Спецвыпуск

Несколько графических задач по кинематике

··· Решение задач: примеры, методы, приёмы ···

А.Б.РЫБАКОВ,
гимназия № 144, г. Санкт-Петербург

alrybakov@rambler.ru

Несколько графических задач по кинематике

У каждого способа описания движения есть свои достоинства и недостатки. Графический способ даёт такую степень наглядности, которая совершенно недостижима для аналитического способа (не говоря уж о табличном). Предлагаю несколько разноуровневых и разнотипных задач, которые показались мне очень привлекательными для совместного обсуждения с учениками. Чтобы не помешать читателю получить удовольствие от самостоятельного решения задач, мы отнесли ответы и обсуждения подальше от условий.

Вся мощь графического подхода очень хорошо видна на примере задачи, которая поразила автора ещё во времена школьной юности. Она скорее напоминает математические теоремы существования, чем физические задачи.

Задача 1. Путник в полдень вышел из города А и в тот же день достиг города В. В полдень следующего дня он вышел из В и пошёл в А той же дорогой. Докажите, что существует такая точка на дороге, в которой он на пути туда и на пути обратно находился при одинаковых показаниях часов.

Подчеркну, что в задаче не предполагается какой-то определённый характер движения путника. Он мог обронить ключи и вернуться за ними, мог сесть на пенёк, съесть пирожок и т.п. И часы путника могут идти, как угодно. Но всё-таки предполагается, что они как-то идут (причём в одну сторону). Конечно, сама тема статьи является очень сильной подсказкой.

Во всех задачах ниже речь идёт о движении точки по заданной траектории, в задачах 2–6 форма траектории роли не играет.

Задача 2. На рисунке приведены четыре графика зависимости пути s, пройденного точкой, от времени. Опишите движение точки по каждому из этих графиков.

Теперь обратимся к традиционным сюжетам. Начнём с задач на равномерное движение. Здесь мы приведём хорошо известные задачи, но везде нас интересуют именно графики зависимости координат s от времени t (в разных системах отсчёта). При построении графиков надо иметь в виду, что время во всех системах отсчёта (СО) течёт одинаково, поэтому необходимо добиваться совпадения всех характерных моментов времени на графиках, построенных в разных СО. Начнём с совсем простых задач.

Задача 3. Рыбак плывёт на лодке против течения реки. «Проплывая под мостом, c него слетела шляпа», – как сказал бы герой Чехова. Но рыбак заметил отсутствие шляпы лишь спустя мин и сразу повернул обратно. На каком расстоянии от моста L он догнал шляпу? Скорость течения реки .

Задача 4. П о шоссе со скоростью идёт колонна солдат длиной l. Посыльный бежит из конца колонны к голове и возвращается обратно, его скорость . Нарисуйте графики зависимостей координат от времени s (t) для посыльного и колонны в СО «Земля» и в СО «колонна».

Задача 5. Длина колонны спортсменов l, они бегут со скоростью . Навстречу им бежит со скоростью u (u < ) тренер. Каждый спортсмен при встрече с тренером мгновенно поворачивает и бежит с той же скоростью u в противоположном направлении. Нарисуйте графики зависимостей координат от времени для колонны спортсменов и тренера и в СО «Земля», и в СО «колонна». Как изменяется длина колонны?

Задача 6. Два пловца, сильный и слабый, прыгают с моста в речку и плывут, каждый в силу своих возможностей (скорость слабого пловца больше скорости течения реки). По сигналу оба поворачивают обратно. Нарисуйте графики зависимостей координат пловцов от времени. Кто из них быстрее достигнет моста? Конечно, надо рассмотреть два случая: они могут сначала плыть как по течению реки, так и против течения.

Задача 7. По прямой на наблюдателя со скоростью движется источник каких-то сигналов. Скорость сигналов w (w > ). Источник испускает сигналы через промежутки времени t₀. (Конкретная физическая природа сигналов для нас в значительной степени безразлична, например, это могут быть звуковые импульсы.) Нарисуйте графики s(t) для источника и сигналов. Что можно сказать о промежутках времени, разделяющих приходы сигналов к наблюдателю?

Теперь перейдём к задачам на неравномерное движение.

Задача 8. График зависимости скорости от координаты приведён на рисунке. Как меняется ускорение при таком движении?

Задача 9. Тело брошено вертикально вверх со скоростью ₀. Направим осьY по вертикали вверх. Нарисуйте графики зависимостей высоты, скорости и ускорения от времени: y(t), _y(t), a_y(t) и скорости от высоты _y(y).

Немного усложним последнюю задачу.

Задача 10. Мяч брошен вертикально вверх со скоростью ₀. Высота потолка в спортзале Н. Если мяч достигает потолка, то упруго отражается от него. а) Нарисуйте те же графики: y(t), _y(t), _y(h). б) Нарисуйте примерный график зависимости полного времени движения мяча (вверх и вниз) Т от величины начальной скорости ₀.

Задача 11. Телу сообщают начальную скорость вверх по наклонной плоскости. Тело скользит вверх, а потом вниз. Нарисуйте графики _х(t) и x(t). Ось Х направлена вверх по наклонной плоскости.

Задача 12. Тело совершает гармонические колебания вдоль оси Х периодом Т и амплитудой х₀ (например, это обычный пружинный маятник). Графики зависимостей кинематических величин от времени всем хорошо известны. Нарисуйте график зависимости скорости от координаты _x(x) (координата х отсчитывается от положения равновесия).

Задача 13. В условиях предыдущей задачи в точке с координатой х₀/2 поставлен упор, от которого тело упруго отражается. Нарисуйте графики x(t), _x(t), _x (x).

Для тех читателей, которым предыдущие задачи показались слишком простыми, предложим следующую. Её вполне можно обсуждать в 11-м классе (во втором полугодии). Каждый видел, как опытный водитель моторной лодки, направляющейся к причалу, выключает мотор, и лодка движется с уменьшающейся (из-за трения о воду) скоростью так, чтобы остановиться у самого причала. Сделаем из этого сюжета задачу.

Задача 14. Лодка массой m с работающим мотором движется по прямой со скоростью ₀. В момент времени t = 0 мотор выключают, и лодка движется далее по инерции, преодолевая силу сопротивления воды, величина которой пропорциональна скорости: F = k. Нарисуйте графики зависимости скорости от координаты. На каком расстоянии от причальной стенки водитель должен выключить мотор?

Обсуждение

Задача 1.

Будем отсчитывать координату s вдоль дороги от пункта А. Конечно, будем рисовать графики зависимостей координат путника от времени. Но по оси абсцисс будем откладывать не какое-то «единое время», как это обычно делается, а показания часов путника и на пути туда, и на пути обратно, совмещая одинаковые значения. Тогда графики зависимостей s(t) (какими бы они ни были!) обязаны пересечься. Тем самым утверждение доказано. Заметим, что при этом мы опираемся только на непрерывность функций s(t).

Задача 2. В условии задачи содержится ловушка. Зависимость пути от времени должна быть однозначной, неубывающей функцией, принимающей только положительные значения. Поэтому кривые 1, 2, 4 не могут соответствовать никакому движению точки. Описание же движения, соответствующего кривой 3, не вызывает затруднений. Иногда ученики отбрасывают и кривую 3 на том основании, что «время же не может быть отрицательным». Необходимо подчёркивать, что момент времени t = 0 выбирается произвольно. То, что какому-то событию соответствует момент времени t < 0, говорит лишь о том, что оно произошло раньше того момента времени, который мы приняли за начало отсчёта. Лишний раз обратим внимание на то, что координата s пути (или х, или у) и пройденный путь, вообще говоря, совершенно различные величины. Координата, конечно же, может быть и отрицательной, и уменьшаться со временем.

Задача 3.

Будем отсчитывать координату от моста по направлению течения воды, а время – от момента падения шляпы в воду. В СО «вода в реке» шляпа неподвижна, мост движется в отрицательном направлении, а рыбак едет туда и обратно с одной и той же по величине скоростью (см. штриховые линии). Поэтому всё путешествие шляпы длилось время 2, а L = 2. Остальное очевидно.

Задача 4.

Отметим, что в СО «колонна» скорость посыльного, когда он бежит к голове, равна w – , а когда бежит обратно, –(w + ). Длина колонны, конечно, одинакова в разных системах отсчёта.

Задача 5. Оставляем эту задачу для самостоятельного решения. Скажем только, что длина колонны уменьшается.

Задача 6.

Будем отсчитывать время от момента прыжка пловцов, а координату – от моста по направлению течения. Пусть сигнал подан в момент времени . Обсудим, как выглядит движение пловцов в СО «вода». Скорость пловца одна и та же на пути туда и на пути обратно. Пусть вместе с пловцами в речку брошен буй. Ясно, что к бую они вернутся одновременно (в момент времени 2), но им ещё предстоит проделать некий путь до моста, можно сказать «догнать уплывающий от них мост». Ясно, что сильный пловец (график его движения – сплошная линия) сделает это быстрее. Он достигнет моста в момент времени t₁, а слабый (пунктирная линия) – в момент времени t₂.

Не будем лишать читателя возможности самостоятельно нарисовать аналогичные графики для случая, когда пловцы плывут против течения: первым приплывёт слабый пловец: при ₂ ~ _теч он, по сути, никуда и не удалится от моста.

Задача 7.

На рисунке сплошная линия – зависимость s(t) для источника, пунктирные линии – для сигналов. Легко видеть, что Т < Т₀, т.е. частота сигналов, принимаемых наблюдателем, больше, чем частота сигналов, испускаемых источником: > ₀.

Задача 8. По условию, скорость зависит от координаты по линейному закону, т.е. _х = ₀ + kx.

Тогда

Итак, ускорение растёт прямо пропорционально скорости.

Задача 9.

Первые три графика очень хорошо известны – ученики обычно пытаются разбить всё движение на две части, которым, как они думают, соответствуют разные законы движения. Делать этого не следует, т.к. на протяжении всего времени движения a_y= –g.

Обратимся к зависимости _y(y). Одно из уравнений, описывающих равноускоренное движение: ₀² – _y² = 2gy (на это уравнение можно смотреть и как на запись теоремы о кинетической энергии).

Из этого уравнения ясно, что график y(_y) – парабола. Направление движения точки, представляющей параметры движения тела, со временем указано на рисунке стрелкой. При повторении курса в 11-м классе, ученикам, быстро решившим эту задачу, можно предложить дополнительный вопрос: каков наклон этого графика в точке (0, ₀)?

Производную от скорости по координате можно переписать в виде:

Значит, в интересующей нас точке

Задача 10.

а) Главное, что надо учесть при построении графиков в этой задаче, – это очень быстрое (мы будем считать – мгновенное) изменение направления движения при ударе о потолок (при сохранении величины скорости). При этом часть графика выпадает.

б) Мяч ударится о потолок, только если При ₀ < w полное время полёта мяча Т = 2₀/g. При ₀ > w время полёта монотонно уменьшается с ростом ₀. Поэтому общий вид графика очевиден.

Несложно выписать зависимость Т (₀) и в явном виде. Ясно, что при больших ₀ можно считать, что модуль скорости не успевает значительно измениться за время полёта, поэтому Т = 2Н/₀ при ₀ w.

Задача 11. При движении вверх «скатывающая сила» mg sin  и сила трения направлены в одну сторону, при движении вниз – в разные. Поэтому при движении вверх ускорение (по величине) больше, а время соответственно меньше, чем при движении вниз. Напомним, что площади под графиками _x(t) в этих двух случаях одинаковы. Кривая х(t) составлена из двух различных парабол.

Задача 12. Запишем закон сохранения энергии для нашего маятника: где Е – полная энергия. После простых преобразований это равенство можно записать в виде:

Ученики должны знать, что последнее уравнение определяет в осях окружность единичного радиуса (можно было бы не переходить к безразмерным переменным, тогда мы имели бы эллипс, точнее, множество вложенных друг в друга эллипсов, размер которых соответствовал бы полной энергии маятника).

Задача 13. Графики зависимостей x(t), _x(t) довольно очевидны. А если читатель разобрался в решениях задач 10 и 12, то и график зависимости _x(x) не вызовет у него затруднений.

Задача 14. Второй закон Ньютона для лодки имеет вид:

После интегрирования этого уравнения по времени от 0 до t, получим: m_x= – kx(x – путь лодки с выключенным мотором). Значит, зависимость скорости от координаты – линейная. Полностью скорость будет погашена на пути L = m₀/k.

Заметьте, что полного решения задачи мы не получили, остались неисследованные моменты. Например, сколько времени будет продолжаться движение? Читателей, пожелавших ответить на этот вопрос, ждут сюрпризы.

Дополнительные замечания

У читателя могло сложиться впечатление, что представленные задачи – лишь мелкие, «технические» упражнения, не имеющие глубокого физического содержания. Но это не так.

Конечно, в задаче 7 речь идёт об эффекте Доплера, открытие которого академик Л.И.Мандельштам назвал «величайшим физическим открытием». Графики зависимостей s(t) позволяют анализировать эффект Доплера легко и наглядно. И задачу 5 о тренере и спортсменах можно переформулировать как задачу об отражении сигналов от движущегося зеркала. И здесь тоже имеет место эффект Доплера. Здесь можно иметь в виду и дискретные сигналы (мячики, звуковые или световые импульсы), и непрерывные (волновые). Когда-то один мой ученик написал целое исследование, рассмотрев на такого рода графиках все возможные случаи движения источника, наблюдателя, зеркала (см. «Потенциал», 2006 г., № 6, 9, 11).

Об очень важных вещах шла речь и в задачах 12, 13, где на простейших примерах представлен новый для школьного курса способ описания колебаний. Плоскость (x, _x) обычно называется фазовой плоскостью, точка, соответствующая состоянию системы, – изображающей точкой, а её траектория на фазовой плоскости – фазовой траекторией. Построение фазовых траекторий – один из важнейших способов описания колебаний.

Интересно представить, как будут меняться фазовые траектории при наличии слабого (когда за один период параметры колебания меняются мало) сопротивления движению. В этом случае окружность (см. задачу 12) будет плавно деформироваться, образуя скручивающуюся спираль.

В задаче 10, если предположить, что мяч упруго отражается от пола, мы тоже имеем дело с колебательной системой и с соответствующей фазовой траекторией (обратите внимание на то, что колебания в этой системе совсем не похожи на гармонические). Заметим, что во всех этих примерах изображающая точка движется по фазовой траектории по часовой стрелке (докажите).