А.А.Князев,
Лицей прикладных наук, г. Саратов
knf@sgu.ru

Демонстрации и численные оценки

Ученические проекты. 10-й класс. Профильный курс

1. Предварительно напряжённые удары

Все представленные эксперименты демонстрируют эффекты получения телами от лёгкого толчка необычно (на первый взгляд) большой скорости. Взглянув пристальнее, мы обнаруживаем, что эти тела входят в систему тел, где действует механизм относительно медленного накопления кинетической энергии (или энергии упругого взаимодействия). Именно с его помощью вся накопленная энергия и сообщается демонстрируемому телу в импульсе (в течение короткого промежутка времени).

Задача о пружине

Два тела массами m1 и m2 соединены недеформированной пружиной и лежат на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения о поверхность равен для каждого тела. На первое (переднее) тело начинает действовать постоянная сила F. Каким должно быть минимальное значение этой силы, чтобы второе тело сдвинулось с места?

Если бы не было пружины, то ответ получился бы сразу, без динамических уравнений – одним статическим равенством: F = m1g + m2g.

Суть в том, что на второе тело действует не сила натяжения нити, а сила растягивающейся пружины. Говорят: пружина предварительно накапливает энергию. Как описать такую ситуацию? Будем записывать только бесспорное (очевидное). Так, очевидно, что, после того как переднее тело начало движение, оно должно пройти такой путь s, чтобы пружина натянулась до выполнения условия

Запишем теорему о кинетической энергии; теперь в неё кроме работы силы F и работ сил трения войдёт и работа силы упругости пружины (вот как учтено накопление энергии!):

Здесь учтено, что к моменту начала движения A2 = 0, а также то, что для получения минимального значения силы F движение второго тела должно происходить с пренебрежимо малой скоростью, т.е. Теперь подставим 

Ускоритель Гюйгенса, или Щелчок кнутом

Такой эффект обсуждался Христианом Гюйгенсом, по-видимому, в конкурсной работе Лондонского королевского общества 1668 г. «О движении тел под действием удара». Идея опыта: вдоль длинного тонкого горизонтального стержня скользят один за другим и последовательно упруго сталкиваются несколько шаров убывающей массы. В результате, опуская промежуточные удары, назначение которых замедлить более массивный в каждом случае шар, можно не выписывать всю цепочку ударов, а сравнить состояния системы в моменты начала движения первого (тяжёлого) и последнего (лёгкого): Видно, что лёгкий шар может существенно ускориться из-за соотношения масс, даже если скорость, первоначально сообщённая первому шару, невелика. Этот эффект для случая щелчка кнутом достаточно хорошо описан, например, в [1] – тот же механизм и та же формула работает для объяснения эффекта разгона кончика бича при достаточно умеренном толчке, сообщённом его утолщённой части.

Из-за отсутствия бича мы выбрали сложенный вдвое ремень. Звук получается тем мощнее, чем массивнее ремень, – кинетическая энергия всей изогнутой первоначально пластины ремня посредством встречного волнового движения передаётся центральному элементу этого ремня, масса которого в последние мгновения составляет малую долю всей массы пластины. При этом основная часть пластины ремня теряет поперечную скорость по мере сближения встречных волн – продольная скорость увеличивается при уменьшении массы оставшейся части ремня. Такой эффект часто называют кумулятивным. Благодаря ему, например, резко выхлёстывается вода из-под подошвы ботинка, если им легко шлёпнуть по луже.

Подпрыгивающий шар

Идея опыта: вдоль вертикальной струны соскальзывают вниз один за другим два шара, разделённые набольшим промежутком а. Нижний шар имеет большую массу. Удивляет, как неожиданно высоко подпрыгивает при столкновении лёгкий верхний шарик. Оценим, на какую высоту он подскочит, если нижний перед ударом об пол имел скорость , а удары можно считать абсолютно упругими.

Из условия ясно, что первый шар отскакивает от пола с той же скоростью, какую имел перед ударом, а следующий (имея такую же скорость) сталкивается уже с движущимся навстречу шаром (намного более массивным). Для этого случая известно, что если верхний шар имеет скорость , а нижний – скорость u, то нижний, отскакивая, приобретает скорость + 2u. Этой скорости хватит для того, чтобы подняться на высоту

Здесь учтено, что . Для сравнения скажем, что при простом упругом ударе, без участия промежуточного тела, шарик отскочил бы на высоту H0. Интересно, что точное соотношение масс мало влияет на результат, важно только, чтобы массы сильно различались.

Для демонстрации мы выбрали наиболее удачный, на наш взгляд, вариант реализации эффекта, предложенный (и чуть более подробно описанный) в [2]. Наша находка – укороченный направляющий стержень (часть стержня от шариковой авторучки), который сводит к минимуму возможность нецентрального удара и отклонения от движения шара по вертикали после отскока. Нижний шар литой, а верхний – полый, для пинг-понга. При других вариантах постановки опыта, например, при движении по натянутой струне, возбуждаются интенсивные поперечные колебания, и шары теряют кинетическую энергию из-за работы силы трения.

Прыгающая мембрана

Идея опыта: по рассказам, мексиканские бобы, нагреваясь на солнце или на сковородке, начинают неожиданно высоко подпрыгивать [тот же эффект наблюдается и при поджаривании поп-корна. – Ред.]. Возьмём упругий полый мяч и разрежем его на две половинки. Теперь одну из них начнём уменьшать, аккуратно срезая по периметру и выворачивая оставшуюся часть наизнанку. Вначале вывернутая оболочка остаётся в этом положении как угодно долго. Однако, если края срезаны достаточно сильно, то она сразу же выворачивается в исходное положение. Значит, для данной оболочки существует некоторый критический размер, при котором она скачком теряет устойчивость к деформации (говорят: происходит катастрофа [3]). Изготовим из второй половинки предкритическую оболочку. Если её вывернуть и легко уронить (с малой высоты) на гладкую жёсткую поверхность, то за счёт энергии удара произойдёт катастрофа: оболочка вывернется в исходное положение и высоко подпрыгнет за счёт высвободившейся энергии деформации. При этом высота подпрыгивания существенно превзойдёт высоту, на которую подпрыгнул бы целый мяч. В нашем опыте часть мяча от большого тенниса массой 12 г подпрыгивала примерно на 60 см и выше при падении с высоты около 20 см. ???При этом амплитуда начальной деформации составляет около 1 см.

На основании этих данных мы оценили из формулы kx2/2 = mgH жёсткость эквивалентной пружины: k ~ 7000 H/м. Это очень сильная пружина! И действительно, дотронувшись до лежащей на столе напряжённой оболочки, можно получить ощутимый щелчок по пальцам.

Скороходы Древнего Китая

Говорят, что китайские скороходы использовали эластичные ускорители. Существуют даже будто бы древние изображения, на которых скороход стреножен у щиколоток, а эластичные «путы» поддерживаются верёвочкой, свисающей с пояса. Любой может убедиться в эффективности такого приспособления, используя, например, аптечный резиновый бинт. Чуть натянув привязанный к щиколоткам (или к коленям) отрезок резины, вы почувствуете, как ваши ноги «выстреливаются» и бегут против воли. Так же быстро бежал, наверное, Маленький Мук, часто перебирая ногами. Особенно быстро, если жёсткость резинового отрезка между туфлями была подобрана так, чтобы возникал резонанс между частотой качания физического маятника (ноги) и частотой резинового пружинного маятника:

Здесь при оценке момента J инерции ноги массой m и длиной l мы воспользовались самой простой моделью массивного стержня, подвешенного за конец. Нужно заметить, что такой способ хорош для размеренного бега на большие расстояния. При экстремально быстром беге резонансные свойства маятника-ноги не используются, и скорость определяется только мощностью мышц. В этом случае эффект усиления невелик, можно лишь запутаться и упасть.

Выкидной нож

Это устройство восхищает неожиданной простотой механизма: лёгкое нажатие, сдвигающее кнопку вперёд, приводит к выбрасыванию пера ножа из щели в торце рукоятки, а такое же смещение кнопки назад заставляет перо мгновенно прыгнуть внутрь. Испытываешь удивление, когда, сняв полую оболочку рукоятки, обнаруживаешь внутри всего одну длинную витую цилиндрическую пружину. Она одна, только растягиваясь и не обладая жёсткостью, достаточной для толчка, работает и на выкидывание, и на втягивание лезвия. Присмотревшись, можно обнаружить, что на обоих концах пружины закреплено по зацепу. Когда мы выталкиваем кнопку толкателя вперёд, пружина закрепляется задним концом и медленно растягивается. При этом задний флажок (клиновидная пластинка толкателя) сдвигает вбок упор «вперёд», фиксирующий зацепление заднего конца пружины. В определённый момент фиксатор срывается, и пружина, сжимаясь вперёд, ударяет по заднему срезу ножа, выталкивая нож из футляра-рукоятки и фиксируя в этом положении с помощью переднего флажка (в упоре «назад»). При сдвигании кнопки назад, аналогичные действия происходят с передним концом пружины.

И здесь небольшого усилия пальцев оказывается достаточно, чтобы натянуть пружину для довольно сильного удара по лёгкому лезвию.*


*Что поделать, оружие конструируют гениальные люди – оно всегда завораживает красотой, простотой, надёжностью. И как-то на второй план уходит его назначение. Но вот предметы быта (мебель, унитазы, телефоны) почти всегда делают специалисты другого уровня – и технологии современные, и цена непомерная, а не работает, ломается. А теперь ещё и не ремонтируется.

Литература

1. Бюргер В. Почему кнутом можно громко щёлкнуть? – Физика («ПС»), 1986, № 5.
2. Жук Л.А. Подпрыгивающие шарики. – Учебная физика, 2003, № 1.
3. Стюарт И. Тайны катастрофы. – М.: Мир, 1987.

Галина Краснова

 


Александр Александрович Князев со своей ученицей Галиной Красновой

Александр Александрович Князев со своей ученицей Галиной Красновой, призёром городских и областных олимпиад по физике и математике (закончила ещё и музыкальную школу)

2. Автогенератор пузырьков

Генератор пузырьков [1] представляет собой две пластиковые бутылки объёмом по 2 л, соединённые горлышками. Через пробки пропущена трубка (прозрачный корпус шариковой ручки) длиной около 140 мм. Место соединения крышек и трубки герметизировано.

Для запуска генератора заливают воду в один из сосудов, соединяют их и перевёртывают сосудом с водой вверх. Вода сразу же начинает выливаться, и в верхний сосуд прорываются первые воздушные пузырьки. Через некоторое время устанавливается режим пульсирующей генерации – свыше 500 пузырьков с периодом следования около 0,4 с, который продолжается до почти полного истечения воды (около 5 мин).

Вода течёт только вниз – за счёт работы силы тяжести. Но движение это пульсирующее, автоколебательное (автономное), аналогично тому, как прерывисто опускается гирька маятниковых часов с помощью анкерного механизма. Здесь движение воды сдерживается на некоторое время давлением воздуха в нижнем сосуде и возобновляется после пробулькивания пузырька и частичного восстановления объёма верхнего сосуда силой упругости его стенок (обратная связь). Характерно, что механизмы поведения системы во время активной фазы выброса пузырька и пассивной фазы его формирования явно различны. Обычно колебания такого вида называют релаксационными (от лат. relaxatio – ослабление). Таковы, например, релаксационные автоколебания скрипичной струны: она относительно медленно натягивается и быстро срывается (звучит).

Для упрощённого описания выделим три явно наблюдаемые стадии: 1) объём жидкости из верхнего сосуда протекает по трубке вниз; 2) объём внутри трубки заполняется воздухом из нижнего сосуда за счёт возникшей из-за вытекшей воды разности давлений; 3) пузырёк воздуха вырывается из трубки и поднимается вверх.

При таком условном разделении явления на три независимых равновесных процесса, период релаксации можно оценить суммой времён вытекания воды через трубку T1, входа воздуха в трубку T2 и время подъёма пузырька T3. Мы оценили только первое и третье слагаемые, считая, что второе слагаемое мало, – это действительно так на стадии установившихся колебаний.

1. Оценим время вытекания воды из верхнего сосуда под действием постоянной разности давлений сначала без учёта вязкости. Обозначения приведены на рисунке, – скорость струи жидкости (формула Паскаля). Если V0 – объём вытекающей жидкости, примерно равный объёму трубки (3 мл), а s – сечение трубки (радиус 2,5 мм), то можно записать V0 suT1, откуда получаем T11  0,05 с. В сравнении с результатами наблюдений эта оценка явно занижена.

2. Учтём вязкость вытекающей воды, воспользовавшись формулой Пуазейля. Пусть Q – объёмный расход, или поток жидкости внутри трубки длиной L. Тогда вытекший объём можно оценить как V0 = QT, где

 

мм вод. ст. При вязкости воды 10–3 Па . с, получаем Q 10–5 л/c, откуда T1 V/Q = 0,3 с. Это значение уже близко к наблюдаемому.

Заметим, что если вода вытекает не из трубки, а из отверстия в баллоне, то роль вязкости незначительна. Этот факт был исследован в работе [2].

3. Оценим время всплывания пузырька T3, придерживаясь соображений, изложенных в [3]. При подъёме пузырька на пути длиной (HL) сила Архимеда совершает работу, достаточную для разгона массы жидкости, затекающей за пузырёк и опускающейся вниз, до скорости . Эта масса жидкости пропорциональна объёму пузырька (присоединённая масса), а её скорость равна скорости практически равномерно поднимающегося пузырька. Пусть M – масса опускающейся воды, m – масса воздуха в пузырьке. Тогда, по теореме об изменении кинетической энергии, (Famg)(HL) m2/2, а т.к. m мала,
то Fa(HL)m2/2.

Пусть M воды (4/3) , тогда

откуда

Окончательно полное значение периода T 0,1 с + 0,3 с = 0,4 c, т.е. близко к наблюдаемому в режиме устойчивой работы автогенератора. Добавим, что каждая из формул применима только для качественных оценок.

О механизме пробулькивания пузырьков

Установка с мягкими стенками начинает работать буквально сразу, а со стеклянными – нет. Действительно, для равновесия всей массы воды необходимо,  чтобы давление внизу было больше, чем наверху, на величину gH. Мягкие стенки, прогибаясь под давлением атмосферы, не мешают установлению перепада давлений при вытекании первых порций воды. Если же стенки жёсткие, то начальное состояние устанавливается долго, поскольку в этом случае, по-видимому, единственным механизмом установления разности давлений является диффузия растворённого воздуха через воду. Поскольку объёмная доля растворённого воздуха около 2%, то диффузия протекает очень медленно.

На стадии стационарной генерации время пробулькивания пузырька мало для визуального наблюдения. Кажется, что пузырёк возникает внутри трубки мгновенно. Для наблюдений за процессом мы заменили пластиковые бутылки стеклянными. В этом случае периодический процесс практически прекращается – время возникновения пузырька растягивается на часы. Однако, если нижнюю бутылку подогреть рукой, то пузырёк возникает за 20–30 с, после чего можно долго наблюдать динамику его продвижения по трубке и выхода из неё.

На рисунке показана последовательность формирования пузырька в нижнем конце трубки, его продвижение и выход части воздуха (или всего пузырька). При возникновении избыточного давления снизу (а, б) мениск на конце трубки прогибается внутрь (в), затем происходит образование пузырька (г) и его продвижение, в процессе которого также можно выделить несколько механизмов: продавливание пузырька разностью давлений, если её величина соответствует описанному выше значению gl; обтекание пузырька жидкостью в соответствии с законом Стокса или с законом турбулентного течения и, наконец, диффузия. Ясно видно, что радиус кривизны поверхности вверху больше, чем внизу, поэтому большое лапласово давление выдавливает пары сверху, и жидкость «перекачивается» через полость пузырька вниз, в область пониженного давления – с малой кривизной мениска.

Не менее интересен и выход пузырька из трубки. В определённый момент он передавливается на уровне среза трубки (д), кривизна поверхности резко увеличивается, и пузырёк разрывается (е). Условием отрыва можно считать момент, когда высота мениска превысит значение, определяемое соотношением:

Эта оценка хорошо совпадает с наблюдением: размер оторвавшегося пузырька практически не зависит от высоты уровня жидкости, а из воздуха в перетяжке тоже формируется маленький пузырёк [4].

Вместо заключения

Как видно из анализа, механизм работы генератора выглядит достаточно простым и описывается буквально двумя строчками очевидных формул. Если вы теперь захотите проверить себя, обратите внимание на то, что если перевернуть вниз горлышком стеклянную бутылку, то вода (без трубочки) всё-таки будет выливаться (и тоже с пробулькиванием). Всё выглядит так же, как в описанном устройстве, только отверстие гораздо шире. В этом случае вытеканием управляет не явление поверхностного натяжения, а гравитационная неустойчивость* поверхности (неустойчивость Тейлора). Так, например, выливается вода из ведра. А теперь попробуйте объяснить, почему спокойно, без пробулькивания, выливается вода в водяных часах – клепсидрах, – которые ещё в Древней Греции породили выражение «Ваше время истекло»? И как работает сосуд Мариотта, из которого вода независимо от формы и высоты водяного столба вытекает ламинарно с постоянной скоростью? Уж верно говорят: «Дьявол кроется в деталях».


*Именно неустойчивость. Можно на доли секунды удержать воду – не в ведре, но, по крайней мере, в открытом перевёрнутом стакане. Надо наполнить его доверху, накрыть мокрым платочком, перевернуть строго вертикально (самое сложное!) и аккуратно сдёрнуть платок – вода не выльется, поверхность останется ровной!

Литература

1. Даминов Р.В. Физический эксперимент – это просто. Занимательные опыты с пластиковыми бутылками. – Казань, ЦИТ, 2002.
2. Князев А.А., Морозов М. Как вытекает вода из бутылки? – Физика («ПС»), 2001, № 26.
3. Гегузин Я.Е. Пузыри. – Библиотечка «Квант», 1985, вып. 46.
4. Гегузин Я.Е. Капля. – М.: Наука, 1973.

Владислав Миряха


Владислав Миряха

Владислав Миряха – ныне ученик 11-го класса ЛПН, неоднократный победитель областных и участник зональных олимпиад по физике, лауреат областных и всероссийских олимпиад по информатике. Участник олимпиад почти по всем предметам, по которым они проходят. Всё делает самостоятельно и обстоятельно. Работа прошла апробацию в Нижнем Новгороде на летней школе ИФ РАН. Здесь всё закономерно – равных ещё поискать.