрь земной тени. Во время затмения Луна находится точно напротив Солнца и располагается над горизонтом тогда, когда Солнце, наоборот, под горизонтом, т.е. в период полярной ночи. (Как и в случае с солнечными затмениями, рефракция оказывает влияние на видимость затмения только вблизи равноденствий.) Следовательно, лунное затмение 21 февраля с Северного полюса было видно, а 16 августа – не будет.

Окончательно: наблюдать можно лунное затмение 21 февраля и солнечное затмение 1 августа.

3. Посчитаем толщину «блина»:

Блин представляет из себя тонкую фольгу! (Для справки: толщина «конфетной» фольги 15–20 мкм.) Так что ничего особенного делать не нужно. Во-первых, падать в атмосфере этот блин из фольги будет очень медленно, а во-вторых, его можно без труда проткнуть пальцем. Надо просто выйти из-под фольги или, если она всё же падает на вас, проткнуть её и «вылезти».

Заметим, что для вычисления толщины, конечно, полезно помнить, чему равна плотность алюминия ( = 2700 кг/м³). Однако задача оценочная, и достаточно помнить лишь порядок этой величины. Для деталей плотностью от 1000 кг/м³ до 12 000 кг/м³ толщины получаются от 0,6 до 7 мкм, что в любом случае соответствует толщине тонкой фольги.

4. Для Солнца это утверждение верно более или менее, для Луны неверно вообще. Восходят точно на востоке и заходят точно на западе светила, расположенные на небесном экваторе. Перемещаясь по эклиптике, Солнце пересекает небесный экватор дважды в год. Строго говоря, равноденствие – это момент пересечения небесного экватора центром солнечного диска, и этот момент совпадает с восходом Солнца только для одного из земных меридианов (а с заходом – для другого). Весеннее равноденствие приходится на 20 или 21 марта, осеннее – на 22 или 23 сентября, различие связано с добавлением в високосные годы лишних календарных суток. Например, в текущем (високосном) 2008 г. весеннее равноденствие произошло 20 марта в 5^ч 50^м UT.

Луна же пересекает небесный экватор дважды за каждый свой оборот по орбите, т.е. примерно два раза в месяц. И каждое пересечение совпадает с моментом её восхода (или захода) в каких-то пунктах Земли. С другой стороны, в моменты равноденствий Луна может находиться в любой точке своей орбиты, в том числе весьма далеко от небесного экватора. Восходить примерно на востоке и заходить примерно на западе 21 марта и 23 сентября Луна будет только в фазе полнолуния (и новолуния).

Кроме того, и Солнце, и Луна перемещаются по небесной сфере: Солнце смещается на один свой поперечник примерно за половину суток, а Луна – за час. Поэтому если Солнце (и тем более Луна) взошло точно на востоке, зайти точно на западе оно никак не может.

5. В созвездии Тельца Солнце бывает в июне. Во второй половине мая Телец не бывает виден на фоне вечерней зари, а вот в конце апреля и начале мая его (и тем более расположенную в нём планету) можно видеть по вечерам в западной части неба. Козерог и Водолей в апреле появляются над горизонтом перед рассветом, а в мае – около 2–3 часов ночи. Итак, описано начало мая.

Вычислить год, в котором происходит действие повести, можно, если знать (помнить или найти данные в астрономическом календаре) расположение планет. Юпитер обращается вокруг Солнца за 12 лет и в каждом зодиакальном созвездии проводит примерно год. В 2008 г. он находится в Стрельце, в Козероге будет в 2009 г. Нам подойдут 1997-й, 1985-й, 1973-й, 1961-й и более ранние годы.

Сатурн обращается вокруг Солнца примерно за 29,5 лет и в каждом зодиакальном созвездии проводит в среднем по два с половиной года. В этом и в прошлом году Сатурн был во Льве, маленького Рака пересёк в 2006 г., Близнецов – в 2004–2005 гг. и последний раз наблюдался в Тельце в 2002–2003 гг. Нам подойдут также 1972–1974-й, 1943–1944-й и более ранние годы.

Таким образом, последний раз Юпитер и Сатурн располагались так, как описал автор повести, в 1973 г.

Примечание. Из-за быстрого перемещения Марса определить его положение на небесной сфере в 1973  г. только путём логических рассуждений (без точных расчётов) невозможно. Однако моделирование с помощью электронного планетария RedShift4 показало, что в мае 1973 г. Марс (как и Юпитер с Сатурном) действительно располагались среди звёзд именно так, как описано в повести.

6. Зависимость всех вышеперечисленных поправок имеет периодический характер с периодами обращения Земли вокруг Солнца, вращения Земли вокруг своей оси и обращения Луны вокруг Земли, т.е. соответственно T₁ = 365,25 сут., T₂ = T₁/(T₁+1) = 0,99727 сут. и T₃ = 27,322 сут.

Максимальное значение лучевой скорости за счёт движения Земли вокруг Солнца ₁ = 2a/T₁, где а – 1 а.е., T₁ = 365,25 · 24 · 60 · 60
 3,156 · 10⁷ с, т.е. численно:

₁ = 6,283 · 1,496 · 10¹¹ м / (3,156 · 10⁷ с) = 29,8 км/с.

Максимальное значение лучевой скорости за счёт вращения Земли относительно собственной оси достигается на экваторе и равно
₂ = 2R/T₂, где R – экваториальный радиус Земли, T₂ = 60 · 60 · 24 · 365,25/366,25  86 164 с (обратите внимание: не солнечные, а звёздные сутки). Численно

₂ = 6,283 · 6378 км/86164 с = 0,465 км/с = 465 м/с.

Максимальное значение лучевой скорости за счёт движения Земли относительно центра масс системы Земля–Луна ₂ = 2d/T₃, где d – расстояние между центром Земли и барицентром (центром тяжести) системы Земля–Луна, T₃ = 27,322 · 24 · 60 · 60  2,361 · 10⁶ с. Отношение массы Луны к массе Земли М_Л/M_З = 0,01230. Расстояние от Земли до Луны D = 384 400 км. Из выражения для центра масс M_d = m(D – d) находим d = D/(1 + M_З/M_Л) = 4671 км. Численно

₃ = 6,283 · 4671 км/2,361 · 10⁶ с = 0,01243 км/с = 12,43 м/с.

Как видим, все поправки могут существенно превышать 1 м/с, поэтому все их нужно учитывать.

Примечание. Все данные для решения задачи следует брать из справочных данных о Солнечной системе, выдаваемых школьникам отдельно.

2. По графику можно найти, что звёздная величина кометы изменилась с 17^m до 2^m, т.е. уменьшилась на 15^m. Значит, блеск кометы увеличился в 10⁶ раз. Поскольку комета светит только отражённым от Солнца светом и за двое суток расстояние от неё до Солнца и Земли не изменились, это означает, что площадь отражающей поверхности увеличилась в 10⁶ раз.

Для оценки будем считать, что ядро с характерным размером R₀ распалось на N осколков c характерным размером R₁. Итак, общий объём частиц не изменился: N · V₁ = V₀, а площадь поверхности увеличилась в миллион раз: N · S₁ = 10⁶ · S₀. Объём пропорционален кубу размера частиц, поэтому N · R₁³ = R₀³, а площадь поверхности пропорциональна квадрату размера частиц, поэтому N · R₁² = 10⁶ · R₀².

Из этих двух уравнений получаем: R₁ = 10^–6 · R₀; N = = 10¹⁸. Таким образом, ядро кометы распалось примерно на 10¹⁸ осколков размером в одну миллионную от первоначального размера.

Задача оценочная, поэтому бльшая точность неуместна. Также можно пренебречь тем, что некоторые частицы затеняют другие.

3. Планет в нашей Солнечной системе 8. И вокруг каждой из них может обращаться по эллиптической орбите космический корабль, причём с периодом 2 = 10 суток. При движении вокруг любой планеты при прохождении перицентра орбиты угловой размер планеты может составлять _P = 7,4°, а при прохождении апоцентра _A = 2,9°. Так как же определить планету?

Всё дело в том, что по данным в условии величинам можно найти среднюю плотность планеты. А плотности у всех планет разные. Обозначим радиус планеты через r. Тогда большая полуось орбиты космического корабля:

Согласно III закону Кеплера, период обращения нашего космического корабля (T = 2 = 10 суток) равен периоду обращения тела, движущегося по круговой орбите с такой же большой полуосью, т.е. радиус орбиты R равен a = 27,5r.

Рассмотрим движение тела по такой орбите. Центростремительное ускорение, с одной стороны, равно ²/R = 4²R/T², с другой – GM/R².

Поэтому откуда масса

Объём планеты V = 4R³/3.

Плотность планеты

Примечание. Если пользоваться приближениями

Вычисления дают = 3,94 · 10³ кг/м³. Такую плотность имеет Марс.

Заметим, что в этой задаче нужно точно и аккуратно всё подсчитать. Неточные подсчёты могут привести к принципиальной ошибке в определении планеты.

4. Ускорение силы тяжести:

откуда

Сравнивая с Землёй, получаем, что радиус изменённой Луны R_Л должен соотноситься с радиусом Земли R_З, как т.е. R_Л = 0,111R_З 710 км.

Площадь её поверхности S_Л = 4R_Л² 6,3 · 10⁶ млн кв. км, что можно сравнить с площадью государств, занимающих на Земле 2–8-е места: Канадой (10,0), Китаем (9,6), США (9,4), Бразилией (8,5), Австралией (7,7), Индией (3,3) и Казахстаном (2,7).

1. Сегодня (16 февраля) действует зимнее время, поэтому показания часов жителей опережают всемирное время на 3 ч. Местное среднесолнечное время совпадает с московским на меридиане 45° восточной долготы, проходящим по территории Нижегородской области приблизительно через пункты Варнавино–Макарьево–Починки. В период, когда действует зимнее время, местный (среднесолнечный) полдень на этом меридиане наступает ровно в 12 : 00 по московскому времени. Однако в условиях задачи речь идёт о верхней кульминации истинного Солнца, которая, как правило, не совпадает с местным полднем. Разница между истинным солнечным и среднесолнечным временем описывается уравнением времени: T_и = T_C + , где T_и – истинное солнечное время, T_С – среднесолнечное время, – параметр уравнения времени, который далее называется просто уравнением времени, как это принято у астрономов. По кривой уравнения времени определим, что 16 февраля значение близко к максимуму и составляет примерно +14 мин. (Наибольшее значение +14,3 минуты было 11 февраля.) Это означает, что истинное Солнце сегодня пересечёт небесный меридиан на 14 мин позже местного полудня, и в 12 : 00 по московскому времени это произойдёт на меридиане, лежащем на 14/60 · 15° = 3,5° восточнее меридиана 45°, т.е. на меридиане 48° 30' в.д.

Обратившись к карте, убедимся, что самая восточная точка Нижегородской области имеет (с точностью до четверти градуса) долготу 47° 45'. Следовательно, на территории области пунктов, в которых сегодня в 12 : 00 по московскому времени Солнце будет точно на юге, нет.

Для ответа на второй вопрос задачи нам нужно учесть уравнение времени в тот период года, когда действует зимнее время. (Период, когда действует летнее время, мы исключаем из рассмотрения сразу, потому что тогда местное время будет совпадать с московским на долготе 60°, это далеко за пределами Нижегородской области, и никакие поправки уравнения времени нас не спасут.) Зимнее время действует с конца октября до конца марта, и внутри этого интервала уравнение времени принимает как положительные, так и отрицательные значения.

По карте определяем, что Нижегородская область находится приблизительно (с точностью до четверти градуса) между 41° 45' и 47° 45' в.д. Поэтому истинный полдень будет совпадать с 12 : 00 московского времени в одном из пунктов на территории области при значениях уравнения времени от –13 до +11 минут (–3° 15' и + 2° 45' в градусной мере соответственно). В период действия зимнего времени такие значения принимает (примерно) с 25 ноября по 20 января и после 8 марта.

4. См. решение задачи 4 для 9-го класса. По дополнительному вопросу про блеск изменённой полной Луны: площадь отражающей поверхности уменьшится в (1738/710)² 6 раз, звёздная величина увеличится почти на 2^m (точнее, на 2,5^m lg6 = 1,94^m) и составит около –10,8^m.

5. Очевидно, работа будет равна разности полных энергий Венеры на старой и новой орбитах: A = E₂ – E₁.

Полная энергия тела массой m, обращающегося по круговой орбите радиусом R вокруг тела массой M, может быть найдена как сумма кинетической и потенциальной энергий тела: E = m²/2 – GMm/R .

Приняв во внимание, что скорость тела на круговой орбите равна

Вычтем из энергии Венеры на новой орбите её энергию на прежней орбите и получим искомую работу:

Взяв величины M, m, R₂ и R₁ из таблицы справочных данных, получаем численно:

A = –6,67 · 10^–11 · 1,99 · 10³⁰ · 4,87 · 10²⁴/2 [(1/1,496) · 10¹¹ – (1/1,082) · 10¹¹] = 8,26 · 10³² Дж.

Теперь надо сравнить это большое число с энерговыделением Солнца. Мощность Солнца L = 3,86 · 10²⁶ Вт, значит, 0,1% от этой величины, которая пойдёт на изменение орбиты Венеры, равна 3,86 · 10²³ Вт. Энергия 8,26 · 10³² Дж при такой мощности накопится за
8,26 · 10³²/(3,86 · 10²³) = 2,14 · 10⁹ c, т.е. примерно за 68 лет. Не так уж и долго.

6. Лошадиные силы на квадратную версту – это мощность на единицу площади, величина, по размерности аналогичная солнечной постоянной. В физике она правильно называется плотностью потока мощности. Здесь же в условии написано так, как говорили об этой величине в XIX в. применительно к солнечной энергии.

Энерговыделение Солнца не изменилось с тех пор: L = 3,86 · 10²⁶ Вт/(735,5 Вт/л.с.) = 5,25 · 10²³ л.с.

Расстояние от Солнца до Земли также не менялось: a = 1 а.е. = 1,496 · 10¹¹ м/(3 · 500 · 0,7112 м/врст) = 1,402 · 10⁸ вёрст.

Таким образом, солнечная постоянная в единицах XIX в. равна:

A = L/(4a²) = 5,25 · 10²³ л.с./[4(1,402 · 10⁸ врст)²] = 2,12 · 10⁶ л.с./врст².

Нижегородский уезд в середине XIX в. находился на той же широте, что и город Нижний Новгород в начале XXI в., т.е. примерно на широте 56,3° (определяем это по карте). Практически не изменилась с тех пор и величина 23,5° – наклонение плоскости экватора к эклиптике (вообще-то уменьшилось примерно на одну угловую минуту).

Таким образом, в полдень XIX в. Солнце в Нижнем Новгороде находилось в дни зимнего солнцестояния на высоте около  
h_з = 90° – 56,3° – 23,5° = 10,2°, весной и осенью – на высоте около h₀ = 90° – 56,3° = 33,7°, в дни летнего солнцестояния – на высоте h_л = 90° – 56,3° + 23,5° = 57,2°.

При высоте Солнца h на единицу территории в единицу времени падает излучение мощностью W = A · sin h.

Таким образом, искомая величина есть:

– зимой W_з = Asinh_з 380 000 л.с. / врст²;

– весной и осенью W₀ = A sinh₀ 1 180 000 л.с./ врст²;

– летом W_л = Asinh_л 1 780 000 л.с./ врст².

А какова же интенсивность солнечной энергии (в физике правильнее говорить просто мощность), падавшей в то время на одну лошадь? Эта величина в бльшей степени зависит от ориентации лошади по отношению к солнечным лучам, чем от высоты Солнца над горизонтом. Примем, что площадь сечения лошади, перпендикулярного солнечным лучам, равна 1–2 арш² (в зависимости от той самой ориентации) и пересчитаем величину солнечной постоянной в лошадиные силы на один квадратный аршин.

Расстояние от Солнца:

a = 1 а.е. = 1,496 · 10¹¹ м/ 0,7112 м/арш = 2,10³ · 10¹¹ арш.

Солнечная постоянная в таких единицах:

A = L/(4a²) = 5,25 · 10²³ л.с./[4(2,10³ · 10¹¹ арш)²] = 0,94 л.с./арш².

Таким образом, лошадь, стоящая на солнце, получает порядка одной-двух лошадиных сил солнечной радиации. Вот как! Этому можно удивиться!

Примечание. В решении задачи невольно подчёркивается, что некоторые физические параметры не изменились за последние полтора века: солнечная постоянная, расстояние от Земли до Солнца, широта местности, наклонение плоскости экватора к эклиптике. Полезно дать дополнительные баллы тем школьникам, которые отметят это постоянство.

11-й класс

2. Для оценки мощности фонарей сравним их с каким-нибудь источником света, характеристики которого известны, например, с Солнцем, данные о котором есть в сопроводительных таблицах. Видимая звёздная величина Солнца –26,8^m, следовательно, освещённости от Солнца и от фонаря относятся, как   Е_с/Е_ф = (2,512)^m(ф)–m(C) = 2,512⁶ – (–26,8) = 2,512^32,8 = 1,3 · 10¹³.

Теперь учтём, что освещённость от источника прямо пропорциональна его мощности и обратно пропорциональна квадрату расстояния до него:

Е_С/Е_ф = (L_C/r_C²)/(L_ф/r_ф²) = (L_C/L_ф) · (r_ф/r_C)² ; L_ф = L_C · (Е_ф/Е_с) · (r_ф/r_C)² .

По фразе «где берега уже едва видны» можно предположить, что расстояние от баржи до пристани есть расстояние до горизонта, видимого с баржи, т.е. примерно 5–10 км.

Для 5 км получаем:

L_ф = 3,86 · 10²⁶ Вт/(1,3 · 10¹³) · [5 км/(1,5 · 10⁸ км)]² = 0,03 Вт.

Для 10 км:

L_ф = 3,86 · 10²⁶ Вт/(1,3 · 10¹³) · [10 км/(1,5 · 10⁸ км)]² = 0,13 Вт.

В любом случае очевидно, что поэт ошибся, оценивая звёздную величину огней у пристани.

4. Галактика удаляется со скоростью, пропорциональной постоянной Хаббла H = 75 км/(с · Мпк) и расстоянию до галактики R: = HR. Свет от неё идёт до нас в течение времени t = R/c. За это время галактика удалится от нас на расстояние s = t = HR²/c.

Следовательно,

Обратите внимание на то, что мы не переводили мегапарсеки и километры в метры, а пользовались внесистемными единицами. Часто так поступать удобнее.