Спецвыпуск

Парабола как баллистическая кривая

··· Решение задач: примеры, методы, приёмы ···

В.Б.ДРОЗДОВ, г. Рязань

Парабола как баллистическая кривая

Известно, что траекторией тела, движущегося в поле тяготения Земли, является баллистическая кривая. Если считать поле тяготения однородным (что справедливо при начальной скорости тела, значительно меньшей первой космической) и, главное, пренебречь сопротивлением воздуха, то в первом приближении баллистической кривой будет парабола. Эта кривая является графиком детально изученной в школьном курсе математики квадратичной функции. Поэтому имеет методический смысл с позиций развития межпредметных связей курсов физики и математики рассмотреть движение тела, брошенного под углом к горизонту, опираясь для цельности изложения только на свойства квадратичной функции.

Пусть тело брошено с поверхности Земли с начальной скоростью ₀ под углом к горизонту.

Широко известное решение основной задачи механики для этого случая приведём сразу:

Исключая из системы уравнений (1) время t, имеем уравнение траектории тела – параболу:

         (2)

Координаты вершины параболы (в общем виде) y = ax² + bx + c:

Значит, дальность полёта тела по горизонтали а наибольшая высота подъёма тела

В момент падения тела y = 0, x = l. Для удобства дальнейшего изложения воспользуемся тригонометрическим тождеством

Тогда уравнение (2) запишется как квадратное относительно tg:

         (3)

Потребуем неотрицательности дискриминанта уравнения (3):

Отсюда сразу вытекает неравенство

Следовательно, наибольшее значение дальности полёта что будет при т.е. при = 45°.

Конечно, сразу ясно: но интересно получить это, рассматривая квадратичную функцию.

Поставим своей задачей попасть в наземную цель, находящуюся на расстоянии l < l_m от точки выстрела. Для этого надо прицелиться – выбрать соответствующий угол . Его найдём из уравнения (3).

Угол ₁ соответствует навесной траектории, а угол ₂ – настильной:

Физически интересно сравнить время движения тела по навесной траектории и по настильной

Сначала заметим, что из формулы sin 2 = sin 2(90° – ) вытекает: дальность полёта тел, брошенных под углами и 90° – к горизонту, одна и та же. Таким образом, ₂ = 90° – ₁.

Имеем:

В заключение получим уравнение параболы безопасности, отделяющей доступные цели от недоступных. Уравнение (2) с помощью формулы легко преобразуется к квадратному относительно tg:

             (4)

Если мы хотим попасть в точку M (x; y), то должен существовать корень (или корни) уравнения (4).

Значит, его дискриминант

Отсюда находим поражаемую область:

Ясно, что если то попасть в цель нельзя.

Таким образом, приходим к уравнению параболы безопасности: