Абитуриенту

МЭИ(ТУ)-2008/09: Олимпиадные задачи по физике

Представлены условия и решения некоторых задач, которые предлагались на олимпиадах по физике в Московском энергетическом институте (техническом университете) в 2008/09 уч.г. Олимпиада имела высший уровень, позволявший при успешном выполнении всех заданий, поступить на первый курс. Приведённые задачи охватывают практически все разделы физики, изучаемые в школе, и позволяют оценить уровень требований на олимпиадах по физике в МЭИ (ТУ). Заметим, что часть представленных решений задач приведена без рисунков, поясняющих решение. При проработке задач необходимые для решения рисунки выполните самостоятельно.

Задача 1

Когда катится колесо, то верхние спицы часто сливаются, а нижние видны отчётливо для наблюдателя. Почему?

Решение

Наблюдаемое явление связано с разной скоростью верхних и нижних спиц с точки зрения наблюдателя, стоящего на земле. Действительно, т.к. колёса велосипеда вращаются без проскальзывания, то скорость нижних спиц вблизи земли близка нулю. С другой стороны, часть скорости верхних спиц связана с вращением колеса (υ = ωr, где ω – угловая скорость вращения колеса, а r – расстояние точки спицы от оси), а другая часть – с поступательным движением велосипедиста. Так как для точек верхних спиц обе составляющие их скорости сонаправлены, скорость этих точек всегда превышает поступательную скорость велосипедиста. При езде с достаточно большой скоростью верхние спицы могут сливаться для наблюдателя.

Задача 2

В каком случае выпавший из окна вагона предмет упадёт на землю раньше: когда вагон стоит на месте, или когда он движется?

Решение

В системе отсчёта вагона оба случая совпадают. Действительно, предмет падает вертикально вниз с ускорением g, а расстояние от точки бросания до земли (обозначим его h) не меняется со временем. В обоих случаях время полета t найдётся из уравнения Соответственно время падения предмета в обоих случаях одинаково.

Задача 3

Два тела массами m₁ = 0,5 кг и m₂ = 0,2 кг, связанные невесомой нерастяжимой нитью, движутся по гладкой горизонтальной поверхности. под действием горизонтальной силы F = 1.4 Н, приложенной к телу массой m₁. Определите ускорение тел и силу натяжения нити.

Решение

Так как, по условию, горизонтальная поверхность гладкая, то силой трения можно пренебречь, а ускоре­ние, обозначим его a, направлено горизонтально. Далее, на составное тело, состоящее из первого и второго тел и нити, действует единственная горизонтальная внешняя сила F, создающая ускорение (силы тяжести и реакции опоры направлены вертикально и не могут создать горизонтального ускорения). Масса составного тела (по условию, нить невесома) составляет m₁ + m₂. Тогда, по второму закону Ньютона, можно записать (m₁ + m₂)а = F, откуда

Для тела массой m₂ внешней горизонтальной силой является сила натяжения T, а его ускорение в силу нерастяжимости нити равно также a (отметим, что в силу невесомости нити сила T постоянна по длине нити). Соответственно имеем:

Задача 4

Брусок массой m = 5 кг движется равномерно по горизонтальной плоскости под действием силы F = 10 Н, приложенной вверх под углом α = 60° к горизонту. Определите коэффициент трения между бруском и плоскостью.

Решение

По условию задачи, брусок движется равномерно, т.е. без ускорения. В этом случае, по второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к бруску, равна нулю:

mg + N + F + F_тр = 0, где N – нормальная составляющая силы реакции опоры. Искомый коэффициент трения обозначим μ.

По определению, коэффициент трения Из рисунка видно, что

Задача 5

Маленький шар подвешен на нити длиной l. Шар вращается равномерно по кругу в горизонтальной плоскости. Система находится в лифте, который поднимается с ускорением a. Определите период вращения, если нить отклонена от вертикали на угол α.

Решение

Находясь в лифте, шар испытывает как ускорение лифта a, так и нормальное (центростремительное) ускорение a_n из-за вращения. Соответственно второй закон Ньютона имеет вид:

m(a + a_n) = mg + T.

Из рисунка видно, что

Учитывая, что радиус окружности вращения шара R = lsinα, запишем нормальное ускорение через период обращения Т (не следует путать с силой натяжения нити Т):

Подставляя a_n в предыдущее выражение, имеем

откуда и получается ответ:

Задача 6

Определите продолжительность суток на планете, радиус которой в два раза меньше радиуса Земли, масса в восемь раз меньше массы Земли, а пружинные весы на экваторе показывают вес на 1% меньше, чем на полюсе. Принять радиус Земли R_З = 6400 км, а ускорение свободного падения на Земле g_З=10 м/с².

Решение

Для нахождения продолжительности суток на планете (периода обращения вокруг собственной оси) Т = 2π/ω (ω – угловая скорость вращения планеты) запишем второй закон Ньютона для произвольного тела массой m, лежащего на экваторе планеты. Учтём, что, по условию, равнодействующая силы тяжести и реакции опоры (величина последней и есть вес) составляет на экваторе 1% от силы тяжести на полюсе (где нет нормального ускорения и аналогичная равнодействующая равна нулю):

Здесь M_З – масса Земли, G – гравитационная постоянная, R = R_З/2 – радиус планеты.

Из угловой скорости вращения планеты находим её период:

что составляет примерно 0,6 земных суток.

Задача 7

Можно ли натянуть горизонтально канат так, чтобы он не провисал?

Решение

Нет, нельзя. Дело в том, что для равновесия каната действующая на него сила тяжести должна быть уравновешена вертикальными составляющими внешних сил, действующих на концы каната, а значит, эти силы не могут быть горизонтальными. По третьему закону Ньютона, внешние силы, действующие на концы каната в точках крепления, противоположны по направлению к силам натяжения каната в точках крепления, т.е. направлены по касательным к линии каната. Если бы канат не провисал, то действующие на концы каната силы были бы направлены по горизонтали и не смогли бы компенсировать действие вертикальной силы тяжести.