Задачи, тесты

Давление. Сила Архимеда

Элементы гидро- и аэростатики школьники изучают сегодня в 7-м классе, когда они не имеют ещё достаточно серьёзной математической подготовки. В старших классах этой темой, как правило, систематически не занимаются, а в ЕГЭ выпускник встречается с достаточно сложными задачами по упомянутому разделу физики. Чтобы облегчить подготовку к ЕГЭ и ГИА, я подобрал задачи из разных источников, некоторые составил сам и расположил их по мере возрастания сложности. Думается, что предлагаемая подборка окажется полезной тем, кто хочет глубже изучить названную тему, но не имеет времени, чтобы выбирать задачи из разных книг. Материал собирался долго, но, к сожалению, восстановить точно источник каждой задачи я сейчас не смогу, поэтому даю все источники списком. Приношу свои извинения авторам.

 

Литература

1. Капица П.Л. Понимаете ли вы физику? М.: Знание, 1968.
2. Коган Б.Ю. Сто задач по физике. М.: Наука, 1986.
3. Слободецкий И.Ш., Асламазов Л.Г. Задачи по физике. М.: Наука, 1982.
4. Слободецкий И.Ш., Орлов В.А. Всесоюзные физические олимпиады. М.: Просвещение, 1982.
5. Гольдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике. М.: Высшая школа, 1982.
6. Баканина Л.П., Белонучкин В.Е., Козел С.М., Калачевский Н.Н., косоуров Г.И., Мазанько И.П. Сборник задач по физике. М.: Наука, 1971.

 

1. Почему сосиски при варке лопаются вдоль, а не поперёк?

Решение. Выделим мысленно полоску кожуры сосиски площадью S₁ вдоль её оси (левый рисунок) и такой же ширины площадью S₂ в поперечном направлении (правый рисунок).

При варке внутри кожуры вследствие диффузии накапливается жидкость, давление которой растёт с повышением температуры, если кожура целая. По закону Паскаля, это давление одинаково на все участки кожуры (высотой жидкости в сосиске пренебрегаем из-за её малости). Сила давления жидкости на продольную полоску F₁ = pS₁ больше, чем на поперечную, F₂ = pS₂ (т. к. S₁ > S₂), что и приводит к продольному разрыву сосиски.

 

2. Оцените, на какой максимальной глубине можно разместить дно бака для хранения керосина при нормальных условиях, если предполагается, что наверх горючее будут подавать при помощи всасывающего насоса. Плотность керосина 800 кг/м³.

Решение. Всасывающий насос поднимает жидкость за счёт атмосферного давления на свободную поверхность жидкости, поэтому давление поднятого столба керосина не может быть больше нормального атмосферного давления р_а = 101 300 Па.

В связи с этим максимальное давление керосина р_мк = р_а = ρgh_м, где h_м – максимальная высота подъёма керосина, а значит, и наибольшая глубина расположения дна бака.

Находим h_м = р_а /ρg и вычисляем его значение:

h_м = 101 300 Па/(800 кг/м³ · 9,8 м/с²) ≈13 м.

 

3. Рассчитайте приблизительно вес атмосферы Земли. Необходимые данные найдите сами в справочниках и учебниках.

Объём цилиндра V = Sh (S – площадь дна, h – высота);

объём шара V = (4/3)πR³ (R – его радиус);

площадь круга S = πR² (R – его радиус),

площадь поверхности шара S = 4πR² (R – его радиус).

Решение. Вес атмосферы Земли есть сила давления атмосферы на поверхность земного шара:

F_д = р_а · S_З, где S_З = 4πR_З² – площадь земной поверхности, R_З – радиус Земли. Отсюда F_д = р_а · 4πR_З².

Подставляя числовые значения, получаем:

F_д =101 300 Па · 4 · 3,14 · (6 370 000 м)² ≈ 5 · 10¹⁹ Н.

 

4. Сосуд, предельно наполненный водой, висит на динамометре. Изменится ли показание динамометра, если в воду опустить гирю, подвешенную на нити, не касаясь дна?

Решение. На гирю, погружённую в воду, действует сила Архимеда, направленная вверх и равная по модулю весу вытесненной воды. По третьему закону Ньютона, гиря будет давить на воду с такой же силой, что компенсирует убыль веса воды. Показание динамометра не изменится.

 

5. В нешироком тазике с водой плавает банка, в которой лежит гирька. Изменится ли уровень воды в тазике, если гирьку вынуть из банки и бросить в тазик? Если изменится, то как?

Решение. Пока гирька плавает, находясь в банке, вес вытесненной банкой воды равен весу и банки, и гирьки. Когда гирька утонет, вес вытесненной ею воды окажется меньше веса гирьки. Общий объём вытесненной воды уменьшится, и уровень воды в тазике понизится.

 

6. Одна бутылка целиком заполнена водой, а другая – ртутью. Утонет ли бутылка с водой, если её опустить в воду? Утонет ли бутылка со ртутью, если её опустить во ртуть?

Решение. Бутылка с водой в воде утонет, поскольку средняя плотность стекла больше плотности воды. Бутылка со ртутью станет плавать на поверхности ртути, т. к. средняя плотность стекла меньше плотности ртути.

 

7. Вес куска железа, целиком погружённого в воду, равен 1,670 Н. Каков его объём?

Решение. Вес куска железа в воде Р = mg – F_А, где mg = ρ_жVg – сила тяжести куска железа, ρ_ж – плотность железа, V – объём железа и вытесненной им воды, g – ускорение свободного падения, F_А = ρ_вVg – сила Архимеда, ρ_в – плотность воды.

отсюда получаем Р = ρ_жVg – ρ_вVg и, подставив числовые данные, получаем:

 

8. Полый чугунный шар массой 5 кг плавает в воде, погрузившись наполовину. Каков объём полости в шаре?

Решение. Шар плавает, значит, сила его тяжести m_ч g = F_А, где m_ч – масса чугуна в шаре, F_А = ρ_вV_пч g – сила Архимеда, V_пч = 0,5 V – объём погружённой части шара, равный половине его полного объёма V.

Объём чугуна значит, объём полости

Подставив числовые данные, получаем

 

9. Вес тела в воздухе Р₁ = 5 Н, а в воде Р₂ = 3 Н. Определите плотность вещества тела. Силу Архимеда в воздухе не учитывать, принять g = 10 м/с².

Решение. Вес тела в воздухе Р₁ = mg, вес тела в воде Р₂ = mg – F_А, сила Архимеда F_А = ρ_вVg, искомая плотность ρ_х = m/V.

Объединяя все формулы, получаем:

Подставив числовые данные, получаем 2500 кг/м³.

 

10. Вес тела в воде втрое меньше, чем в воздухе. Какова плотность вещества тела?

Решение. В обозначениях, принятых в предыдущей задаче, Р₁ = Р₂/3.

Тогда ρ_х = (3/2)ρ_в, ρ_х = 1500 кг/м³.

 

11. Бетонная плита длиной 10 м, шириной 2 м 27 см и толщиной 10 см лежит на неровном дне озера глубиной 3 м. Какую работу необходимо совершить, чтобы равномерно поднять её в горизонтальном положении на борт судна, который возвышается над поверхностью воды на 2 м? Плотность бетона 2200 кг/м³.

Решение. Работа совершается силой упругости троса, равной при равномерном подъёме плиты F_упр = mg – F_А. Она складывается из работы A₁ = (mg – ρ_вVg) h₁ по поднятию плиты в воде на высоту h₁, когда архимедова сила значительна, и работы A₂ = mg · h₂ по поднятию плиты в воздухе на высоту h₂, когда этой силой можно пренебречь. Масса плиты m = a · b · c · ρ_б, где a, b, c – размеры плиты, ρ_б – плотность бетона. После простых преобразований получаем:

А = gV[ρ_б (h₁ + h₂) – ρ_вh₁].

Подставив числовые данные, получаем:

А = 9,8 · 10 · 2,27 · 0,1 [2200 · 5 – 1000 · 3] ≈ 178 150 Дж.

 

12. Чтобы проверить, имеет ли воздух вес, Аристотель сначала взвесил пустой бурдюк (воздухонепроницаемый кожаный мешок), а затем надул его воздухом и снова взвесил. Оказалось, что в обоих случаях вес одинаков. Отсюда был сделан вывод, что воздух невесом. В чём ошибка в выводе Аристотеля? Учтите, что измерения им были произведены достаточно точно.

Решение. При надувании у бурдюка изменяется не только вес за счёт добавления воздуха, но и объём, а значит, и сила Архимеда, компенсирующая увеличение веса: если оболочка тонкая, то объём и вес вытесненного бурдюком атмосферного воздуха равны объёму и весу воздуха в бурдюке. Чтобы заметить изменение веса сосуда при добавлении в него воздуха, объём сосуда не должен изменяться, чтобы не изменилась сила Архимеда. Этого Аристотель не учёл.

 

13. На одной железнодорожной платформе находятся дрова массой 10 т, а на другой – железо массой 10 т. Какая из платформ сильнее давит на рельсы?

Решение. Сильнее давит на рельсы платформа с железом: его плотность больше, а объём меньше, чем у дров. Поэтому на железо действует меньшая выталкивающая (архимедова) сила атмосферы.

Продолжение следует