Спецвыпуск

Математический анализ и парабола безопасности (летящих снарядов)

··· Решение задач: примеры, методы, приёмы ···

И.А.ИЗЮМОВ,
г. Аксай, Ростовская обл.

Математический анализ и парабола безопасности (летящих снарядов)

Я в совершенстве математикой владею,
Тех уравнений нет, что вмиг не одолею.
                Парафраз куплетов из оперетты Гильберта
                                                  «Пираты из Пензанса»

Без понимания метода математического анализа невозможно разобраться в естественных науках, в технической и научно-популярной литературе, т.к. математика непрерывно проникает практически во все области деятельности человека [1, с. 160]. Чтобы ответить на вопрос, как будет располагаться кривая безопасности выпущенных снарядов, необходимо применить некоторое знание элементов математического анализа.

Вспомним, что такое огибающая линия. Пусть дано уравнение вида Ф (x, y, C) = 0, где x и y – переменные декартовы координаты, а C – параметр, способный принимать различные фиксированные значения. При каждом данном значении C заданное уравнение определяет некоторую кривую на плоскости XY. Придавая C всевозможные значения, мы получаем семейство кривых, зависящих от одного параметра, или, как часто говорят, однопараметрическое семейство кривых.

Линия L называется огибающей однопараметрического семейства линий, если она в каждой своей точке касается той или иной линии семейства, причём в различных точках линии L её касаются различные линии данного семейства [2, с. 40].

Пример 1 [2, с. 42]. Найти огибающую семейства окружностей (x – C)² + y² – R² = 0, зависящих от одного параметра C.

Решение. Дифференцируя уравнение семейства по C, получаем 2(x – C) = 0. Исключая C из этих двух уравнений, получим уравнение y² –
– R² = 0, или y = ± R.

Из геометрических соображений ясно, что полученная пара прямых является огибающей (а не геометрическим местом особых точек, т.к. окружности, входящие в семейство, не имеют особых точек).

Пример 2 [2, с. 42, 43]. Найти огибающую траекторий снарядов, выпущенных из пушки со скоростью ₀ под различными углами наклона ствола орудия к горизонту. Cчитать, что орудие находится в начале координат, а траектории снарядов лежат в плоскости XY (сопротивлением воздуха пренебречь).

Решение.

Найдём сначала уравнение траектории снаряда в том случае, когда ствол орудия составляет с положительным направлением оси Х угол . Во время полёта снаряд участвует одновременно в двух движениях: равномерном движении со скоростью ₀ в направлении ствола орудия и падении вниз под действием силы тяжести. Поэтому в каждый момент времени положение снаряда M будет определяться равенствами:

Это – параметрические уравнения траектории (параметром является время t). Исключив t, найдём уравнение траектории в виде

Наконец, введя обозначения получим:

y = kx – ax² (1 + k²).          (1)

Это уравнение определяет параболу с вертикальной осью, проходящую через начало координат и обращённую ветвями вниз. Для различных значений k мы получим различные траектории. Следовательно, уравнение (1) является уравнением однопараметрического семейства парабол, являющихся траекториями снаряда при различных углах и данной начальной скорости ₀.

Найдём огибающую этого семейства парабол. Дифференцируя по k обе части уравнения (1), получаем:

x – 2akx² = 0.                  (2)

Исключая k из уравнений (1) и (2), получим Это уравнение параболы с вершиной в точке ось которой совпадает с осью Y. Она не является геометрическим местом особых точек, т.к. параболы (1) не имеют особых точек. Итак, парабола является огибающей семейства траекторий. Она называется параболой безопасности, т.к. ни одна точка за её пределами недостижима для снаряда, выпущенного из орудия с данной начальной скоростью ₀ (см. также [3, с. 23–26]).

Литература

1. Бутиков Е.Н, Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика в примерах и задачах: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1989.

2. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов: Под ред. Е.И.Лященко. – М.: Просвещение, 1988.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учеб. пособие для втузов. – М.: Наука, 1985.