Задачи, тесты

Мощность, выделяемая во внешней цепи с потребителями. 10–11-й классы

С.Н.КАРТАШОВ,
с. Маис, Пензенская обл.

Мощность, выделяемая во внешней цепи с потребителями

Решение задач на экстремум с компьютерной поддержкой

Предлагаемые задачи рассматриваются с учениками 10-х и 11-х классов на заседании школьного физического кружка. Они требуют знаний по теме «Законы постоянного тока», умения исследовать функции на экстремум при помощи производной, а также навыков программирования на компьютере.

ЗАДАЧА 1. Найдите зависимость мощности, выделяемой во внешней цепи, от числа одинаковых потребителей (лампочек), соединённых параллельно. ЭДС источника , его внутреннее сопротивление r.

Решение

Пусть сопротивления всех лампочек одинаковы R₁ = R₂ = ... = R_n, P – мощность, выделяемая во внешней цепи, P₁ – мощность, выделяемая на каждой лампочке. Очевидно, что P = nP₁; P₁ = I₁² R₁, где I₁ – ток, проходящий через каждую лампочку.

Сила тока в неразветвлённой цепи:

        (1)

Применяя первое правило Кирхгофа, имеем

         (2)

С учётом (2) имеем для мощности

Полная мощность, выделяемая во внешней цепи:

         (3)

Нетрудно заметить , что если n , то P 0. Это означает, что при неограниченном увеличении количества лампочек мы не достигнем бесконечного увеличения мощности, выделяемой во внешней цепи. Напротив, мощность будет стремиться к нулю.

Из формулы (3) следует также, что если r 0, то P n²/R. То есть, если источник тока идеален (r = 0), то мощность возрастает прямо пропорционально числу потребителей в цепи. Но внутреннее сопротивление источника тока не может быть равно нулю, поэтому достигнуть бесконечного увеличения мощности во внешней цепи за счёт увеличения числа потребителей невозможно. Напротив, достигнув максимума, мощность, выделяемая во внешней цепи, начнёт уменьшаться с ростом потребителей.

Для получения полной картины зависимости мощности Р от количества потребителей n, можно предложить учащимся построить график зависимости P(n) на компьютере ( = 20 В, r = 0,5 Ом, R₁ = 100 Ом). В рубрике «Дополнительные материалы» на сайте газеты http://fiz.1september.ru приводим авторскую компьютерную программу WATT для построения вышеупомянутой зависимости (среда программирования QBasic, компьютер Celeron1300).

Изменяя внутреннее сопротивление r при неизменных и R₁, делаем вывод: мощность P, выделяемая во внешней цепи, убывает с ростом r. Изменяя R₁ при неизменных и r, делаем вывод: от сопротивления одной лампочки максимум мощности P не зависит. Этот максимум сдвигается вправо при увеличении R₁ и сдвигается влево при уменьшении R₁. Число ламп в цепи, при котором наблюдается максимум мощности, равно n_max = R₁/r. То есть мощность, выделяемая во внешней цепи, максимальна, если внутреннее сопротивление источника тока равно внешнему сопротивлению цепи: r = R₁/ n_max. Расчётные результаты отлично согласуются с результатами следующей, похожей, задачи.

ЗАДАЧА 2. При каком значении R мощность, выделяемая во внешней цепи, максимальна? ЭДС источника тока , внутреннее сопротивление r.

Решение

Получим формулу зависимости мощности P, выделяемой во внешней цепи, от внешнего сопротивления R и исследуем функцию P(r) на экстремум при помощи производной.

По закону Ома для полной цепи, ток I =/(R + r), мощность, выделяемая во внешней цепи:

Дифференцируем P по R:

Найдём критические точки из условия P' = 0:

(R + r)² – 2R(R + r) = 0;

(R + r) · (R + r – 2R) = 0;

(R + r) · (r – R) = 0.

Имеем две критические точки R = –r и R = r . Но т.к. R > 0, то R = –r не имеет смысла. Производная P' меняет знак с «+» на «–» в точке R = r, следовательно, R = r – точка минимума.

Итак, мощность максимальна, если R = r, т.е. внутреннее сопротивление источника тока равно внешнему сопротивлению. Это означает, что применительно к задаче 1 максимум мощности наблюдается при R = r, но т.к. сопротивление n одинаковых ламп равно R = R₁/n, то r = R₁/n, или n = n_max = R₁/r.

Рассчитаем максимум мощности, используя формулу (3) и условие r = R₁/n:

         (4)

При = 12 В, r = 0,4 Ом и R₁= 20 Ом имеем n_max = R₁/r = 50 ламп.

Согласно формуле (4), P_max = 90 Вт. Всё это очень хорошо согласуется с результатами компьютерного эксперимента. Кроме того, из этой формулы следует, что максимум мощности зависит от внутреннего сопротивления обратно пропорционально, в чём легко убедиться, используя компьютерную программу WATT, приведённую на сайте газеты http://fiz.1september.ru.

В заключение необходимо сказать, что все выше приведённые выкладки, а также результаты, полученные с помощью компьютерной программы для цепей постоянного тока, справедливы и для цепей переменного тока.

Возможен более современный подход, если использовать для моделирования таблицу МicrosoftExcel. Если R – внешнее сопротивление цепи, то Построим график для тех же данных: 1 = 20 В, r = 0,5 Ом, меняя R от 0,1 до 2,7 Ом с шагом 0,1 Ом. Для этого в ячейку B4 введём формулу =$B$1^2*A4/(A4+$B$2)^2 и скопируем её в ячейки В5–В30. Графики, построенные с помощью таблицы Excel и программы WATT, совпадают (максимум мощности 200 Вт получается, если внешнее сопротивление цепи равно внутреннему сопротивлению источника тока). В рубрике «Дополнительные материалы» к № 9/2008 на сайте газеты приведена программа «Мощность», аналогичная программе WATT, но на более продвинутом языке VisualBasic6.0, результат расчёта с её помощью, а также таблица МicrosoftExcel.

 

Сергей Николаевич Карташов – учитель физики высшей квалификационной категории, выпускник физфака МПГУ им. В.И.Ленина 1993 г. Педагогический стаж 14 лет. Ученики Сергея Владимировича занимают призовые места на районных олимпиадах по физике и математике. Педагогическое кредо: моделирование физических процессов на компьютере, индивидуальная работа с сильными детьми. Один закончил физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, ещё один учится в университете им. Н.Э.Баумана. В 2002 г. Сергей Владимирович был награждён почётной грамотой МОиН РФ. Женат, сыну 3,5 года. Хобби: шахматы, решение олимпиадных задач по физике и математике, кулинария.

С.Н.КАРТАШОВ,
с. Маис, Пензенская обл.

maisscool1@mail.ru