··· Решение задач: примеры, методы, приёмы ···

А.А.НАЙДИН,
МОУ гимназия № 44, г. Новокузнецк, Кемеровская обл.

Математические модели развивают мышление!

Очень хорошее представление о процессе и его закономерностях дают математические модели. Во многих случаях они способствуют более глубокому пониманию закономерностей, раскрывают динамику процесса и связывают воедино разные формы движения материи. В школьном курсе физики мы уже сталкивались с тем, что одно и то же дифференциальное уравнение хорошо описывает и механические колебания маятника, и электромагнитные колебания в контуре. Попробуем эту идею распространить и на другие явления.

Обозначим через х количество карасей в водоёме, а через у – количество щук. Будем считать, что караси аппетитны и размножаются в течение всего года, как и щуки. Тогда скорость изменения ко личества щук в водоёме пропорциональна количеству карасей: а скорость убывания количества карасей в пруду пропорциональна количеству щук:

При х = 1 и t = 1 год изменение числа щук y = a. Другими словами, коэффициент а показывает, какое количество щук в год «производит» один карась (например, а = 0,1 год^–1). В свою очередь, коэффициент b показывает, на сколько уменьшается популяция карасей в пруду за год благодаря одной щуке, и вполне может быть равным 100 год^–1.

Решая систему двух уравнений, получаем y" = ax' = –(ab)y – уравнение, описывающее гармонический колебательный процесс c периодом

Из формулы следует, что чем выше аппетит щук и привлекательность карасей, тем меньше период колебаний численности их популяции в водоёме. Подставляя в формулу для периода колебаний оценочные значения коэффициентов а и b, получим, что период колебаний их численности в пруду порядка 2 лет.

Попробуем выяснить, как изменится период колебаний, если, например, караси будут нереститься только один месяц в году. Тогда коэффициент а уменьшится в 12 раз, а период колебания возрастёт в   раз и, по нашим оценкам, составит 7 лет, что вполне реально.

Теперь попробуем выяснить, от каких ещё факторов зависит коэффициент а. Естественно допустить, что чем больше карасей в пруду, тем меньше для них пищи, поэтому караси будут мелкими, а коэффициент а уменьшится. Допустим, что он обратно пропорционален х. Тогда и y = kt + у₀, где у₀ – количество щук в начальный момент времени. Из последнего уравнения видно, что это количество будет увеличиваться линейно. Посмотрим, как это отразится на популяции карасей:   где х₀ – количество карасей в пруду в начальный момент времени. Ясно, что популяция карасей начнёт катастрофически уменьшаться. Это приведёт к прекращению роста коэффициента а (карасей теперь трудно поймать) и соответственно к катастрофическому уменьшению количества щук в пруду.

Приведённый пример иллюстрирует достоинства математических моделей, которые могут быть «жёсткими» и давать однозначное решение, а могут и допускать (в зависимости от начальных условий) другие решения задачи. Эти решения позволяют глубже понять динамические свойства описываемой системы и предсказать её поведение на ближайшую перспективу. Исследование модели по силам ученику средней школы и вызывает у него интерес.

Такие модели всегда полезны тем, что учат выделять главное, отсекать несущественное, развивать модель так, чтобы она полнее отражала реальный процесс или объект материального мира. Полезно и то, что ученики, имея дома компьютер, могут построить компьютерную модель процесса, совершенствовать её, приобщаясь, таким образом, к важнейшему процессу моделирования явлений и объектов материального мира. Ведь «строить» модели им придётся всю жизнь: модель школы, модель поведения, модель процесса, экономическую модель и т.п. Пожелаем им на этом пути успехов! Пусть развивается творческая личность, способная не только хорошо говорить, но и созидать!

Анатолий Анатольевич Найдин – заслуженный учитель РСФСР, лауреат VIII всесоюзных педагогических чтений (1988); всесоюзных фестивалей «Современный урок физики» и «Воспитываем таланты»; всероссийских конкурсов «Педагогические инновации» (2001, 2002, 2004, 2007) – три медали Януша Корчака; победитель всероссийского конкурса «Учитель-исследователь-2004», проводимого фондом некоммерческих программ «Династия»; областного конкурса «Педагогические таланты Кузбасса» (2003); областного конкурса методических разработок, программ и учебников (2001); конкурса «Лучшие учителя России» (2006).