Задачи, тесты

Диполь в поле и поле диполя

Основные вопросы электростатики: Какое поле создаёт данное распределение зарядов и какая сила действует на эти заряды во внешнем поле? Относительно точечного заряда эти вопросы решаются известными всем формулами школьного курса. Следующий важный и простой объект электростатики – это, конечно, диполь. Диполь – это два разноимённых, равных по величине  точечных заряда, расположенных на фиксированном расстоянии l друг от друга. Диполь характеризуется дипольным моментом p = qL            (1)
где  l – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному.
Интерес к диполю связан, в частности, с тем, что молекулы многих веществ обладают дипольным моментом, а кроме того, молекулы всех веществ приобретают дипольный момент во внешнем электрическом поле. И макроскопические тела (как проводящие, так и не проводящие ток) во внешнем поле поляризуются, т.е. приобретают дипольный момент. Важнейшие приложения представленных здесь результатов – это поля в диэлектрике.
Поставим самые напрашивающиеся вопросы в заявленной теме и попытаемся их разрешить. Никакой особой математики, выходящей за рамки школьного курса, нам не понадобится.
Производную от функции Ф(х) будем обозначать  dФ/dх. Для удобства записи некоторых результатов мы будем использовать скалярное произведение векторов.
Напомним, что  a · b = a · b  · cos α, где α – угол между векторами. Размерную константу в законе Кулона мы обозначаем

Диполь в поле  (простые задачи)
1. Какие силы действуют на диполь в однородном электрическом поле?
Пусть диполь p находится в поле напряжённостью E,   пусть вектор дипольного момента составляет угол α с вектором напряжённости поля. Легко видеть, что на диполь в этом случае действует пара сил с моментом
М = qElsin α = pEsin α, которая стремится ориентировать диполь вдоль силовых линий поля. Так что если диполь может вращаться, то он сориентируется указанным образом. Заметим, что у диполя есть и другое положение равновесия, когда он сориентирован противоположным образом, но это положение неустойчиво.
2. Какова энергия диполя в однородном поле?
Как всегда, в задачах, где речь идёт о потенциальной энергии, надо сначала условиться, откуда мы будем эту энергию отсчитывать. Пусть мы отсчитываем её от указанного выше равновесного положения. Тогда энергия – это работа, которую совершат силы поля при вращении диполя вокруг своего центра от исходного положения, характеризуемого углом α (см. рис. к п. 1),  до равновесного. Напомним, что работа связана только с перемещением заряда вдоль направления E. Заряды диполя при таком вращении сместятся вдоль линий поля (в разные стороны) на l (1– cos α)/2. Поэтому искомая энергия W = qEl (1 – cos α) = pE(1 – cos α).
Но чаще в учебниках по электричеству предпочитают в этой задаче полагать, что W = 0 в том положении диполя, когда вектор p  перпендикулярен E. В этом случае
W = –qEl cos α = –pE.
Высказанное в конце п. 1 утверждение можно теперь сформулировать и иначе: диполь стремится занять теперь положение с минимальной энергией. Так, дипольные молекулы диэлектрика во внешнем поле стремятся все сориентироваться указанным образом (а тепловое движение мешает им в этом).
3. Теперь пусть диполь, сориентированный вдоль линий поля,  находится в неоднородном поле. Тогда, как легко видеть, на него вдоль линий поля действует сила, направленная в сторону увеличения величины поля:    
(индексы «+» и «–» помечают тот заряд диполя, к которому относится соответствующая физическая величина). Именно эта сила объясняет самый простой опыт, в котором заряженное тело (независимо от знака заряда) притягивает мелкие кусочки бумаги.


Поле диполя
4. Прежде чем заняться расчётом поля диполя, остановимся на общих моментах. Пусть, например, нас интересует гравитационное поле какого-то астероида неправильной формы. Поле в непосредственной близости от астероида можно получить только путём компьютерного расчёта. Но, чем дальше мы отходим от астероида, тем с большей точностью мы можем рассматривать его как материальную точку (поле которой мы знаем). При стремлении к большей математической строгости надо было сказать, что мы знаем асимптотическое поведение поля при
С похожей ситуацией мы сталкиваемся и в электростатическом поле. Электростатическое поле по своим свойствам очень похоже на гравитационное (потому что аналогичны фундаментальные законы: закон Кулона и закон всемирного тяготения), но, если так можно сказать, «богаче» его. Ведь электрические заряды могут быть двух типов, между ними возможно и притяжение, и отталкивание, а между «гравитационными зарядами» (т.е. массами)  возможно только притяжение.
Будем считать, что в какой-то ограниченной области распределены положительные и отрицательные точечные заряды q₁, q₂, … , q_n. Полный заряд системы
                                                                                        (2)
Мы уже понимаем, что при Q ≠ 0 поле при больших r переходит в поле точечного заряда Q. Но возникает очень важный для нас вопрос: каким будет поле на больших расстояниях, если полный заряд
Q = 0?  Самое простое распределение точечных зарядов с Q = 0 – это и есть диполь. Вот почему изучение поля диполя несёт в себе важные принципиальные моменты.
Итак, нас будут в основном интересовать такие ситуации, когда все характерные размеры r весьма велики по сравнению с расстоянием l между зарядами диполя. Эту ситуацию можно описать двояко. Во-первых, мы можем всегда иметь в виду, что заряды расположены на конечном расстоянии l друг от друга, и интересоваться поведением полученных решений при Но можно и п росто говорить о точечном диполе с определённым дипольным моментом p, тогда все наши результаты справедливы при любом r > 0 (две эти точки зрения, конечно, эквивалентны).
Мы будем использовать известные всем формулы для полей точечных зарядов и в полученных выражениях учитывать, что l мало. Поэтому напомним формулы приближённых вычислений: если  , то
Везде в выкладках знак «≈» будет указывать на то, что мы воспользовались этими формулами в случае малого параметра (малый параметр в рассматриваемых задачах – это l/r).
5. Качественная картинка силовых линий поля диполя хорошо известна, приводится во многих учебниках, и мы не будем её здесь приводить. Хотя и расчёт поля в произвольной точке несложен, мы всё же ограничимся расчётом потенциала и напряжённости вдоль двух выделенных направлений. Совместим начало системы координат с центром диполя, ось х направим вдоль вектора p, а ось Y – перпендикулярно  (при этом заряды диполя отстоят от начала координат на расстояние ). Будем считать, что в бесконечно удалённой точке  
6. Рассчитаем напряжённость поля диполя на оси Y.
По принципу суперпозиции, E = E₊ +  E_–,  где E₊ и  E_– – векторы напряжённости полей отдельных зарядов. Из подобия треугольников: 
что можно записать как 
Теперь скажем о ходе потенциала вдоль оси Y. По­скольку в любой точке оси Y вектор E перпендикулярен оси, то при перемещении какого-то заряда вдоль этой оси поле диполя никакой работы не совершает, и следовательно, в любой точке этой оси
7. Вычислим потенциал j поля в произвольной точке оси х. По принципу суперпозиции, он равен сумме потенциалов и  созданных положительным и отрицательным зарядами.                        
Пусть х > 0, тогда:
                            (3)
(выражение для (х) для х < 0 будет c другим знаком).
Из симметрии задачи ясно, что на оси х вектор напряжённости поля E имеет только составляющую Е_х. Её можно вычислить, исходя из известной формулы, связывающей напряжённость поля и потенциал:
                                                                                                               (4)
но в школьном курсе формулу (4) обычно обходят стороной, поэтому вычислим Ех непосредственно: или

Итак, при удалении от диполя по оси х или по оси y поле спадает как r^–3. Можно доказать, что так же ведёт себя поле по любому направлению.
Выражение для потенциала в произвольной точке приведём без вывода:   (т.е. при удалении

по любому направлению, кроме оси Y, потенциал спадает как r^–2). Убедитесь, что в частных случаях эта формула приводит к уже известным нам результатам.
8. Отступление. Вспомним, что у бесконечной равномерно заряженной плоскости напряжённость поля не зависит от расстояния от плоскости (или, если угодно, спадает как r⁰). У точечного заряда – убывает как r^–2. У диполя, как мы выяснили, убывает на бесконечности как r^–3. Попробуйте догадаться, у какого распределения зарядов напряжённость поля  убывает как  r^–1;  r^–4.

Взаимодействие диполя с другими зарядами
9. Теперь рассмотрим взаимодействие диполя и точечного заряда q′ (пусть q′ > 0). Рисунок в значительной степени повторяет рисунок в п. 5.  Там мы рассчитали напряжённость поля диполя и, следовательно, уже знаем, какая сила  действует на точечный заряд. Заметим, что это взаимодействие являет нам простейший пример нецентральных сил (вспомните, где в школьном курсе встречаются нецентральные силы между частицами).
Но ещё остались вопросы: какая сила действует на диполь? где она приложена? Можно ответить на эти вопросы сразу, без раздумий. Искомая сила F, по третьему закону Ньютона, должна быть равна  – F ′ и должна быть приложена на одной прямой с  F ′. Быть может, кого-то удивит, что равнодействующая двух сил, действующих на заряды  +q  и  –q  диполя, оказалась приложена где-то в стороне от диполя. Что это значит? Ничего не значит. А что значит, что равнодействующая сил тяжести, действующих на бублик, приложена в центре дырки? Равнодействующая двух сил никакого особого смысла не имеет, она просто во всех отношениях заменяет несколько (или даже бесчисленное множество) сил в фундаментальных уравнениях механики. (Объективности ради отметим, что есть весьма известные авторы, для которых такая точка зрения неприемлема. Они предпочитают говорить, что на диполь со стороны точечного заряда действует сила, приложенная к самому диполю, и ещё момент сил).
10. Найдите силу и энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р₁  и  р₂ лежат на одной прямой. Расстояние между диполями x.
Сосчитаем суммарную энергию зарядов второго диполя в поле первого (см. п. 7):

 Ясно, что диполи, обращённые друг к другу разноимёнными полюсами (как на рисунке), притягиваются (этому соответствует знак «–» в выражении для W), при перевороте одного из диполей энергия сменит знак.
Не будем больше воспроизводить довольно однообразные выкладки и сразу выпишем выражение для величины силы взаимодействия этих диполей (проверьте!):  
11. Найдите энергию взаимодействия двух диполей, у которых  р₁ лежит на прямой, соединяющей  диполи, а р₂  перпендикулярен к ней. Расстояние между диполями x. (Проверьте себя – ответ очевиден.)
12. Найдите энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р₁ и р₂ параллельны друг другу  и оба перпендикулярны оси х, на которой расположены диполи.

 Дополнительные замечания
13. Итак, диполь являет нам простейший пример системы зарядов с полным зарядом Q = 0. Как мы видели, потенциал поля диполя на больших расстояниях от него убывает как r^–2. Нельзя ли обобщить этот результат на более общий случай?
Можно обобщить понятие дипольного момента так, чтобы оно характеризовало любое распределение зарядов. В частности, для системы n точечных зарядов дипольный момент определяют так: 
                                      .                                     (5)

Легко видеть, что эта величина аддитивна. Можно доказать, что Р при Q = 0 не зависит от выбора начала отсчёта. Убедитесь, что в частном случае эта формула переходит в (1).
Сосчитайте дипольный момент Р ряда простых распределений зарядов (во всех случаях расстояние между ближайшими зарядами l).
Можно было бы вести речь и о непрерывных распределениях зарядов, но тогда вместо сумм в (2) и (5) пришлось бы писать интегралы по объёму.
Полученные выше результаты подсказывают нам, в чём значение дипольного момента. И действительно,  можно в общем случае доказать, что чем дальше мы отойдём от произвольной системы зарядов с полным зарядом Q = 0  и дипольным моментом Р ≠ 0, тем её поле будет ближе к рассмотренному нами полю элементарного диполя с дипольным моментом  Р.
Можно было бы пойти по этому пути дальше и рассмотреть поле системы зарядов с Q = 0 и P = 0. Один из самых простых примеров такой системы представлен на рис. а – это так называемый квадруполь. Потенциал поля квадруполя убывает на бесконечности как r^–3.    
Ряд «точечный заряд – диполь – квадруполь...» можно продолжать и далее. Общее название таких объектов мультиполь. Но мы на этом остановимся.

14. При помещении атома в электрическое поле силы, приложенные к ядру и к электронной оболочке, направлены в разные стороны. Под действием этих сил атом приобретает дипольный момент Р, совпадающий по направлению с направлением напряжённости внешнего поля Е₀.
Конечно, молекулы тоже приобретают во внешнем поле дипольный момент (но для них, вообще говоря,  несправедливо предыдущее утверждение о направлении вектора Р).
Но многие молекулы имеют дипольные моменты и в отсутствие внешнего поля. Причём эти собственные дипольные моменты обычно намного превышают наведённые моменты (если говорить об обычных, достижимых в лаборатории полях). Для множества процессов в природе (в частности, для существования жизни) чрезвычайно важно, что у молекулы воды есть дипольный момент.
 «Трудно вообразить, на что был бы похож мир, если бы атомы в молекуле Н₂О были расположены по прямой линии, как в молекуле СО₂; вероятно, наблюдать это было бы некому» (Э.Парселл. Электричество и магнетизм. – М., 1975).

Ответы
К п. 8. Система зарядов, у которой напряжённость поля убывает на бесконечности как  r^–1, – это бесконечная равномерно заряженная нить.
К п. 11. При перемещении первого диполя вдоль оси х на его заряды действуют со стороны второго диполя силы, перпендикулярные этой оси, т.е. никакая работа при этом не совершается, значит, W = 0.
К п. 12. Для упрощения расчёта надо удачно выбрать способ перевода одного из диполей из бесконечности в интересующее нас состояние. Удобно сначала перемещать его вдоль оси х, ориентировав его вектор дипольного момента вдоль оси (при этом работа сил взаимодействия диполей равна нулю), а потом повернуть его на 90°. При повороте второго диполя внешние силы должны совершить работу (см. п. 2) .  Это и есть энергия взаимодействия диполей.
К п. 13. Дипольные моменты равны:  а) 0;  б) 2qlj;
в) 0;  г) –3qli (здесь i  и j – единичные векторы в направлениях осей X и Y соответственно).