Спецвыпуск

Работа газа в термодинамике. 10-й класс

··· Орловский выпуск ···

Г.А.БЕЛУХА,
школа № 4, г. Ливны, Орловская обл.

Работа газа в термодинамике

Методические рекомендации по изучению темы, 10-й класс

При изучении работы газа в термодинамике учащиеся неизбежно сталкиваются с трудностями, обусловленными слабыми навыками вычисления работы переменной силы. Поэтому к восприятию этой темы необходимо готовиться, начиная уже с изучения работы в механике и решая с этой целью задачи на работу переменной силы путём суммирования элементарных работ на всём пути с помощью интегрирования.

Например, при вычислениях работы силы Архимеда, силы упругости, силы всемирного тяготения и т.п. надо учиться суммировать элементарные величины с помощью простейших дифференциальных соотношений типа dA = Fds. Опыт показывает, что старшеклассники легко справляются с этой задачей, – дугу траектории, на которой сила увеличивается или уменьшается, нужно разбить на такие промежутки ds, на которых силу F можно считать постоянной величиной, а затем, зная зависимость F = F(s), подставить её под знак интеграла. Например,

Работа этих сил вычисляется с помощью простейшего табличного интеграла

Такая методика облегчает адаптацию будущих студентов к восприятию курса физики в вузе и устраняет методические сложности, связанные с умением находить работу переменной силы в термодинамике и др.

После того как учащиеся усвоили, что такое внутренняя энергия и как найти её изменение, целесообразно дать обобщающую схему:

Усвоив, что работа – это один из способов изменения внутренней энергии, десятиклассники легко рассчитывают работу газа в изобарном процессе. На данном этапе необходимо подчеркнуть, что сила давления газа на всём пути не меняется, и по третьему закону Ньютона |F₂| = |F₁|, знак работы находим из формулы A = Fs cos. Если  = 0°, то A > 0, если  = 180°, то A < 0. На графике зависимости р(V) работа численно равна площади под графиком.

Пусть газ расширяется или сжимается изотермически. Например, газ сжимается под поршнем, давление изменяется, и в любой момент времени

При бесконечно малом перемещении поршня на dl мы получим бесконечно малое изменение объёма dV, а давление р можно считать постоянным. По аналогии с нахождением механической работы переменной силы, составим простейшее дифференциальное соотношение dA = pdV, тогда и, зная зависимость р (V), запишем   Это табличный интеграл типа   Работа газа в этом случае отрицательна, т.к. = 180°:

т.к. V₂ < V₁.

Полученную формулу можно переписать, используя соотношение

Для закрепления решим задачи.

1. Газ переходит из состояния 1 (объём V₁, давление р₁) в состояние 2 (объём V₂, давление р₂) в процессе, при котором его давление зависит от объёма линейно. Найдите работу газа.

Решение. Построим примерный график зависимости p от V. Работа равна площади под графиком, т.е. площади трапеции:

2. Один моль воздуха, находящийся при нормальных условиях, расширяется от объёма V₀ до 2V₀ двумя способами – изотермически и изобарно. Сравните работу, совершённую воздухом в этих процессах.

Решение

При изобарном процессе A_p = р₀V, но р₀ = RT₀/V₀, V = V₀, следовательно, A_p = RT₀.

При изотермическом процессе:

Сравним:

Изучив первый закон термодинамики и его применение к изопроцессам и закрепив решением задач тему о работе в термодинамике, учащиеся подготовились к восприятию наиболее сложной части термодинамики «Работа циклов и КПД тепловых машин». Этот материал я излагаю в следующей последовательности: работа циклов – цикл Карно – КПД тепловых машин – круговые процессы.

Круговым процессом (или циклом) называется термодинамический процесс, в результате которого тело, пройдя ряд состояний, возвращается в исходное состояние. Если все процессы в цикле равновесные, то цикл считается равновесным. Его можно изобразить графически в виде замкнутой кривой.

На рисунке показан график зависимости давления p от объёма V (диаграмма p, V) для некоторого цикла 1–2–3–4–1. На участках 1–2 и 4–1 газ расширяется и совершает положительную работу А₁, численно равную площади фигуры V₁412V₂. На участке 2–3–4 газ сжимается и совершает работу А₂, модуль которой равен площади фигуры V₂234V₁. Полная работа газ за цикл А = А₁ + А₂, т.е. положительна и равна площади фигуры 12341.

Если равновесный цикл изображается замкнутой кривой на р, V-диаграмме, которая обходится по часовой стрелке, то работа тела положительна, а цикл накзывается прямым. Если замкнутая кривая на р, V-диаграмме обходится против часовой стрелки, то газ совершает отрицательную работу за цикл, а цикл называется обратным. В любом случае модуль работы газа за цикл равен площади фигуры, ограниченной графиком цикла на р, V-диаграмме.

В круговом процессе рабочее тело возвращается в исходное состояние, т.е. в состояние с первоначальной внутренней энергией. Это значит, что изменение внутренней энергии за цикл равно нулю: U = 0. Так как, по первому закону термодинамики, для всего цикла Q = U + A, то Q = A. Итак, алгебраическая сумма всех количеств теплоты, полученных за цикл, равна работе тела за цикл: A_ц = Q_н + Q_х = Q_н – |Q_х|.

Рассмотрим один из круговых процессов – цикл Карно. Он состоит из двух изотермических и двух адиабатических процессов. Пусть рабочим телом является идеальный газ. Тогда на участке 1–2 изотермического расширения, согласно первому закону термодинамики, всё получаемое газом тепло идёт на совершение положительной работы: Q₁₂ = A₁₂. То есть нет никаких потерь тепла в окружающее пространство и никакого изменения внутренней энергии: U = 0, т.к. T₁₂ = const (потому что газ – идеальный).

На участке 2–3 адиабатного расширения газ совершает положительную работу за счёт изменения внутренней энергии, т.к. Q_ад = 0 = U₂₃ + A_г23  A_г23 = –U₂₃. Здесь также нет потерь тепла, по определению адиабатного процесса.

На участке 3–4 над газом совершается положительная работа внешней силой, но он не нагревается (изотермический процесс). Благодаря достаточно медленно протекающему процессу и хорошему контакту с холодильником газ успевает отдавать получаемую за счёт работы энергию в виде тепла холодильнику. Сам же газ совершает при этом отрицательную работу: Q₃₄ = A_г34 < 0.

На участке 4–1 газ адиабатно (без теплообмена) сжимается до исходного состояния. При этом он совершает отрицательную работу, а внешние силы – положительную: 0 = U₄₁ + A_г41 A_г41 = –U₄₁.

Таким образом, за цикл газ получает тепло только на участке 1–2, изотермически расширяясь:

Холодильнику тепло отдаётся только при изотермическом сжатии газа на участке 3–4:

Согласно первому закону термодинамики

A_ц = Q_н – |Q_x|;

поэтому

КПД машины, работающей по циклу Карно, найдём по формуле

Согласно закону Бойля–Мариотта для процессов 1–2 и 3–4, а также уравнению Пуассона для процессов 2–3 и 4–1, легко доказать, что

(Хорошо бы увидеть, как автор это делает: ведь уравнение Пуассона для диабаты идеального газа надо ещё получить. – Ред.)

После сокращений получим формулу КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно:

Работу тепловых машин, работающих по обратному циклу, методически правильно, как показывает опыт, изучать на примере работы обратного цикла Карно, т.к. он обратим и его можно провести в обратном направлении: расширять газ при понижении температуры от T_н до T_x (процесс 1–4) и при низкой температуре T_x (процесс 4–3), а затем сжимать (процессы 3–2 и 2–1). Теперь двигатель совершает работу, чтобы привести в действие холодильную машину. Рабочее тело отнимает количество теплоты Q_x у продуктов внутри при низкой температуре T_х, а отдаёт количество теплоты Q_н окружающим телам, за пределами холодильника, при более высокой температуре T_н. Таким образом, машина, работающая по обратному циклу Карно, уже не тепловая, а идеальная холодильная. Роль нагревателя (отдающего тепло) выполняет тело с более низкой температурой. Но, сохранив названия элементов, как в тепловой машине, работающей по прямому циклу, мы можем представить блок-схему холодильника в следующем виде:

Обратим внимание, что тепло от холодного тела переходит в холодильной машине к телу с более высокой температурой не самопроизвольно, а за счёт работы внешней силы.

Важнейшей характеристикой холодильника является холодильный коэффициент , определяющий эффективность работы холодильника и равный отношению количества теплоты, отнятого от холодильной камеры Q_х к затраченной энергии внешнего источника

За один обратный цикл рабочее тело получает от холодильника количество теплоты Q_х и отдаёт в окружающее пространство количество теплоты Q_н, что больше Q_х на работу A_дв, совершаемую электродвигателем над газом за цикл: |Q_н| = |Q_х| + А_дв.

Энергия, затраченная двигателем (электроэнергия в случае компрессорных электрических холодильников), идёт на полезную работу над газом, а также на потери при нагревании обмоток двигателя электрическим током Q_R и на трение в схеме А_тр.

Если пренебречь потерями на трение и джоулево тепло в обмотках двигателя, то холодильный коэффициент

Учитывая, что в прямом цикле

после несложных преобразований получим:

Последнее соотношение между холодильным коэффициентом и КПД тепловой машины, которая может работать и по обратному циклу, показывает, что холодильный коэффициент может быть больше единицы. В этом случае тепла отнимается от холодильной камеры и возвращается в комнату больше, чем для этого используется энергии двигателем.

В случае идеальной тепловой машины, работающей по обратному циклу Карно (идеального холодильника), холодильный коэффициент имеет максимальное значение:

В реальных холодильниках   т.к. не вся получаемая двигателем энергия идёт на работу над рабочим телом, о чём написано выше.

Решим задачу:

• Оцените стоимость изготовления 1 кг льда в домашнем холодильнике, если температура испарения фреона –t_х °С, температура радиатора t_н °С. Стоимость одного киловатт-часа электроэнергии равна Ц. Температура в комнате t.

Дано:

m, c, t, t_н, t_х, , Ц.
____________
Д – ?

Решение

Стоимость Д изготовления льда равна произведению работы электродвигателя на тариф Ц: Д = ЦА.

Для превращения воды в лёд с температурой 0 °С необходимо отвести от неё количество теплоты Q = m(ct + ). Считаем приближённо, что над фреоном совершается обратный цикл Карно с изотермами при температурах T_н и T_х. Используем формулы для холодильного коэффициента: по определению,  = Q/A и для идеального холодильника _ид = T_х/(T_н – T_х). Из условия следует, что   _ид.

Решаем совместно три последних уравнения:

Разбирая с учащимися эту задачу, необходимо обратить внимание на то, что основная работа холодильного устройства идёт не на охлаждение продуктов, а на поддержание температуры внутри холодильного шкафа путём периодической откачки тепла, проникающего сквозь стенки холодильника.

 

Для закрепления темы можно решить задачу:

• КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоящему из изотермического процесса 1–2, изохорического 2–3 и адиабатического 3–1, равен , а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна T. Найдите работу, совершённую моль одноатомного идеального газа в изотермическом процессе.

 

Решение

При решении задач, в которых фигурирует КПД цикла, полезно предварительно проанализировать все участки цикла, используя первый закон термодинамики, и выявить участки, где тело получает и отдаёт тепло. Проведём мысленно ряд изотерм на р, V-диаграмме. Тогда станет ясно, что максимальная температура в цикле на изотерме, а минимальная – в т. 3. Обозначим их через T₁ и T₃ соответственно.

На участке 1–2 изменение внутренней энергии идеального газа U₂ – U₁ = 0. По первому закону термодинамики, Q₁₂ = (U₂ – U₁) + А₁₂. Так как на участке 1–2 газ расширялся, то работа газа А₁₂ > 0. Значит, и подведённое к газу количество теплоты на этом участке Q₁₂ > 0, причём Q₁₂ = А₁₂.

На участке 2–3 работа газа равна нулю. Поэтому Q₂₃ = U₃ – U₂.

Воспользовавшись выражениями U₂= c_VT₁ и тем, что T₁ – T₃ = T, получим Q₂₃ = –c_V T < 0. Это означает, что на участке 2–3 газ получает отрицательное количество теплоты, т.е. отдаёт тепло.

На участке 3–1 теплообмена нет, т.е. Q₃₁ = 0 и, по первому закону термодинамики, 0 = (U₁ – U₃) + A₃₁. Тогда работа газа
A₃₁ = U₃ – U₁ = c_V(T₃ –T₁) = –c_V T.

Итак, за цикл газ совершил работу A₁₂ + А₃₁ = А₁₂ – c_V T и получил тепло только на участке 1–2. КПД цикла

Так как то работа газа на изотерме равна

Геннадий Антонович Белуха – заслуженный учитель РФ, педагогический стаж 20 лет, ежегодно его ученики занимают призовые места на различных этапах всероссийской олимпиады по физике. Хобби – компьютерная техника.